作者简介:焦亚萌(1981—),西安工程大学讲师、博士.研究方向:阵列信号处理、麦克风信号处理.
中文责编:英 子; 英文责编:木 柯
College of Electronic Information, Xi'an University of Engineering, Xi'an710600, Shaanxi Province, P.R.China
signal detection; source number estimation; eigenvector; peak-to-average power ratio; Gerschgorin disk radius; multi-target with unequal intensity
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2021.01085
Gerschgorin disk estimator(GDE)method is difficult to detect the number of signal sources effectively under low signal-to-noise ratio(SNR). In view of this situation, we propose GDE method based on peak-to-average power ratio(GDE-PAR)by combining the peak-to-average power ratio(PAR)with the Gerschgorin disk radius. We extract the eigenvectors from the received data and use them as the weights of the data. The PAR is used to modify the corresponding Gerschgorin disk radius, and the number of signal sources is determined by GDE method. This paper adopts Matlab simulation on the Gerschgorin disk radius before and after correction under different SNR conditions. In the case of double target of equal intensity and double target of unequal intensity, three target of equal intensity and three target unequal intensity using Monte Carlo method, we use Akaike information theory criterion(AIC), minimum description length(MDL)criterion, PAR method and GDE-PAR method to estimate the number of signal sources respectively. The results show that under the conditions of low SNR and multi-target of unequal intensity, the probability of successful detection of source by GDE-PAR method is higher than that of AIC, MDL criterion and PAR method.
信号源参数估计是雷达、声呐和地震学等阵列信号处理领域的重要问题.其中,确定信号源数目是信号源参数估计的重要课题, 出现了如信息论方法、最大后验概率方法、平滑秩法、特征值门限法和假设检验法等方法[1].最常见的是信息论方法,如Akaike 信息论准则(Akaike information criterion, AIC)和最小描述长度(minimum description length, MDL)准则等[2].NADLER[3]和FISHLER等[4]给出包括AIC和MDL准则在内的所有基于信息论算法性能的渐进分析:AIC有不可忽略的高估概率,而MDL准则对信号源的实际分布不敏感.进一步分析可知,在低信噪比(signal to noise ratio, SNR)时,因无法很好地区分采样协方差矩阵特征值的大小,令信号子空间和噪声子空间难以被正确划分,造成利用信息论方法估计信号源数目时受到特定因素的影响.比如,AIC不是信号源数的一致估计,估计性能并不会随着信噪比的增加而稳步增加; MDL准则受信噪比影响较大,在低信噪比时,估计概率不理想. 针对信息论方法的估计性能受特定因素影响的情况,WU等[5]提出用对数似然函数将盖氏圆半径与AIC和MDL准则相结合的算法,显著改善了高斯白噪声环境下的检测性能.董志等[6]将对角加载技术引入MDL准则中.由于对角加载技术具有对角加载过程对较大的特征值产生很小的影响,且对应于噪声的较小特征值将收敛到接近负载值的特性,改善了MDL准则的性能.HUANG等[7]利用噪声子空间分量的恒等协方差矩阵结构设计了基于线性收缩的最小描述长度(linear shrinkage based minimum description length, LS-MDL)准则,利用线性收缩和观测值的高斯假设,得到噪声子空间分量协方差矩阵的精确估计量,使该准则可准确检测信号源数量,且无明显的额外计算量.GUIMARÃES等[8]提出一种用于改善MDL准则的估计器,该算法基于向量的范数,其元素是接收信号协方差矩阵的归一化和非线性缩放特征值以及相应的归一化索引,此规范用于区分最大特征值与其余特征值,信源数量检测效果更好.假设检验法的原理是提取出阵列采样协方差矩阵特征值,然后用特征值构造检验序列,其检测门限的设定很大程度取决于主观经验值.特征值门限方法是基于高斯分布原理处理特征值来检测信号源数量,但在低信噪比情况下,信号特征值与噪声特征值接近,难以区分,可能导致信号源数量被低估.
相比特征值,特征向量对信噪比和快拍数的变化不太敏感.预测描述长度(predictive description length, PDL)方法使用相关矩阵的信号子空间和噪声子空间,能较好地处理相干源和非相干源,性能优于MDL方法[9].通过利用基于特征向量的盲波束形成技术,GU等[10]提出一种基于特征向量的峰均功率比(peak-to-average power ratio, PAR)方法,弥补了其他方法在低信噪比下难以有效检测信号源数的缺陷.然而,对于不等强多目标,PAR方法的检测性能严重下降.
