固体相或流体相的连续性方程^[20]为

其中，t为流动时间，单位：s；下标x表示固体相（s）或流体相（f）； φ _x为某相的体积分数； ρ_x为某相的密度，单位： kg/m³； v_x为某相的移动速度，单位：m/s.

流体相和固体相方程分别为式（2）和式（3）．

其中，p_f和p_s分别为流体相和固体相的压力，单位：Pa；K_sf=K_fs，为相同动量交换系数；g为重力加速度； τ（x x=f，s）为各相的切应力张量，单位：N/m²，表达式为

其中， μ_x为各相剪切黏度，单位：Pa·s； μt _x为两相的湍流黏度，单位：Pa·s；对于固体相，颗粒的剪切黏性μ_s为

其中，μ_s，col、μ_s，kin和μ_s，fr分别为固体相之间碰撞、接触和摩擦引起的剪切黏度，单位：mPa·s．

随着携砂液不断注入水平井筒，井筒中携砂液流速增大. 其中，湍流的脉动强弱用湍流强度I进行表征^[21]，为

其中，vˉ_f为流体流过截面的平均速度，单位：m/s；Re为雷诺数； d为圆形管柱的直径，单位：m．支撑剂运移属于在水平管柱内运移．

在固液两相流中湍流模型选用Realizable k⁃ε模型为

其中，k为湍动能，单位：m²/s²；ε为湍流耗散率，单位：m²/s³；σ_K和σ_ε分别为K、ε对应的湍流普朗特数，本研究中取σ _K=1. 0、 σ _ε=1. 2； G_k为平均速度引起的湍流动能的产生项，单位：kg·m^-2·s²；μ_f为流体的动力黏度，单位：Pa·s；μ_t为由于湍流引起的黏度增量，单位：Pa·s．v_x和v_y分别为流体速度v_f在x和y方向上的分量，单位：m/s；C₁和C₂为系数．

压裂液流速受压裂液泵注排量高低的影响，增加压裂液流速导致流体状态发生变化，在射孔处摩擦力增大，影响支撑剂进入跟端射孔簇，进而影响支撑剂在簇间的分布状态．另外，压裂液流速的增加，会引起湍流强度以及支撑剂运移速度增大，支撑剂在水平井筒内运移速度和所受携带作用增大，支撑剂在压裂液携带作用下向趾端射孔簇分布．

通过模拟不同的压裂液流速，研究支撑剂在水平井筒中不同的射孔簇和射孔中的分布情况．如图2所示，共设置4簇、每簇8个射孔，分别取每簇射孔向上和向下的射孔进行分析.

图2 多簇模型示意图Fig. 2 Schematic of a multi-cluster model.

图3（a）为不同流速下支撑剂在不同射孔簇间分布情况，当压裂液流速为4. 3 m/s时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为1. 9%；当压裂液流速为10. 6 m/s时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为4. 7%．随着压裂液流速增加导致支撑剂动能增大，经过第1簇射孔时，高流速压裂液使支撑剂不易转向进入射孔，一定程度上阻碍支撑剂进入跟端射孔，使支撑剂向趾端射孔簇运移．在一定速度范围内，较低压裂液流速有利于支撑剂在不同射孔簇间的均匀分布．

图3（b）显示了不同流速下支撑剂在不同射孔簇间不同射孔方位内分布情况．由于模拟流速较高、支撑剂与压裂液密度差异较大，支撑剂偏向于趾端射孔簇聚集．在低流速条件下，支撑剂沉降速度较快，不同方向射孔内支撑剂分布差异较大，并且支撑剂随压裂液向趾端射孔簇运移过程中，不同方位角射孔内支撑剂浓度变化越来越大．随着压裂液流速的增加，导致重力对支撑剂的沉降影响减弱，在同一射孔簇不同方位角射孔中支撑剂浓度差降低，有利于支撑剂在同一射孔簇内均匀分布．所以，随着流速的增加，支撑剂在向趾端运移的过程中能够减小重力对于支撑剂沉降带来的影响，使支撑剂在同一射孔簇不同方位射孔之中分布变得更加平均．

图3 压裂液流速对支撑剂分布影响（a）不同簇间支撑剂分布情况；（b）不同角度射孔内支撑剂分布情况Fig. 3 Effect of flow rate of fracturing fluid on proppant distribution. (a) Proppant distribution among different clusters, and (b) proppant distribution in perforation at different angles.

