跨线运营组织是指城市轨道交通线网中将不同线路以联络线进行衔接，列车可通过联络线从原线进入到其他线路运行的一种运营组织模式^[13]．跨线运营组织这一新运营模式不同于单一运营组织，实施跨线运营组织模式对乘客和运营企业均有利弊．跨线乘客可以搭乘跨线列车直达出行，从而减少换乘站的走行时间及额外换乘等待时间，当发生运营故障时，通过联络线的跨线列车运营调整可实现更为灵活的临时交路计划，最大程度减少延误，降低对乘客的影响．然而，非跨线段乘客可能因列车行车密度减少而增加出行时间，同时，跨线列车的占比大小决定了配备的车底数量，并且跨线运营组织的交路复杂，客流和票款清分难度也将增加．

以典型情况为例，列车从A线跨入B线的形式属于“十字形”线路（图1），本研究假设在两条线路间共开行有3种列车交路，分别为S_A1—S_An 、S_B1—S_Bn及S_Ax—S_By，前两种交路代表A、B本线列车，最后一种是跨线列车的行车交路，每种交路对应的列车开行对数为n_A、n_B及n（C 单位：对/h）．在配备折返线的前提下，跨线列车可以根据起讫点（origin-destination，OD）客流的实际情况实现部分贯通，也可以完全贯通．对于跨线客流，乘客可自行选择第1列到达列车并在换乘站换乘后续列车，也可直接等待跨线列车．

图1 列车在换乘站跨线运营示意Fig. 1 Schematic diagram of train cross line operation at transfer station.

跨线列车进入B线的跨入形式有两种^[14]，一种是替代式，即在保持跨线区间内每小时列车开行对数不变的条件下，跨线列车替代原有部分本线列车的运行形式，由于非跨线区间受跨线运营组织模式的影响行车密度降低，本线列车的行车间隔增大，会造成一定的运能损失，因此，可替代的跨线列车对数受到非跨线区间的最大断面客流量和本线列车行车密度的制约；另一种是插入式，即在保持跨线区间内每小时本线列车开行对数不变的条件下，在本线列车之间插入由A线驶来的跨线列车．由于本线列车的行车密度没有受到跨线运营组织模式的干扰，插入式对非跨线区间内乘客的影响比替代式更小，且跨线区间内每小时列车开行对数的增加对该区域乘客的出行便利度具有显著提升．限于篇幅，本研究主要讨论插入式跨线运营模式．

本线列车中能够插入的跨线列车应不超过其最大值，即

其中，N_Cmax为能插入的跨线列车最大开行对数（单位：对/h）；t_f为列车最小追踪间隔（单位：min）；T为插入跨线列车所需的最小行车间隔（单位：min）．

城轨运营主要以乘客总出行成本之和最小为目标，总出行成本包括经济成本和时间成本．考虑到我国城市轨道交通系统中乘客在固定OD间的出行票价一般相同，因此，可认为时间是乘客出行成本的唯一要素．地铁列车在同一区间的列车运行标尺基本相同，即某个时段内列车在区间运行时分基本相同，则乘客的出行时间成本主要取决于乘客的候车时间成本，以及乘客在换乘站的换乘时间成本．令t_w表示乘客在换乘站的换乘走行时间成本，该取值可适当放大，作为乘客的换乘惩罚．对于乘客的候车时间成本，本研究确定的行车间隔满足小时最大断面客流需求，不考虑该时段内部分车次容量限制导致的留乘额外候车时间．在列车行车间隔较短的情况下，乘客的平均等待时间趋于行车间隔的一半．以下分析各情况下的乘客出行时间成本．在跨线运营模式中，除本线客流和跨线客流直达外，还存在从其他线路进入、到达其他线路、或途径的客流，将该类客流归入本线客流和跨线客流中统一分析．由于本、跨线列车运行于不同的交路，因此，在分析OD客流时，根据列车开行交路的不同将线路细化为6类车站区间：①A线跨线方向非跨线区间，S_A1—S_Ax；②A线跨线区间，S_Ax—S_At；③A线非跨线方向区间，S_At—S_An；④B线跨线方向非跨线区间，S_B1—S_By；⑤B线跨线区间， S_By—S_Bt；⑥B线非跨线方向区间，S_Bt—S_Bn．其中，区间①—③与④—⑥的内部客流均为本线进出客流，路径唯一，其余区间之间的客流则需要换乘到达，路径可能不唯一．针对乘客选择不唯一的区间OD，如区间②—⑤，乘客既可选择跨线列车直达，也可选择在换乘站换乘，要考虑列车分担率的问题．该出行模式可通过基于logit的选择行为模型分析^[15]．乘客在网络内出行的列车选择行为实质是乘客对两种列车的选择概率，而选择决策的依据是每种列车的随机效用值，乘客出行选择列车方案的随机效用函数为

