广义多目标博弈问题解的存在性和稳定性一直受到学者们的关注,并取得许多研究成果^[1-5].杨辉等^[3]利用向量拟平衡问题解的存在性以及解集的稳定性,得到广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点集的稳定性结果.DING等^[4]研究了广义凸空间中多目标广义博弈的弱Pareto-Nash平衡点集的存在性.贾文生等^[5]把信息集的概念引入到广义多目标博弈中,得到信息集广义多目标博弈平衡点的精炼结果.

以上研究均建立在完全理性基础上,但完全理性这一前提条件在现实中过于苛刻,许多重要问题和模型都无法满足,使研究所得结论的应用受到极大限制. ANDERLINI等^[6]对经济模型建立一类具有抽象理性函数的模型,简称AC-有限理性模型.有限理性的引入,使结论的假设条件更加符合实际,极大地扩展了其结论的应用范围; 俞建等^[7-11]将AC-有限理性模型进行改造,不仅扩大模型的应用范围,还得到一些新的较为深刻的定理,并用于多目标博弈,得到此类博弈弱Pareto-Nash平衡问题在有限理性下是结构稳定的和对ε-平衡也是鲁棒的.随着问题研究的深入, 俞建^[11]建立起用博弈论语言描述的有限理性模型稳定性的统一模式.

本文研究一类信息集广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡问题,其表述如下: N是局中人的集合, i∈N; S_i是第i个局中人的信息集, S=∏ⁿ_i=1S_i; X_i是第i个局中人的策略集,它是度量空间E_i中非空紧集, X=∏ⁿ_i=1X_i. 为方便起见,引入记号X_-i=(X₁×…×X_i-1×X_i+1×…×X_n), I_i:X_-i×S_i→2^X_i×S_i是第i个局中人的约束信息状态映射, F_i=(f_i1,…, f_ik):X×S_i→R^k是第i个局中人的向量支付函数,求(x^*, s^*)∈X×S, 使i∈N, 有(x^*_i,s^*_i)∈I_i(x^*_-i,s^*_i), 且

(x_i,s_i)∈I_i(x^*_-i,s^*_i),

有

F_i(x_i,x^*_-i,s_i)-F_i(x^*_i,x^*_-i,s^*_i)int R^k₊,

称(x^*, s^*)为信息集广义多目标博弈的Pareto-Nash平衡问题的解.

受以上研究激励和启发,本文利用博弈论语言描述的有限理性模型稳定性的统一模式,对信息集广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡问题构造了有限理性模型,研究此类平衡问题的稳定性.

回顾用博弈论语言描述的有限理性模型.

设模型M^[11]={Λ,X,f,Φ}: 其中, Λ是一个问题空间, λ∈Λ, λ是一个博弈, f:Λ→2^X是一个集值映射, f(λ)X表示博弈λ的可行策略集; Φ:Λ×X→R是理性函数, 当x∈f(λ)时, 即(λ,x)∈graph(f)时, Φ(λ,x)≥0. ε≥0,

E(λ,ε)={x∈f(λ):Φ(λ,x)≤ε}

为博弈λ的ε-平衡点集, 它对应有限理性;

E(λ)={x∈f(λ):Φ(λ,x)=0}

为博弈λ的平衡点集,其对应于完全理性.

关于有限理性模型M在λ对ε-平衡点集的鲁棒性及结构稳定性定义如下:

定义1.1^[11] λ∈Λ, 如果δ>0, ε^->0, 当ε<ε^-, ρ(λ,λ')<ε^-时, 有

h(E(λ',ε),E(λ'))<δ

则称模型M在λ对ε-平衡是鲁棒的, 其中, h为X上Hausdorff距离.

定义1.2^[11] 如果平衡映射E: Λ→2^X在λ是连续的,则称模型M在λ是结构稳定的.

文献[11]中主要结果可归结为以下定理.