支撑剂密度能够表征单位体积的支撑剂所占质量的大小．在其他条件不变的情况下，支撑剂密度能够体现压裂液中支撑剂悬浮能力，当支撑剂密度较小时，支撑剂所受的重力对支撑剂影响作用小于密度较高的支撑剂，使支撑剂在水平井筒运移过程中不易沉降，有利于支撑剂跟随压裂液均匀分布在各个射孔簇．另一方面，在压裂液流速相同的条件下，高密度支撑剂具有更大的动能，使支撑剂不易进入跟端射孔簇．

图4为不同密度支撑剂影响下，不同射孔簇内支撑剂分布情况．图4（a）为不同密度下支撑剂在不同射孔簇间分布情况．由图4（a）可见，当支撑剂密度为1. 50×10³ kg/m³时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为1. 7%；当支撑剂密度为3. 00×10³ kg/m³时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为4. 0%．随着支撑剂密度增加，进入第1簇射孔中支撑剂所占比例减小，这是由于支撑剂随压裂液沿水平井筒向趾端簇运移的过程中，支撑剂密度越大，在相同速度下支撑剂具有的动能就越大，所以水平井筒内支撑剂不易转向进入跟端射孔簇，密度较大的支撑剂继续向趾端射孔簇运移．由于高密度支撑剂在运移过程中会沉降与井筒底部，所以，趾端射孔簇内大密度支撑剂分布较多．图4（b）为不同密度支撑剂在同一簇1～8号射孔中的分布情况．如图4 （b）所示，在第1簇射孔中，低密度支撑剂在运移的过程中不容易发生沉降，所以在顶部射孔簇中低密度支撑剂占比较高，而在底部射孔中高密度支撑剂由于所受的重力较大，导致支撑剂的沉降速度逐渐增大，所以底部射孔中，密度较高的支撑剂所占比重较高．由于重力对支撑剂的运移沉降具有重要作用，在支撑剂向趾端簇运移过程中，支撑剂偏向于底部射孔分布，使顶部射孔簇中支撑剂的浓度逐渐降低，而底部射孔内支撑剂的浓度逐渐增加，并且向趾端射孔簇运移过程中，随着支撑剂密度的增加，支撑剂顶部和底部射孔中支撑剂浓度差逐渐增大．相比于高密度支撑剂，在其他条件不变的情况下，低密度的支撑剂由于受到自身的重力较弱，相同速度下具有的动能较小，且压裂液与低密度支撑剂之间的密度差较小，所以降低密度对支撑剂在各个射孔簇以及相同射孔簇中不同相位角中支撑剂的均匀分布具有一定促进作用．

图4 支撑剂密度对支撑剂分布影响（a）不同簇间支撑剂分布情况；（b）不同角度射孔内支撑剂分布情况Fig. 4 Effect of proppant density on proppant distribution. (a) Proppant distribution among different clusters, and (b) proppant distribution in perforation at different angles.

在较低的闭合压力下大粒径支撑剂能够更好的起到支撑裂缝的作用，有助于增加储层产量．但是在裂缝面积不变的情况下，当支撑剂粒径增大，支撑剂颗粒受到的裂缝壁面效应增大，导致在运移过程中支撑剂水平速度降低．而且支撑剂粒径越大，支撑剂所受重力越大，使支撑剂在沿水平井筒运移过程中容易发生沉降，而且与小粒径支撑剂相比，大粒径支撑剂容易在射孔处形成砂堵现象．从而不利于支撑剂在水平井筒中的运移以及影响支撑剂从井筒进入裂缝，进而影响储层产量．

图5 支撑剂粒径对支撑剂分布影响（a）不同簇间支撑剂分布情况；（b）不同角度射孔内支撑剂分布情况Fig. 5 Effect of proppant size on proppant distribution. (a) Proppant distribution among different clusters, and (b) proppant distribution in perforation at different angles.