其中，U_k为第k种列车的随机效用函数；V_k为第k种列车的确定效用函数，即固定效益；ε_k为第k种列车的随机误差项，其差异性较小对列车选择可忽略；t_k为第k种列车的旅行时间；c_k为第k种列车的费用消耗，虽然出行路径不唯一，但区间OD及列车里程数相同，故c_k相同，对列车选择无影响；α和β为参数，可由客流调查获得．

第k种列车的选择概率可用logit模型表示，本研究选取k=2，即为跨线直达或中途换乘．因此，对于存在不唯一的路径选择，2种乘客选择跨线列车直达的分担率分别为 及 θ₂= ．

由此，针对6类车站区间的乘客出行需求，可根据各段的列车开行对数n_A、n_B、n_C以及θ₁、θ₂计算得到各车站区间乘客的出行时间成本，见表1．因此，跨线运营组织模型的目标是单位时间内使乘客出行时间成本的总和最小，其目标函数为其中，P_ij为从车站区间i到j的客流量；T_ij为车站区间i到j的乘客出行时间成本，取值见表1．

表1 各车站区间乘客的出行时间成本Table 1 Travel time cost of passengers between stations

模型的约束条件需要满足列车开行间隔要求、列车满载率、行车密度及线路通过能力要求．

1）开行间隔要求．列车从A线跨入B线，跨线乘客具有中途在换乘站换乘或直接搭乘跨线列车两种换乘方式．前者的出行时间成本包括等待A线本线列车的时间、换乘站走行时间和等待B线本线列车的时间，即

其中，T_O为跨线乘客搭乘本线列车的等车时间（单位：min）；t_A为A线本线列车的行车间隔（单位：min）；t_B为B线本线列车的行车间隔（单位：min）；t_w为跨线乘客在换乘站的走行时间（单位：m i n ）．直接搭乘跨线列车的出行时间成本包括A线等待跨线列车的时间，为

其中，T_N为跨线乘客搭乘跨线列车的等车时间（单位：min）；t_C为跨线列车的行车间隔（单位：min）；

乘客选择本线列车或跨线列车出行决策取决于两种方式的等车时间差，即

当ΔT>0表明乘客等待跨线列车的时间小于等待本线列车的时间，可以开行跨线运营组织，ΔT越大，开行跨线列车对跨线乘客越有利；当ΔT<0时，乘客选择换乘的出行方式反而节省时间，则没有必要开行跨线运营组织，ΔT越小，开行跨线列车对跨线乘客越不利．

因此，列车开行间隔要求的约束条件可表示为

2）列车满载率．开行跨线运营组织模式后的行车密度须尽可能满足线路最大断面客流的需求，即

其中，ρ_min和ρ_max为列车最小和最大满载率；P^(F)smax为线路非跨线段区间内上下行最大断面客流量；P^(K)smax为线路跨线段区间内上下行最大断面客流量；G_s为s线列车的编组数，s∈A，B；C_s为s线本线列车每节车厢的定员人数；G_C为跨线段列车的编组数；C_C为跨线段列车每节车厢的定员数．