本研究提出一种基于峰均功率比的盖氏圆估计(Gerschgorin disk estimator based on peak-to-average power ratio, GDE-PAR)方法.首先,用采样协方差矩阵对接收数据进行加权,通过矩阵运算得到峰均功率比; 然后,对采样协方差矩阵用标准转换矩阵进行盖氏圆变换,计算其盖氏圆半径,用峰均功率比值修正盖氏圆半径; 最后,将修正后的盖氏圆半径应用于盖氏圆估计方法,从而估计信号源数目.仿真结果表明,GDE-PAR方法在低信噪比下检测性能较好,对于不等强多目标的恶劣环境也有很好的适应能力.
假设有一个M阵元的均匀线列阵,阵元间距d为半波长(λ/2). 在背景噪声 n(t)存在的条件下,设存在波长为λ的p(p<M)个远场窄带信号,其入射方向分别为θ1, θ2, …, θp. 均匀线阵如图1.
传感器阵列在t时刻接收的矢量数据[11]为
其中, a(θk)是M×1维的导向矢量, a(θk)=[1,; n(t)是独立同分布、零均值的高斯白噪声, n(t)=[n1(t), n2(t), …, nM(t)]T; sk(t)是第k个空间信号, k=1, 2, …, p, s(t)=[s1(t), s2(t), …, sp(t)]T; A=[a(θ1), a(θ2), …, a(θp)]T, 是M×p维导向矢量矩阵[6].
因此,阵列接收矢量数据的协方差矩阵为
R=E{x(t)x(t)H}=ARSAH+RN(2)
其中,E{}为数学期望; H为矩阵的共轭转置操作符; RS为信号协方差矩阵; RN为噪声协方差矩阵.
对 R进行特征分解,可得
其中, U为特征矢量矩阵; Σ为由特征值组成的对角阵; ΣS为信号特征值组成的对角阵, ΣS=diag(λ1, λ2, …, λp), diag()为构造对角矩阵函数, ΣS对应的特征向量张成的空间 US=[u1, u2, …, up],ui是特征矢量; ΣN为噪声特征值组成的对角阵, ΣN=diag(λp+1, λp+2, …, λM), 其对应的特征向量 UN=[up+1, up+2, …, uM].
常见的信号源估计方法是用特征值估计信号源数,而盖氏圆估计(Gerschgorin disk estimator, GDE)方法[12-13]利用的是盖氏圆半径.
设 R=(rij)为M×M维矩阵,对矩阵内除第i列元素外的第i行元素取绝对值再求和,可得第i个盖氏圆的半径为
定义第i个圆盘上的点在复平面上的集合Z满足
其中, rii为圆盘的中心.
信号盖氏圆与噪声盖氏圆模型如图2.由图2可见,信号盖氏圆半径与噪声盖氏圆半径大小明显不同.其中,信号盖氏圆的半径较大,包含信号源特征值; 噪声盖氏圆的半径较小,包含噪声特征值[14].为区分开信号盖氏圆与噪声盖氏圆,需对阵列协方差矩阵进行酉变换.
实际应用中,阵列接收到的数据并非无限长,因此,阵列的采样协方差矩阵的最大似然估计 需要由N次有限快拍数据得到[16].
其中, 是的特征值, 是 U的估计值.
对进行分块,可得[15]
其中, 为最大似然估计的M-1维主子矩阵为(M-1)×1维矢量矩阵为的共轭转置.
为计算方便,取方阵的特征空间构造酉变换矩阵
其中, 为特征矢量矩阵估计值,且=I, I为单位矩阵; O为元素全为0的M-1维列向量.
矩阵经过酉变换可得
其中, 为矩阵特征值的估计值; ρ*c为ρc的共轭,
其中, A为阵元的阵列流型; 为信号的协方差矩阵; d</sup>*M为 dM的共轭, dM为阵列导向矩阵,且dM=,k=1, 2, …, p.
因此,第i个盖氏圆半径满足
其中, i=1, 2, …, M-1; kv=, 可见kv与i无关.因此, 决定了盖氏圆半径的大小,且信号盖氏圆半径大于0,噪声盖氏圆半径接近零,则GDE方法可概括为
其中,调节因子D(L)∈[0, 1]; 当l=1, 2, …, M-2时,若使得GDE(l)第1次小于零时的数为l0, 则信号源数为.