定理A^[11] 设(Λ, ρ)是一个完备度量空间,(X,d)是一个度量空间; 集值映射f: Λ→2^X是上半连续的,且λ∈Λ, f(λ)是非空紧集; Φ: Λ×X→R满足当x∈f(λ)时, Φ(λ,x)≥0且在(λ,x)是下半连续的; λ∈Λ, E(λ)={x∈f(λ):Φ(λ,x)=0}≠Ø, 则

1)平衡映射E:Λ→2^X为上半连续映射;

2)存在Λ中的一个稠密剩余集Q, 使λ∈Q, M在λ是结构稳定的;

3)λ∈Q, M在λ对ε-平衡也是鲁棒的;

4)λ∈Q, λ_n→λ, ε_n→0, 有h(E(λ_n, ε_n), E(λ))→0;

5)如果λ∈Λ, 而E(λ)是单点集,则M在λ是结构稳定的,在λ对ε-平衡也是鲁棒的.

引理1.1^[8] 设X, Y和Z是3个度量空间且Z是紧的, {A_m}是K(X)中的一个序列, {y_m}是Y中的一个序列,而{φ_m(x,y,z)}^∞_m-1是定义X×Y×Z上的一列连续函数.若h(A_m, A)→0, 其中, A∈K(X), y_m→y∈Y且sup_{(x,y,z)∈X×Y×Z} |φ_m(x,y,z)-φ(x,y,z)|→0, 其中, φ在X×Y×Z上的一个连续函数,则max_w∈Ammin_z∈Zφ_m(w,y_m,z)→max_w∈Amin_z∈Zφ(w,y,z).

定义1.3^[5] 设C是Hausdorff线性拓扑空间H中的一个锥,若C+C=C, 则称C是凸锥; 若C是闭集,则称C是闭锥; 若C∩(-C)={θ}, θ是线性拓扑空间中H的零元,则称C是尖锥.

注1.3^[5] 如果C是一个凸锥,且inf C≠Ø, 其中, int C表示C的内部,则int C+C=int C.

定义1.4^[5] 设X是Hausdorff拓扑空间E中的非空子集, C是Hausdorff线性拓扑空间H中的锥, F:X→H, x∈X. 若对H中零元的任意开邻域V, 存在x在X的开邻域U(x), 使x'∈U(x),有F(x')∈F(x)+V-C(或F(x')∈F(x)+V+C), 则称F在x是C上半连续的(或C下半连续的); 若x∈X, F在x是C上半连续的(或C下半连续的), 则称F在X上是C上半连续的(或C下半连续的).

构造信息集广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡问题的空间如下: i∈N, 设X_i和S_i分别Banach空间E_i的非空紧凸集,令Λ₁={λ=(F₁,…,F_n; I₁,…,I_n)|i∈N, F_i={f_i1,…,f_ik}在X_i×X_-i×S_i上是 R^k₊连续的且sup_{(x,si)∈X×Si} ∑ⁿ_i=1=F_i(x,s_i)=<+∞; i∈N, x_-i∈X_-i,(x_i, s_i)→F_i(x_i,x_-i,s_i)是 R^k₊-拟凹的; i∈N, x_-i∈X_-i, s_i∈S_i, I_i:X_-i×S_i→2^<sup>X_i×S_i为上半连续的,且具有非空紧凸值的集值映射; (x^*,s^*)∈X×S, 使i∈N, 有(x^*_i, s^*_i)∈I_i(x^*_-i, s^*_i), 且(x_i,s_i)∈I_i(x^*_-i,s^*_i), 有F_i(x_i,x^*_-i,s_i)-F_i(x^*_i,x^*_-i,s^*_i)intR^k₊}, λ₁=(F₁₁,…,F_1n; I₁₁,…,I_1n)∈Λ₁,λ₂=(F₂₁,…,F_2n; I₂₁,…,I_2n)∈Λ₁, 定义ρ₁(λ₁,λ₂)=∑ⁿ_i=1max_{(x,si)∈X×Si} =F_1i(x,s_i)-F_2i(x,s_i)=_i+∑ⁿ_i=1max_{(x-i,si)∈X-i×Si} h_i(I_1i(x_-i,s_i),I_2i(x_-i,s_i)), 易证(Λ, ρ₁)为一个度量空间.

引理2.1(Λ₁, ρ₁)是一个完备度量空间.