3）行车密度．跨线运营组织模式本线列车中能够插入的跨线列车应不超过其最大值，即

4）线路通过能力．列车的行车密度不能大于线路的最大通过能力，即

其中，N_Amax和N_Bmax为A线和B线的设计最大通过能力．

本研究建立的跨线运营组织模式下基于乘客总出行时间成本最低的列车行车密度目标优化问题，属于典型的NP难（non-deterministic polynomial-time hard，NP-hard）问题．遗传算法具有方便及高效的优点，且其全局搜索能力强，不易陷入局部最优解，因此，可计算一些非线性目标函数优化问题或组合优化问题．本研究采用遗传算法对模型进行求解，具体步骤如下．

步骤1 设置迭代次数k，初始种群n₀，交叉概率p₁及变异概率p₂；

步骤2 遗传算法中染色体用来表示列车开行对数n_A、n_B及n_C，染色体的编码采用实数编码，随机产生初始种群n₀，作为算法迭代的开始；

步骤3 设计适应度函数，将目标函数作为算法最终的适应度函数；

步骤4 在当代种群中，选择2个后代个体根据p₁进行交叉操作，然后选择1个后代个体根据p₂进行变异操作，并保证种群数量维持n₀；

步骤5 判断个体最优解是否大于当前最优解，若个体最优解大于当前最优解则将最优解更新，并将种群规模更新；否则保持最优解不变；

步骤6 重复上述步骤2至步骤5；

步骤7 当算法迭代次数达到k时，输出最优解，算法终止．

本研究以S市地铁的两条线路（简称为Ⅰ号线和Ⅱ号线）为例进行案例分析，Ⅰ号线和Ⅱ号线在换乘站S_Ⅰt ( S_IIt )实现相交换乘，且在建设上具备过轨跨线运营条件，可选做跨线运营模式的研究对象．假设Ⅰ号线最大断面客流量为50 130人/h，该区间位于跨线列车范围内，非跨线区间的最大断面客流量为13 164人/h；Ⅱ号线的最大断面客流量为46 911人/h，该区间位于跨线区间内，非跨线区间的最大断面客流量为40 586人/h．Ⅰ号线和Ⅱ号线的定员人数分别为2 144和1 708人/列，超员人数分别为3 005人/列和3 770人/列．表2为Ⅰ号线和Ⅱ号线的早高峰预测换乘客流量．

对于采用跨线运营组织的线路，首先要满足各线路本线的客流需求，在此基础上拟定详细的跨线交路，满足主要跨线客流的同时控制列车周转时间，以外围组团快速直达重要枢纽和中心为目标确定跨线交路方案．因此，基于车站过轨运营的Ⅰ号线和Ⅱ号线跨线运营组织模式拟开行3种列车交路方案（图2），可实现外围组团乘客与各交通枢纽等客流集散点乘客的互通直达．模型参数中设定乘客换乘走行时间t_w=3 min，Ⅰ号线和Ⅱ号线的列车设计最大通过能力为30对/h，列车满载率按照最大（超员荷载）、定员和最小（座客荷载）分别取值为1. 76、1. 00和0. 20，α=-0.304 3．

表2 Ⅰ号线和Ⅱ号线预测早高峰换乘客流量Table 2 Forecast of passenger in morning rush hour for LineⅠand LineⅡ

图2 Ⅰ号线和Ⅱ号线跨线运营线路示意Fig. 2 （Color online）Schematic diagram of cross line opera⁃tion of LineⅠand LineⅡ.

