当泊松过程的强度λ与时间t相关时,泊松过程被推广为非齐次泊松过程,定义为

若计数过程{N(t),t≥0}, λ(t)>0(t≥0), 满足

1)N(0)=0;

2)过程有独立增量;

3)P{N(t+h)-N(t)=1}=λ(t)h+o(h);

4)P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h);

则称N(t)为具有强度函数λ(t)的非齐次泊松过程.其中, λ(t)为强度函数; o(·)表示高阶无穷小.

分析中国西安市某立体车库2017年6月至2017年8月的顾客泊车数据(简称数据样本),泊车时段基本为07:00—23:00.记顾客到达时间为t,相继到达的时间间隔为d(单位:s)(当前顾客对应时间间隔为其后顾客到达时间减去当前顾客到达时间),以07:00作为0时刻,将数据样本中的顾客到达时间转换为以s为单位的数值,任取数据样本中20个工作日与非工作日数据进行上述转换,并将其按照到达时间转换后的数值大小依次排序,结果如图1.

图1 到达时间与间隔时间的数据散点图
Fig.1 Scatter plot of arrival time-interval time data

由图1可见,到达间隔时间点均呈现上方稀疏、下方密集的分布,说明顾客到达时间间隔越小,到达次数就越多,某时间间隔内顾客到达次数的计数过程符合泊松分布特点; 在横向上可以观察顾客的到达率情况,即不同到达间隔下的顾客到达量,图1(a)和(b)中均呈现先增后减再增的变化情形,认为顾客到达率与到达时刻存在一定相关性.因此,推测该车库的顾客到达过程属于非齐次泊松过程.对比图1(a)和(b)数据散点的密集程度可见,工作日数据散点较稀疏,工作日顾客到达数量少,对车库运行能力的要求相比非工作日低很多,因此,为提高立体车库运行效率的实际意义,本研究主要考虑非工作日的顾客到达过程.

非齐次泊松过程的验证常利用λ(t)的连续性与缓慢变化性,将顾客到达过程转化为小区间上泊松性的分段常数,验证每个小区间上的泊松性是否成立^[11].由于顾客到达的泊松过程与顾客相继到达时间间隔服从负指数分布等价^[12],因此,将顾客到达是否服从泊松分布转换为顾客相继到达间隔是否服从负指数分布问题.

K-S检验是用于对比两类样本是否属于同一分布的常用非参数统计方法^[13].本研究尝试以40 min的时间间隔将图1(b)非工作日中的到达时间划分为24个区间段,由于800～960 min的顾客到达数量较少,达不到检验要求条件,故舍去在此时段上的检验.因此,对图1(b)中07:00—20:20划分为20个区间段,对各区间段进行显著性水平a=0.1的单分布K-S检验,结果如表1.其中, ω为假设顾客到达间隔时间服从负指数分布的均值(单位:s); P为显著性水平.由表1可见,按40 min划分,各区间段均保留到达间隔时间服从负指数分布的原假设,且各区间段内的间隔时间均值各不相同,由此证明该车库非工作日顾客到达过程属于非齐次泊松过程.

表1 逐区间段K-S检验(a=0.1)
Table 1 Interval-by-interval K-S tests(a=0.1)

由1.3节验证结果可知,该车库非工作日顾客到达过程符合非齐次泊松过程,仅在具体强度函数即λ(t)上随到达时间有所不同,故可通过回归分析找到d与t的关系f(t). 由回归分析基本定理,随机误差项均值E(ε_i )=0^[14], 故用回归方程中的f(t)代替平均间隔时间函数d(t). 由图1(b)可判断顾客到达间隔与到达时间关系为非线性关系,无法直接建立线性模型.根据广义线性回归法将非线性模型线性化后可直接进行线性回归分析^[15].利用统计分析软件进行f(t)对t的回归分析.其中,顾客到达时间为自变量,顾客到达间隔时间为因变量,试选取二次、三次、线性及指数模型为拟合模型,以寻找适当的f(t), 其拟合模型摘要与参数估计请扫描论文末页右下角二维码见表S1, 各拟合曲线如图2.

图2 车辆到达平均间隔时间拟合曲线
Fig.2 Fitting curves of mean time between arrivals of vehicles

其中, R²用来衡量估计模型对观测值的拟合程度, R²值越接近1,说明模型越精确; F是回归方程的显著性检验; b₁、 b₂及b₃分别为三次方程中一次项、二次项及三次项系数.可见,三次模型的拟合度最好,其R²=0.247, 说明到达时间与间隔时间存在相关性; F值及显著性水平分别为216.881及7.19×10^-121<0.01,说明拟合效果显著.因此,以三次方程作为其回归模型.

为判断三次模型估计的有效性,通过统计分析软件对已得估计模型随机误差项中同方差性进行检验,运用加权最小二乘法对模型异方差进行修正,得到最终回归模型的一般表达式为

f(t)=b₁t+b₂t²+b₃t³+c(1)

其中,常数c=426.920; b₁=0.056; b₂=-4.420×10^-6; b₃=7.900×10^-11.

顾客平均到达间隔时间函数d(t)=f(t), 由此得λ(t)为

λ(t)=1/d(t)(2)

因此,该系统的顾客到达过程即可转化为在长度为t的时段内,顾客到达量服从参数为λ(t)的泊松分布,或认为顾客相继到达的间隔时间服从参数为d(t)的指数分布.