【证】设{λ_m}^∞_m=1是Λ₁中的任一柯西列,那么对任意ε>0, 存在一个正整数P(ε), 使得ρ₁(λ_m,λ_p)=∑ⁿ_i=1max_{(x,si)∈X×Si}=F_mi(x,s_i)-F_pi(x,s_i)=_i+∑ⁿ_i=1max_{(x-i,si)∈X-i×Si}h_i(I_mi(x_-i,s_i),I_pi(x_-i,s_i))<ε, 对任意m, p>P(ε), 存在F_i:X×S_i→R^<sup>k_i和I_i:X_-i×S_i→K(X_i×S_i),使得lim_p→∞ F_pi(x)=F_i(x), lim_p→∞ I_pi(x_-i,s_i)=I_i(x_-i,s_i),且m>P(ε), ∑ⁿ_i=1max_{(x,si)∈X×Si} =F_mi(x,s_i)- F_i(x,s_i)=_i+∑ⁿ_i=1max_{(x-i,si)∈X-i×Si}h_i(I_mi(x_-i,s_i), I_i(x_-i,s_i))≤ε.

易验证, i∈N, F_i在X×S_i上连续和I_i在X_-i×S_i上连续.

令λ=(F₁,…,F_n; I₁,…,I_n), 要证λ∈Λ₁, 必证(x,s)∈X×S, 使i∈N, 有(x_i,s_i)∈I_i(x_-i,s_i), 且(w_i,u_i)∈I_i(x_-i,s_i),有

F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)int R^<sup>k_i+.

因为λ_m=(F_m1,…,F_mn; I_m1,…,I_mn)∈Λ₁, 存在(x_m,s_m)∈X×S, 使i∈N, 有(x_mi,s_mi)∈I_mi(x_-mi,s_mi), 且(w_mi,u_mi)∈I_mi(x_-mi,s_mi), 有F_mi(w_mi,x_-mi,u_mi)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)int R^<sup>k_i+.

首先,证明i∈N, 有(x_i,s_i)∈I_i(x_-i,s_i).

因为X×S是紧的,不妨设(x_m,s_m)→(x,s). m>P(ε), 因为h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))≤h_i(I_mi(x_-mi,s_mi),I_i(x_-mi,s_mi))+h_i(I_i(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))≤max_{(x-i,si)∈X-i×Si}h_i(I_mi(x_-i,s_i), I_i(x_-i,s_i))+h_i(I_i(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))≤ε+h_i(I_i(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))且I_i是连续的, h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))→0. 又因d_i((x_i,s_i), I_i(x_-i,s_i))≤d_i((x_i,s_i),(x_mi,s_mi))+d_i((x_mi,s_mi),I_mi(x_-mi,s_mi))+h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))=d_i((x_i,s_i),(x_mi,s_mi))+h_i(I_mi(x_-mi, s_mi), I_i(x_-i, s_i))→0, 则(x_i, s_i)∈I_i(x_-i,s_i).

最后,证明(w_i,u_i)∈I_i(x_-i,s_i), 有F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)int R^<sup>k_i+.

反证法.如果结论不成立,则存在某个i∈N, 使得(y_i,t_i)∈I_i(x_-i,s_i), 有

F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)∈int R^<sup>k_i+,

即存在 R^k₊中的零元θ的开邻域V(不妨设V是凸的),有F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)+Vint R^<sup>k_i+.

因F_m→F, 存在正整数m₁, 使m≥m₁, 有

[F_mi(w_mi,x_-mi,u_mi)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)]-[F_i(y_i,x_-mi,t_i)-F_i(x_mi,x_-mi,s_mi)]∈1/2V, 又(y_i,t_i)∈I_i(x_-i,s_i),F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)是 R^<sup>k_i+连续的, x^m→x, 存在正整数m₂, m₂≥m₁, 使m≥m₂,有[F_i(y_i,x_-mi,t_i)-F_i(x_mi,x_-mi,s_i)]∈F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)+1/2V+R^<sup>k_i+.