由于协方差矩阵的信号子空间与入射信号的导向矢量张成的空间是同一个空间,因此,存在满秩矩阵 Q使得信号子空间 US满足
US=AQ(13)
通过矩阵变换可得
其中, B是满秩矩阵.所以,噪声子空间 UN和导向矢量是正交的,即
uHha(θb)=0(15)
其中, h=p+1, p+2, …, M; b=1, 2, …, p.
用噪声特征向量对接收数据进行加权,可得第h个阵元的阵列输出数据为
其中, h=p+1, p+2, …, M.
可见,用噪声特征向量加权接收数据,得到的阵列输出数据中不包含任何信号分量.用信号特征向量对接收数据加权,得到阵列输出数据为
其中, , 2, …, p; ωNh(t)是独立同分布的零均值复高斯向量,协方差为σ2n.
可见,用信号特征向量加权接收数据,得到的阵列输出数据中含有噪声分量与信号分量,且其信噪比可能是单个阵元输出信噪比的M倍.
峰均功率比定义为
其中, w为功率, Pi(w)是的功率谱.
由以上分析可见,在区分信号与噪声方面,峰均功率比与特征值具有一致性.基于此性质,文献[10]提出PAR方法估计信号源数目的准则
其中, l=1, 2, …, M-1. 当使PAR(l)第1次小于0时的数为l0, 信号源数目为.
由文献[10]可知,对于等强多目标(同时有多个强度相同的信号入射到接收阵列,在建立接收信号模型时,通过给这些信号设定相同的入射信噪比来模拟阵列接收回波信号模型)时,PAR方法的检测性能优于MDL和PDL方法; 而对于不等强多目标(同时有多个强度不相同的信号入射到接收阵列,在建立接收信号模型时,通过给这些信号设定不相同的入射信噪比来模拟阵列接收回波信号模型)时,PAR算法的检测性能较差.
本研究设计一种既拥有PAR方法对等强多目标检测性能的优良性,又能有效避免PAR方法难以准确检测不等强多目标的缺点的方法.将峰均功率比与盖氏圆半径按比例相加,得到第i个修正的盖氏圆半径为
ri'=ri+α|fi|, i=1,2,…,M-1(20)
其中, ri为盖氏圆半径; fi为峰均功率比值; α为比例系数,反映峰均功率比值信息对盖氏圆半径的影响程度, α值过小无法对盖氏圆半径进行修正,过大则会导致盖氏圆半径信息丢失,因此,需将其控制在一定范围内,本研究取α∈[50, 100].
式(20)相当于把 ri放大了1+α|fi|/ri倍,且信号盖氏圆半径的放大倍数大于噪声盖氏圆半径的放大倍数.由于修正后的盖氏圆半径中,噪声盖氏圆半径要远小于信号盖氏圆半径, 因此提高了检测性能.
改进后的GDE-PAR方法为
其中, D(L)∈[0, 1]是一个与快拍数有关的调节因子; l=1, 2, …, M-2, 当l从小到大时,假设PGD-PAR(l)首次出现负值时l=l0,则信号源数为N ^=l0-1. 算法具体步骤为:① 根据式(6)计算阵列的采样协方差矩阵 R ^, 再由式(11)和式(18)计算盖世圆半径ri和峰均功率比fi; ② 根据式(20)计算修正的盖氏圆半径ri'; ③ 取l=0; ④ l更新为 l+1; ⑤ 将新的l值代入式(21),若GDE-PAR(l)>0, 令l0=l, 则得到信源数N ^=l0-1, 否则转至④.
假设有一个阵元数M=8, 阵元间距为半波长的均匀线性阵列,信号采样频率为50 kHz,快拍数为1 000,采用蒙特卡罗方法分别进行不同条件下PDE-PAR方法的性能对比,每次实验重复1 000次.
实验1 不同信噪比条件下修正的盖氏圆半径与特征值对比.假设有两个方位角分别为6°和-6°的远场窄带信号入射到阵列上,实验结果如图3.图3(a)和图3(c)为等强双目标特征值与修正的盖氏圆半径随信噪比变化情况; 图3(b)和图3(d)为固定首个信号的信噪比为-11 dB,第2个信号信噪比从-30 dB增至20 dB时,两目标特征值与修正的盖氏圆半径随信噪比变化情况.