取图1(b)数据为样本,计算该样本顾客平均到达率λ=5.6 veh/min,再取该样本下拟合顾客平均到达率函数λ(t), 分别模拟20 d中07:00—23:00 内的顾客到达过程,按照40 min的时间间隔将以上时段划分为24个区间,统计各区间顾客数量并计算20 d内各区间的平均到达顾客数量,分别记为HPP样本和NHPP样本.依照上述统计和计算方法对实际数据样本20 d中各区间平均顾客数量进行计算,得到各样本顾客到达率分布,如表2.

表2 各样本与实际到达率分布
Table 2 Customer arrival rate distributions for samples单位:veh

分别对NHPP样本、HPP样本与实际样本进行两独立样本K-S检验^[13],选取显著性水平a=0.1. 检验结果中仅NHPP样本与实际样本的K-S检验渐近显著性p值为0.139 >a,得到非齐次泊松到达与实际到达属于同一分布.

取表2中HPP样本、NHPP样本与实际样本对应区间平均顾客量的差值(绝对值),分别记为误差1和误差2.得到两样本与实际样本误差,如表3.分别对表3中的误差1和误差2数据进行正态性检验,证明两组数据均服从正态分布,在此基础上对两组误差数据进行配对,通过逐对τ置信区间比较法分析.经分析配对样本均值为-1.187 50,且两误差有明显差异,其差值95%置信区间[-1.945 36,-0.429 64]位于0左侧,说明HPP样本与实际样本的误差波动更大,表明顾客到达的非齐次泊松过程与实际更接近.

表3 两样本与实际样本误差
Table 3 Errors between two samples and actual samples

为探究不同顾客到达过程对车库运行效率仿真结果的影响,根据实际车库运行编写仿真程序.以西安市某商业区附属车库为研究对象,其结构为2层12列2排,可用车位数48个,所有车位均位于地下,1个进出(I/O)口位于地面,立体车库结构模型如图3.经现场调研得到该立体车库的设备特征参数值, 结合以下车库运行规则, 编写其运行仿真程序.

1)I/O口坐标为(0,0,3),升降机横坐标为0,其水平移动1个车位用时5 s,竖直移动1层需要7 s.顾客到达后车辆入库检查及进行存取操作的时间固定为60 s.

图3 立体车库结构模型
Fig.3 Stereo garage structure model

2)服务规则服从先到先服务原则.

3)顾客到达后遵循就近存车的调度策略,当有车辆被取出时,则根据出车优先原则接受服务.

4)以顾客离开车库时间减去顾客到达时间近似为顾客库内停留时间样本,拟合得到该车库顾客的库内停留时间(单位:min)服从正态分布,其均值μ=208 min,方差为σ²=30.

5)假设车库初始状态为空库状态,顾客到达时间段为07:00—23:00.

依据实际调研分析车库的运行效率指标如下.

1)顾客平均等待时间T由服务顾客总数与顾客等待总时间决定, T越小说明车库的运行效率越高. T的表达式为

(3)

其中, J为总存车顾客数; j为存车用户(j=1,2,…, J); K为总取车顾客数; k为取车用户(k=1,2,…,K); 当等待队列中有A_j个待存车用户, B_j个待取车用户,且等待队列中最后一个取车用户编号为k'时, j₁为当前存车用户,对应接受服务时长为T_Cj1, k1为当前取车用户,对应接收服务时长为TQk</sub>1; 当等待队列中有Ak个待存车用户, Bk个待取车用户,等待队列中最后一个存车用户编号为 j'时, j2为当前存车用户,对应接受服务时长为TCj</sub>2,k2为当前取车用户,对应接受服务时长为TQk</sub>2.</sub>

2)顾客平均等待队长Q由服务顾客总数及每位顾客的等待队长决定,表征每位顾客等待队长的平均值. Q的表达式为

3)结合实际调研,取15 min为顾客可等待的最大时长,顾客流失率R为

R=M/(J+M)(5)

其中, M为未接受服务离开的顾客数.

任取数据样本非工作日中的某几天作为实际参照,依顾客平均到达率函数λ(t)与数据样本中顾客平均到达率λ=5.6 veh/min,分别模拟车库在6月4日、7月9日、7月29日及8月19日的顾客到达非齐次泊松过程与齐次泊松过程,结果如图4.

图4 不同到达过程顾客到达时间拟合
Fig.4 Fitting curve of customer arrival time for different arrival processes

可见,不同时段顾客到达率的变化趋势反映了不同的顾客到达过程.其中,模拟泊松到达过程的顾客到达率基本保持恒定; 而非齐次泊松到达过程顾客到达率随顾客到达时间的不同而不同,其变化趋势与实际吻合,整体呈现顾客到达率先增后减的趋势.整体拟合曲线进一步验证2.2节所得结论,表明该车库系统非工作日顾客的到达过程为非齐次泊松过程.

编写车库运行仿真程序,获得顾客到达为泊松过程与非齐次泊松过程的仿真结果,并与车库实际运行效率指标对比分析,以探究仿真与实际结果的相似度,及顾客不同到达过程对仿真结果的影响.