这样, m≥m₂, 有

[F_mi(w_mi,x_-mi,u_mi)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)]=[F_mi(w_mi,x_-mi,u_mi)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)]-[F_i(y_i,x_-mi,t_i)-F_i(x_mi,x_-mi,s_i)]+[F_i(y_i,x_-mi,t_i)-F_i(x_mi,x_-mi,s_i)]∈1/2V+F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)+1/2V+R^<sup>k_i+=F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)+V+R^<sup>k₊int R^<sup>k_i++R^<sup>k_i+int R^<sup>k_i+, 这与(w_mi,u_mi)∈I_mi(x_-mi,s_mi), 有F_mi(w_mi,x_-mi,u_mi)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)int R^<sup>k_i+矛盾, 故i∈N, 有(x_i, s_i)∈I_i(x_-i,s_i), 且(w_i,u_i)∈I_i(x_-i,s_i),有

F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)int R^<sup>k_i+.

因此, λ=(F₁,…,F_n; I₁,…,I_n)∈Λ₁, 即(Λ₁,ρ₁)是完备的.

λ=(F₁,…,F_n; I₁,…,I_n)∈Λ₁, 它就给定了一个弱Pareto-Nash平衡问题,其所有弱Pareto-Nash平衡问题解的集合为E(λ₁), 由Λ₁的定义, 可得E(λ₁)≠Ø.

考虑M₁={Λ₁,X, f₁,Φ₁}:λ∈Λ₁, x∈X, 定义f₁(λ)={(x,s)∈X×S:(x,s)∈I(x,s)},λ∈Λ₁, (x,s)∈f₁(λ),定义

Φ₁(λ(x,s))=∑ⁿ_i=1max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i.

引理2.2 λ∈Λ₁, (x,s)∈f_i(λ), Φ₁(λ,(x,s))≥0; Φ₁(λ,(x,s))=0当且仅当(x,s)∈E(λ₁).

【证】 λ∈Λ₁, (x,s)∈f_i(λ), i∈N, 令(w_i,u_i)=(x_i,s_i), 因为

min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(x_i,x_-i,s_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i=0, 那么max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i≥0, 因此, Φ₁(λ,(x,s))≥0.

若Φ₁(λ,(x,s))=0, 那么i∈N,有max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i=0, 且(w_i,u_i)∈I_i(x_-i,s_i), 有min_{=z= i=1, z∈R^<sup>ki+}〈z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i≤0.若(y_i,t_i)∈I_i(x_-i,s_i), 使得F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)∈int R^<sup>k_i+, 那么z∈R^<sup>k_i+, =z=_i=1, 必有〈z, F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i>0. 因为{z∈R^<sup>k_i+, =z=_i=1}是紧的, 故min_{=z= i=1, z∈R^<sup>ki+}〈z, F_i(y_i,x_-i,t_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i>0, 这与min_{=z= i=1, z∈R^<sup>ki+}〈z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i≤0相矛盾.

因此, (w_i, u_i)∈I_i(x_-i,s_i), 有F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)int R^<sup>k_i+且(x,s)∈E(λ₁).

反之,如果(x,s)∈E(λ₁), 那么i∈N, (w_i, u_i)∈I_i(x_-i,s_i), 有

F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)int R^<sup>k_i+,

记F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)=F_i1(w_i,x_-i,u_i)-F_i1(x_i,x_-i,s_i),…,F_iki(w_i,x_-i,u_i)-F_iki(x_i,x_-i,s_i))且J={j∈{1,…,k_i}:F_ij(w_i,x_-i,u_i)-F_ij(x_i,x_-i,s_i)≤0}, 那么J≠Ø. 设J_<sub>i₀∈J且定义z⁰=(z⁰₁,…,z⁰_<sub>k_i), 其中, z⁰_<sub>j₀=1且z⁰_j=0, j≠j₀, 那么, z⁰∈R^<sup>k_i+, =z=_i=1.

因为〈z⁰,F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i≤0, 故min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}〈z,F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i≤0.因此, i∈N, 有max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i=0且Φ₁(λ,(x,s))=0.

引理2.3 Φ₁(λ,(x,s))在(λ,(x,s))是连续的.

【证】λ_m=(F_m1,…,F_mn; I_m1,…,I_mn)∈Λ₁, λ_m→λ=(F₁,…,F_n; I₁,…,I_n), (x_m,s_m)∈X×S,(x_m,s_m)→(x,s), m=1,2,3…, 仅须证i∈N, max_{(wi,ui)∈Imi(x-mi,smi)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_mi(w_i,x_-mi,u_i)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)>_i→max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i,即i∈N, Φ₁(λ_m,(x_m,s_m))→且Φ₁(λ,(x,s)).

i∈N, m=1,2,3,….

