为方便证明,做如下假设.

假设保费额X_i服从参数为α的指数分布,记其分布函数为G₁(x)=1-e^-αx, 概率密度函数为g₁(x). 索赔额Y_j服从参数为β的指数分布,则可证服从参数为(k, β)的Gamma分布,其概率密度函数, 记

这表明累积赔付额服从参数为(1-γ)β的指数分布.在足够小的时间dt内,讨论保费和赔付的几种概率如下.

1)保费到来和赔付到来均为0次的概率.

P(N₁(dt)=0, N₂(dt)=0)=

[1-λ₁dt+o(dt)][1-λ₂dt+o(dt)]=

1-(λ₁+λ₂)dt+o(dt)

2)保费到来为0次,而赔付到来为k次的概率.

P(N₁(dt)=0, N₂(dt)=k)=

[1-λ₁dt+o(dt)][α₁γ^kdt+A_k(dt)+o(dt)]=

α₁γ^kdt+A_k(dt)+o(dt)

3)保费到来1次,而赔付到来为0次的概率.

P(N₁(dt)=1, N₂(dt)=0)=

λ₁dt[1-λ₂dt+o(dt)]=λ₁dt+o(dt)

4)其他情形下,事件发生的概率均为 o(dt).

定理1 当0≤u≤b时,Gerber-Shiu函数G(u; b)满足

【证】当0≤u≤b时,在足够小的时间区间dt内,由盈余的马氏性及全期望公式有

由引理1可知, 均一致收敛.再由单调收敛定理可知,积分与求和运算可以交换次序,同时不难推导, 其中, . 因此,

利用文献[13]的性质1及文献[8]中的无穷小方法,将上式两端同除以F(μdt+σdW(t)),并令dt→0, 则以概率1有积分-微分方程

成立,并且当u≥b时,由于存在障碍分红,Gerber-Shiu函数满足G(u; b)=G(b; b),证毕.

结合定义3,由式(2)可知,在障碍分红下,破产时刻的Laplace变换ψ(u; b)满足

定理2 当0≤u≤b时,破产时刻的Laplace变换满足ψ(u; b)线性微分方程

且满足ψ(u; ∞)=φ(u).

【证】为方便证明,首先做以下几个辅助工作.

在式(3)中,先换元,再对u求导,有

同时,若记 对u求导,有

还有

运用以上结果,推导定理结论.对式(3)两边关于u求导,有

对式(4)两边关于u求导,有

将式(3)乘以-α后与式(4)相加,有

将式(4)乘以-α后与式(5)相加,有

ψ(u; b)-(α+(λ₁+λ₂+δ)/(Fμ))ψ″(u; b)+(λ₂[α+(1-γ)β]+δα)/(Fμ)ψ'(u; b)-

将式(6)乘以(1-γ)β后与式(7)相加,有

若记无分红时保险公司破产时刻的Laplace变换为φ(u), 则ψ(u; ∞)=φ(u), 且边界条件为

φ(∞)=0(9)

在式(8)中,若令b→∞, 则得到无分红情形下,破产时刻的Laplace变换φ(u)满足

定理3 无分红时保险公司破产时刻的Laplace变换为

其中,

k₁=(λ₂(1-γ)β)/(r₁+(1-γ)β);

k₂=Fμr₁-(λ₁+λ₂+δ)-

(λ₁α)/(r₁-α)+(λ₂(1-γ)β)/(r₁+(1-γ)β).

r₁是特征方程(11)的唯一负根.

r³+[(1-γ)β-α(λ₁+λ₂)/(Fμ)]r²+

[(λ₂α-λ₁(1-γ)β)/(Fμ)-α(1-γ)β]r+

((1-γ)βαδ)/(Fμ)=0(11)

【证】方程(11)为方程(10)的特征方程.受文献[4]启发,不妨设方程(11)有3个不同的实根r₁、 r₂及r₃, 则方程(10)的通解为

φ(u)=C₁e^<sup>r₁u+C₂e^<sup>r₂u+C₃e^<sup>r₃u,

其中, C₁、 C₂及C₃为任意常数.不难发现((1-γ)βαδ)/(Fμ)>0, 同时由于单笔赔付的期望1/((1-γ)β)会大于单笔保费的期望1/α, 进而(1-γ)β-α(λ₁+λ₂)/(Fμ)<0, 所以方程(11)的3个根之间必有r₁<0<r₂<r₃. 注意到边界条件(9),于是必有C₂=C₃=0. 因此,方程(10)的通解为

φ(u)=C₁e^<sup>r₁u(12)

以下求解C₁. 若令b→∞, 则式(3)转化为

将式(12)代入式(13)得

从式(14)中可解出C₁, 再将C₁代入式(12),有

其中,

k₁=(λ₂(1-γ)β)/(r₁+(1-γ)β);

k₂=Fμr₁-(λ₁+λ₂+δ)-

(λ₁α)/(r₁-α)+(λ₂(1-γ)β)/(r₁+(1-γ)β).

定理4 障碍分红下保险公司破产时刻的Laplace变换为

ψ(u; b)=φ(u)+A/(1-A)φ(b)e^-α(b-u).

其中, A=-2((1-γ)β[α-(1-γ)β])/(α[α+(1-γ)β]).

【证】由于G ^-(b-u)=e^-αbe^αu, 显然α不是方程(11)的特征根,因此,不妨设Pe^αu为方程(8)的一个特解,进而

从中解得P=Aψ(b; b)e^-αb, 其中,

A=-(2(1-γ)β[α-(1-γ)β])/(α[α+(1-γ)β]).

因此,方程(8)的通解为

ψ(u; b)=φ(u)+Aψ(b; b)e^-αbe^αu(15)

由式(15)可知ψ(b; b)=φ(b)+Aψ(b; b), 从中解出ψ(b; b), 并代入式(15),可得

ψ(u; b)=φ(u)+A/(1-A)φ(b)e^-α(b-u).

结 语

在复合P-G风险下,本研究克服了仅单方面研究破产时刻的Laplace变换问题,或仅单方面研究带投资分红问题的局限,将带投资的障碍分红问题与破产时刻的Laplace变换问题统一起来,进行进一步研究.运用随机分析基本理论,得到带投资和障碍分红的破产时刻Laplac变换所满足的更新方程,并在指数分布假设下,得到复合P-G风险下投资和障碍分红破产时刻的Laplac变换显式解.