首先, 考虑单次索赔额为指数分布, 即p(x)=αe^-αx, x>0的情况,其结果在文献[14]中详细说明,v(u,x,t)=w(u,t)αe^-αx, 因此, w(u,x,t)=w(u,t)αe^-α(x-ct-u). 文献[11]对于w(u,t)可得(T_u,S(T_u))的联合概率密度为

w(u,x,t)=λαe^-λt-αx(I₀((4αλt(u+ct))^1/2)-

(ct)/(ct+u)I₂((4αλt(u+ct))^1/2))(11)

其中, x>u+ct, t>0, 且

I_v(t)=∑^∞_n=0((t/2)^2n+v)/(n!(n+v)!)

为v阶的修正Bessel函数.图1给出对于2个不同u值时,(T_u,S(T_u))的联合概率密度函数图像.其中, t表示破产时间; x表示破产时的集体索赔额.由式(4)可得S(T_u)的概率密度.用求和形式写出Bessel函数,并根据(u+ct)ⁿ的二项展开式,当x>u, 有

ω(u,x)=λαe^-αx(∑^∞_n=0((αλ)ⁿ)/(n!n!)∑ⁿ_j=0(n

j)u^jc^n-j

(Γ(2n+1-j))/(λ^2n+1-j)E(2n-j+1,λ,(x-u)/c)-

∑^∞_n=0((αλ)ⁿ⁺¹)/(n!(n+2)!)∑ⁿ_j=0(n

j)u^jc^n+1-j

(Γ(2n+3-j))/(λ^2n+3-j)E(2n-j+3,λ,(x-u)/c))(12)

E(m,λ,x)=1-∑^m-1_j=0e^-λx((λx)^j)/(j!)(13)

图1 u=0, 20时w(u, x, t)的图像
Fig.1 (Color online)w(u, x, t)charts when u=0, 20

同时,也可得(N(T_u),S(T_u))的联合概率密度,对任意的x>0, 运用式(7)可得

(^overw)_n(0,x)=e^-αx(αⁿc^n-1)/(λ^n-1)((2n-2)!)/(n!(n-1)!)×

E(2n-1,λ,x/c)(14)

对于u>0, x>u, 通过一些简单变换得

(^overw)_n(u,x)=(αⁿu^n-1e^-αx)/((n-1)!)∑^n-1_j=0(c/(λu))^j((n+j-1)!)/(j!(n-j-1)!)×

E(n+j-1,λ,(x-u)/c)-

((αc)/λ)ⁿ(e^-αx)/u∑^n-1_k=1∑^k-1_j=0((λu)/c)^k-j×

{((k+j)!(2n-2k-2)!)/(k!(n-k)!(n-k-1)!j!(k-j-1)!)×

E(2n+j-k-1,λ,(x-u)/c)}(15)

图2(a)为n=2,3,4,5时的(^overw)_n(0,x)图像; 图2(b)为n=10和n=20时的(^overw)_n(0,x)图像.当n值较小时,图像呈现正偏差,n值逐渐增大,图像趋于对称.当n=20时,图像几乎完全对称. 对于一个给定的n值,曲线下的面积为Pr(N(T₀)=n), 如当n=10时,曲线下面积远大于当n=20时的曲线下面积,所以在这种情况下N(T₀)的概率密度函数是一个递减函数.说明此时条件随机变量S(T_u)|N(T_u)的分布函数可能是正态分布.虽然从(^overw)_n(u,x)的表达式上看不原因,但注意到S(T_u)|N(T_u)是一个随机变量的和,因此,当N(T_u)的值足够大时,也可得到期望的正态分布.

图2 当n=2,3,4,5, n=10和n=20时,(^overw)n(0,x)和(^overw)n(20,x)的图像
Fig.2 (^overw)n(0,x)and(^overw)n(20,x)charts when n=2,3,4,5, n=10 and n=20

只有特定几个类型的个体索赔分布才可以求出(T_u,Y_u)联合分布函数的显式解,这些分布需满足以下性质^[15]

p(x+y)=∑^m_j=1η_j(x)τ_j(y)(16)

其中, {η_j}为非负的实值函数; {τ_j}为概率密度函数.由此可推导出v(u,y,t)的形式为^[16]

v(u,y,t)=∑^m_j=1h_j(u,t)τ_j(y)(17)

因此,可得

w(u,x,t)=∑^m_j=1h_j(u,t)τ_j(x-ct-u)(18)

实现式(18)的主要问题是难以求得函数{h_j(u,t)}, 虽然在u=0的特殊情况下,这个问题并不复杂.如当p(x)=∑ⁿ_i=1w_iα_ie^-α_ix时,可由文献[17]得

∫^∞₀e^-δth_i(0,t)dt=λ/c(w_i)/(α_i+ρ), 其中, ρ为方程λ+δ-cs=λ(～overp)(s)的唯一正数解^[1].根据文献[8]给出的逆变换关系,可得

h_i(0,t)=(λw_i)/c(ce^-(λ+α_ic)t+∫^ct₀x/tg(ct-x,t)e^-α_ix),

i=1,2,…,n.(19)