图3 不同条件下特征值与修正的盖氏圆半径对比
Fig.3 Comparison of modified Gerschgorin dish radius and eigenvalue under different conditions
由图3(a)和(c)可见,对于等强双目标,在SNR<-10 dB时,难以有效区分信号特征值与噪声特征值; 而修正后的盖氏圆半径在SNR>-15 dB时能与噪声盖氏圆半径明显区分.从图3(b)和图3(d)可见,对于不等强双目标,在SNR>-5 dB时,仅有1个信号特征值能与噪声特征值区分,另一个信号特征值与噪声特征值混在一起难以区分; 修正盖氏圆半径后,尽管在SNR>-10 dB时,两信号修正后的盖氏圆半径逐渐离散,但仍能与噪声盖氏圆半径明显区分.可见,在等强双目标与不等强双目标情形下,修正后的盖氏圆半径在区分信号与噪声方面对比特征值更具优势.
实验2 等强双目标与不等强双目标检测性能对比.针对AIC、MDL、PAR和GDE-PAR四种算法,分别仿真其对于等强双目标与不等强双目标的检测性能.假设有两个方位角分别为+6°和-6°的远场窄带信号入射到阵列上,不等强双目标为固定第1个信号源SNR=5 dB,第2个信号源的SNR值从-20 dB增至20 dB,仿真结果如图4.由图4可见,对于等强双目标,GDE-PAR算法正确检测到信号源数目的性能优于传统的AIC和MDL算法,近似于PAR方法; 对于不等强双目标,GDE-PAR算法检测信号源数目的性能在4种算法中最优.
图4 等强双目标与不等强双目标性能检测结果
Fig.4 (Color online)Performance detection comparison of equal and unequal intensity dual targets
实验3 等强3目标与不等强3目标性能检测对比.针对AIC、MDL、PAR和GDE-PAR四种算法,分别仿真分析其对于等强3目标与不等强3目标的检测性能.假设有3个方位角分别为0°、10°和20°的远场窄带信号入射到阵列上,各方法检测性能如图5.其中,图5(a)为等强3目标检测新能随信噪比变化情况; 图5(b)为固定第1个目标SNR=6 dB,其他两个目标SNR值从-10 dB增至20 dB时,各方法检测性能的变化情况.对比可见,对于等强3目标和不等强3目标, GDE-PAR方法的检测性能比其他方法都更具优势.
与PAR方法相比,GDE-PAR方法因使用了修正的盖氏圆半径,所以计算复杂度发生了变化.假设计算协方差矩阵的复杂度为O(1), 由协方差矩阵计算峰均功率比fi的复杂度为O1(M), 计算盖氏圆半径ri的复杂度为O2(1).修正的盖氏圆半径ri'是将fi与ri按一定比例叠加,因此,其计算复杂度可记为O3(M). 为评估O1(M)、 O2(1)与O3(M)的大小,通过仿真实验比较不同信噪比条件下计算1次峰均功率比fi、 盖氏圆半径ri和修正的盖氏圆半径 ri'的时间,结果如表1.参数设置与实验3相同,使用同一台电脑,处理器为i5- 6300HQ,主频2.30 GHz,RAM是8 Gbyte.
图5 等强三目标与不等强三目标性能检测结果
Fig.5 (Color online)Performance detection comparison between equal-intensity three-target and unequal-intensity three-target
分析表1可知, 由于增加了盖氏圆半径的计算, 在不同信噪比条件下,修正的盖氏圆半径计算时间比峰均功率比的略有增加,即O3(M)略大于O2(1).因此,GDE-PAR方法在没有大幅增加计算量的同时,提高了算法在低信噪比时的检测性能,尤其针在不等强多目标环境的检测能力优于其他算法.
表1 不同信噪比下fi 、ri与ri'的计算时间
Table 1 Calculation time of fi、ri and ri' under different SNRsms
通过对峰均功率比与盖氏圆半径的分析,提出一种基于峰均功率比的盖氏圆估计GDE-PAR方法,引入PAR方法在低信噪比条件下检测等强目标的优势,结合GDE方法在检测不等强目标的优良特性,使GDE-PAR方法更具广泛的适用性.仿真结果表明,对于等强双目标,GDE-PAR方法的信源检测性能与PAR方法基本一致,对于不等强双目标该方法的信源检测性能最优; 对于等强3目标与不等强3目标,GDE-PAR方法的信源检测性能比AIC、MDL和PAR方法都更具优势.可见,GDE-PAR方法是一种适用范围广、检测性能好的多目标检测方法.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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主 编 李清泉
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