通过模拟不同的支撑剂粒径，研究支撑剂在水平井筒中不同的射孔簇的分布情况，结果如图5．图5（a）为不同粒径下压裂液与支撑剂在不同射孔簇间的分布情况，如图5（a）所示，当支撑剂粒径为150 μm时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为2. 0%；当支撑剂粒径为600 μm时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为4. 1%．在其他条件不变的情况下，随着支撑剂粒径增大，动能增加，使支撑剂不易进入跟端射孔簇，继续向趾端射孔簇运移；另外，趾端射孔簇与跟端射孔簇中支撑剂所占比例的差逐渐增大，不利于支撑剂在各个射孔簇间均匀分布；各簇射孔内进入的支撑剂数量下降，更多支撑剂在井筒内沉降，无法继续沿射孔运移至裂缝．图5（b）为不同粒径支撑剂在同一簇1～8号射孔中的分布情况．如图5（b）所示，在第1簇射孔中，粒径较小的支撑剂所受的重力较小，在顶部射孔中密度较低的支撑剂占比较高，而所受重力较大的大粒径支撑剂则集中分布在底部射孔位置．随着支撑剂在水平井筒运移过程中，压裂液流速逐渐降低，重力对于支撑剂的影响作用逐渐增大，所以支撑剂在向趾端运移的过程中，顶部射孔簇中支撑剂所占比例逐渐减小，而底部射孔簇中支撑剂所占比例逐渐增大，使顶部和底部射孔中支撑剂占比之差增大．所以，支撑剂粒径越大，顶部射孔与底部射孔所形成的的支撑剂浓度差越大，并且随着支撑剂向趾端射孔簇运移，浓度差进一步增大．当支撑剂粒径较小时，有利于支撑剂在不同射孔簇和相同射孔簇不同方位角之间均匀分布．

压裂液黏度越大，支撑剂受到的黏滞阻力、浮力以及液体对支撑剂的冲击力越大，使支撑剂的沉降速度变小．压裂液的黏度越大其携砂能力就越强，支撑剂输送的水平运移距离就越远．当压裂液黏度较低时，支撑剂在运移过程中所受的浮力远远小于受到的重力，支撑剂下沉速度较快．随着压裂液黏度的增大，此时支撑剂所受到的浮力增加，支撑剂沉降速度降低．所以，随着压裂液黏度增大，支撑剂在水平井筒中所受到的携带力和浮力增加，对支撑剂的运移沉降和分布产生重要影响，此时支撑剂在水平井筒中的运移距离变大，有助于支撑剂在各个射孔簇间的均匀分布．

通过模拟不同的压裂液黏度，研究支撑剂在水平井筒中不同的射孔簇的分布情况，结果如图6．图6（a）为不同黏度下压裂液与支撑剂在不同射孔簇间的分布情况．如图6（a），当压裂液黏度为5 mPa·s时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为3. 5%；当压裂液黏度为100 mPa·s时，趾端射孔簇内支撑剂浓度与跟端射孔簇内支撑剂浓度差百分比为0. 4%．随着压裂液黏度增加支撑剂在各个射孔簇中的分布逐渐变得平均．这是由于支撑剂在运移的过程中，随着压裂液黏度的增加，压裂液对支撑剂的悬浮作用增强，使支撑剂容易悬浮在液体中，跟随压裂液运送至各个射孔簇．所以高黏度的压裂液有助于支撑剂在各个射孔簇间均匀分布．

图6 压裂液黏度对支撑剂分布影响（a）不同簇间支撑剂分布情况；（b）不同角度射孔内支撑剂分布情况Fig. 6 Effect of fracturing fluid viscosity of on proppant distribution. (a) Proppant distribution among different clusters, and (b) proppant distribution in perforation at different angles.

图6（b）为不同黏度下支撑剂在同一射孔簇中不同射孔方位内分布情况．由图6（b）可见，支撑剂在同一射孔簇中顶部射孔和底部射孔中的分布随着压裂液黏度的增加而逐渐变得平均，这是由于高黏度的压裂液对于支撑剂具有明显的悬浮作用，使重力对支撑剂的沉降作用减弱，支撑剂沉降速度降低．但是，由于重力不可被消除，所以即使黏度已经达到100 mPa·s，顶部射孔中支撑剂的浓度仍略小于底部射孔中支撑剂的浓度．另外，压裂液黏度的增加使得斯托克斯数增加、支撑剂惯性增大，支撑剂容易随着压裂液一起运动，扩散作用明显．随着压裂液黏度的增加，支撑剂在簇间分布以及不同角度射孔中的分布变得平均．