设ρ₁和ρ₂分别Ⅰ号线和Ⅱ号线列车最大满载率，利用Matlab编写遗传算法求解，结果分析如下．

3. 2. 1 ρ₁取不同值，ρ₂=1.0

当Ⅱ号线列车和跨线列车的最大载客量为定员人数（最大满载率限制为ρ₂=1.0）时，随着ρ₁取值不同，各交路的行车密度优化结果如表3．

1）若Ⅱ号线本线列车和跨线列车的最大载客量为定员人数，当ρ₁≤0.7时模型无解．当所有交路列车的行车密度在最优解范围内时，Ⅰ号线本线列车行车密度不低于18对/h，Ⅱ号线本线列车行车密度均为24对/h，跨线列车行车密度均为6对/h，Ⅰ号线跨线段内总的行车密度不小于24对/h，Ⅱ号线跨线段内总的行车密度均为30对/h．

2）Ⅱ号线本线列车行车密度受Ⅱ号线非跨线段的影响，列车最小开行对数为24对/h，导致跨线列车的最大开行对数仅为6对/h．同时，Ⅱ号线跨线段内总的行车密度达到线路通过能力上限，当ρ₁=0.8时，Ⅰ号线跨线段内总的行车密度也达到线路最大通过能力，此时跨线段内的列车行车间隔均压缩至最短时间，线网内的客运服务作业最繁忙；当ρ₁≥1.1时，模型优化结果保持不变．

表3 ρ1取不同值，ρ2=1. 0时各交路行车密度最优解Table 3 The optimal solution of traffic density of each route when ρ1 is different and ρ2=1. 0

3. 2. 2 ρ₂取不同值，ρ₁=1.0

当Ⅰ号线列车和跨线列车的最大载客量为定员人数（ρ₁=1.0）时，随着ρ₂的取值不同，各交路行车密度优化结果表4．

1）若Ⅰ号线本线列车和跨线列车的最大载客量为定员人数，当ρ₂<1.0时模型无解，说明Ⅱ号线本线列车在早高峰小时内至少为定员载荷状态．当所有交路列车的行车密度在最优解范围内时，Ⅰ号线本线列车行车密度不低于18对/h，Ⅱ号线本线列车行车密度不低于20对/h，跨线列车行车密度不低于6对/h，Ⅰ号线跨线段内总的行车密度不小于25对/h，Ⅱ号线跨线段内总的行车密度不小于28对/h；

2）Ⅰ号线和Ⅱ号线本线列车行车密度随ρ₂的增大逐渐减少，跨线列车行车密度增加．当ρ₂≥1.2时，虽然Ⅱ号线本线列车行车密度在保证约束条件的前提下还可以继续减少，但此时已经完全能够满足各交路客流需求，因此，当Ⅱ号线最大满载率再增加时，模型优化结果保持不变．

表4 ρ2取不同值，ρ1=1. 0时各交路行车密度最优解Table 4 The optimal solution of traffic density of each route when ρ2 is different and ρ1=1. 0

3. 2. 3 最大满载率取相同值

当本线列车和跨线列车的最大满载率取相同值，即列车最大满载率0. 20、1. 00及1. 76分别对应座客、定员及超员载荷情况下，目标函数最优解的行车密度见表5．

表5 最大满载率相同时的各交路行车密度最优解Table 5 Optimal solution of traffic density for each route with the same maximum load factor

根据表5计算结果可知，在列车最大满载率的情况下，早高峰小时内Ⅰ号线本线列车、Ⅱ号线本线列车及跨线列车的行车密度可选取为16、20及8对/h．设定早高峰小时的时间为07∶30—08∶30，高峰小时系数为1. 00，列车首班时间为06∶30，则早高峰运行前后的行车密度和行车间隔如表6．

表6 早高峰时段列车行车密度和行车间隔Table 6 Train density and headway in morning rush hours

本例中的计算结果是基于表2假设的客流条件得出的．当客流发生变化时，将根据列车满载率约束判断开行跨线运营方案的可行性，在满足条件的情况下，可按照案例分析中的步骤重新确定各交路列车的行车密度及间隔．