定义φ_mi((w_i,u_i),(x,s_i),z)=<z, F_mi(w_i,x_-i,u_i)-F_mi(x_i,x_-i,s_i)>_i, φ_i((w_i,u_i),(x,s_i),z)=<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i, 则φ_mi和φ_i在(X_i×S_i)×(X×S_i)×Z_i上连续,其中, Z_i={z∈R^<sup>k_i+, =z=_i=1}是紧的. 因为

|φ_mi((w_i,u_i),(x,s_i),z)-φ_i((w_i,u_i),(x,s_i),z)|=

|〈z, F_mi(w_i,x_-i,u_i)-F_mi(x_i,x_-i,s_i)〉_i-

〈z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i|≤

|〈z, F_mi(w_i,x_-i,u_i)-F_i(w_i,x_-i,s_i)〉_i|+

|〈z, F_mi(x_i,x_-i,s_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)〉_i|≤

=z=_i=F_mi(w_i,x_-i,u_i)-F_i(w_i,x_-i,u_i)=_i+

=z=_i=F_mi(x_i,x_-i,s_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)=_i≤

2ρ₁(λ_m,λ), 得

max_{((wi,ui),(x,si),z)∈(Xi×Si)×(X×Si)×Zi} | φ_mi((w_i,u_i),(x,s_i),z)- φ_i((w_i,u_i),(x,s_i),z)|≤2ρ₁(λ_m,λ)→0. 因为(x_m,s_m)→(x,s), I_mi(x_-mi,s_mi)和I_i(x_-i,s_i)均是紧的, I_i是连续的且h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))≤h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-mi,s_mi))+h_i(I_i(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))≤max_{(x,si)∈X×Si}h_i(I_mi(x_-mi,s_mi), I_i(x_-mi,s_mi))+h_i(I_i(x_-mi,s_mi), I_i(x_-i,s_i))→0.

因X_i×S_i和Z_i是紧集,(x_m,s_m)→(x,s), 由引理1.1,得i∈N,max_{(wi,ui)∈Imi(x-mi,smi)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_mi(w_i,x_-mi,u_i)-F_mi(x_mi,x_-mi,s_mi)>_i→max_{(wi,ui)∈Ii(x-i,si)}min_{=z= i=1=1, z∈R^<sup>ki+}<z, F_i(w_i,x_-i,u_i)-F_i(x_i,x_-i,s_i)>_i, 于是, Φ_i(λ,(x,s))在是(λ,(x,s))连续的.

由引理2.1至引理2.3,可得以下定理.

定理2.1 对于上述问题,定理A也成立,即

1)平衡映射E₁:Λ₁→2^X×S为上半连续映射;

2)存在Λ₁中的一个稠密剩余集Q, 使λ∈Q, M₁在λ是结构稳定的;

3)λ∈Q, M₁在λ对ε-平衡也是鲁棒的;

4)λ∈Q, λ_n→λ, ε_n→0, 有h(E₁(λ_n,ε_n),E₁(λ))→0;

5)如果λ∈Λ₁, 而E₁(λ)是单点集,则M₁在λ是结构稳定的,在λ对ε-平衡也是鲁棒的.

【证】Λ₁是一个完备度量空间, X是度量空间, f_i:Λ₁→2^X×S是上半连续的, λ∈Λ₁, f₁(λ)是非空紧集, (x,s)∈f₁(λ), Φ₁(λ,(x,s))≥0, 又由引理2.3, Φ₁(λ,(x,s))在(λ,(x,s))是下半连续的, λ∈Λ₁, E₁(λ)≠Ø, 则定理A成立.

本研究在已建立的用博弈论语言描述的有限理性模型M基础上,对信息集广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡问题构造一类抽象的理性函数,建立这类问题的有限理性模型M₁, 运用用博弈论语言描述的有限理性模型稳定性的统一模式,得到此类问题是结构稳定的,对ε-平衡也是鲁棒的.