矩阵赋范空间经常被用来刻画有界的希尔伯特空间算子组成的线性空间的抽象性质,同时,在C^*-代数中, 矩阵赋范空间上的一些性质,可以用来进一步研究Haagerup张量积和商空间的相关性质^[1].实际上,在矩阵赋范空间上,商空间与不同算子空间的Haagerup张量积组成了一个新的算子空间,正是基于这一理论,算子空间理论成为算子代数理论研究中的重要分支^[2].

1940年ULAM^[3]就提出函数方程的稳定性问题,研究了群同态的稳定性.HYERS^[4]针对Banach空间中近似可加映射的稳定性首次给出了肯定的回答.RASSIAS^[5]进一步将这种稳定性推广到广义Hyers-Ulam-Rassias稳定性.近年来,人们研究了各种映射的Ulam稳定性^[6-8].RADU^[9]利用不动点方法讨论了可加函数方程的稳定性问题,显示出不动点方法在证明函数方程稳定性中的重要作用,不动点方法成为研究函数方程稳定性的重要方法.LEE等^[10]研究了矩阵赋范空间中可加函数方程和2次函数方程的Ulam稳定性,之后,数学家研究了各种矩阵赋范空间上函数方程的稳定性问题^[11-13].

GORDJI等^[14]给出以下混合3次- 4次函数方程:

4[f(3x+y)+f(3x-y)]=12[f(2x+y)+

f(2x-y)]-12[f(x+y)+f(x-y)]+

f(2y)-8f(y)+30f(2y)-192f(x)(1)

并在Banach空间讨论其Ulam稳定性.

本研究在文献[10-13]基础上,给出矩阵随机赋范空间的定义,并在其上讨论函数方程(1)的Ulam稳定性.

设Γ⁺={F:R∪{-∞,+∞}→[0,1], F左连续,在 R上不减, F(0)=0, F(+∞)=1}, 显然集合D⁺={F∈Γ⁺:l^-(+∞)=1}. 其中, l^-f(x)=lim_l→x^- f(t))为Γ⁺的子集合, Γ⁺是一个偏序集满足F, G∈Γ⁺, F≤G  F(t)≤G(t), 对所有t∈R成立.对任意a≥0, H_a(t)∈D⁺定义为

H_a(t)={0, t≤a

1, t>a

显然, H₀(t)为Γ⁺中的最大元.

定义1^[15] 函数T:[0,1]×[0,1]→[0,1]称为三角范数(简称t范数),若满足

1)T满足交换律和结合律,即T(a,b)=T(b,a); T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c);

2)T(a,1)=a, 对任意a∈[0,1]成立;

3)若a,b,c,d∈[0,1], 满足a≤c,b≤d, 则T(a,b)≤T(c,d);

显然T_p(a,b)=ab; T_L(a,b)=max{a+b-1,0}; T_M(a,b)=min{a,b}皆为连续的t范数.

定义2^[16] 设X为向量空间,一个随机赋范空间(简称RN空间)是指一个三元序组(X, μ,T), 其中, T是连续的t范数,映射μ:X→D⁺满足

1)μ_x(t)=H₀(t) x=0, 对t>0成立;

2)μ_αx(t)=μ_x(t/(|α|)), 其中, α∈R且α≠0,x∈X,t≥0;

3)μ_x+y(t+s)≥T(μ_x(t), μ_y(t)), 对x,y∈X, t,s≥0成立.

定义3^[16] 设(X, μ,T)是RN空间,

1)若序列{x_n}X满足lim_n→∞ μ_xn-x(t)=1, 对t>0, x∈X成立, 则称{xn}收敛到x;</sub>

2)若序列{x_n}X满足lim_m→∞ μ_xn-x</sub>m(t)=1, 对t>0, m<n成立, 则称为{xn}为Cauchy列;</sub>

3)若RN空间(X, μ,T)上的每一个Cauchy列都收敛,则称(X, μ,T)是完备的RN空间.

引理4^[15] 设(X, μ,T)是RN空间, {x_n}X满足lim_n→∞ μ_xn-x(t)=1, 则有limn→∞ μx</sub>n(t)=μx(t).</sub>

以下为本研究所用到的几种数学符号的表示: M_n(X)为X上所有n×n矩阵的集合; e_j∈M_1,n(R)为第j个分量为1,其余分量为0; E_ij∈M_n(R)为第(i, j)个分量为1,其余分量为0; E_ijx∈M_n(X)为第(i, j)个分量为x, 其余分量为0.注意,此处M_n,m(R)上的范数为算子范数,具体定义

参考文献[1].

类似于矩阵赋范空间的定义^[1],给出矩阵随机赋范空间的定义.

定义5 设X是向量空间,(M_n(X), μ⁽ⁿ⁾,T)为定义在 R上的RN空间.

1)若对A∈M_n(R), =A=≠0, x=[x_ij]∈M_n(X), θ∈M_m(X)表示所有元素为X上零元素的矩阵,有

① μ^(n+m)_x+θ(t)=μ⁽ⁿ⁾_x(t); ② μ⁽ⁿ⁾_Ax(t)≥μ⁽ⁿ⁾_x(t/(=A=)), μ⁽ⁿ⁾_xA(t)≥μ⁽ⁿ⁾_x(t/(=A=)). 则称(X,{μ⁽ⁿ⁾},T)为矩阵RN空间;

2)(X,{μ⁽ⁿ⁾},T)称为完备的矩阵RN空间,当且仅当(X, μ,T)为完备的RN空间并且满足(X,{μ⁽ⁿ⁾},T)为矩阵RN空间.

本研究主要以t范数为T_M的情况为例,讨论矩阵随机赋范空间上函数方程的Ulam稳定性.设E和F是向量空间,映射h:E→F, 定义

h_n: M_n(E)→M_n(F)

为h_n([x_ij])=[h(x_ij)], 其中, [x_ij]∈M_n(E).

引理6 设(X,{μ⁽ⁿ⁾},T_M)为定义在 R上的矩阵RN空间,则

1)x_kl∈X, 有μ^<sup>(n)_<sub>E_klx_kl(t), t>0;

2)对[x_ij]∈M_n(X), t=∑ⁿ_{i, j=1}t_ij>0, 有μ_<sub>x_kl(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)≥min{μ_xij(t_ij),i, j=1,2,…,n},μ_<sub>x_kl(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)≥min{μ_xij(t/(n²)),i, j=1,2,…,n};

3)对任意x_m=[x_mij], x=[x_ij]∈M_n(X), 有lim_m→∞x_m=xlim_m→∞x_mij=x_ij.

【证】 1)因为E_klx_kl=e^*_kx_kle_l, 由M_n,m(R)的定义可知,显然有=E_kk===E_kkE^*_kk===E_kk=², 可得=E_kk==1, 而=e^*_ke_k===E_kk===e_k=², 即=e_k===e^*_k==1, 又由矩阵RN空间的定义可知,对t>0,一定有μ^<sup>(n)_<sub>E_klx_kl(t)=μ^<sup>(n)_<sub>e^*_kx_kle_l(t)≥μ_<sub>x_kl(t/(=e^*_k==e_l=))=μ_<sub>x_kl(t), 又e_k(E_klx_kl)e^*_l=x_kl,则μ_<sub>x_kl(t)=μ_<sub>e_k(E_klx_kl)e^<sup>*_l(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>E_klx_kl(t/(=e^*_k==e_l=))=μ^<sup>(n)_<sub>E_klx_kl(n),从而有μ^<sup>(n)_<sub>E_klx_kl(t)=μ_<sub>x_kl(t).

2)对[x_ij]∈M_n(X), t=∑ⁿ_{i, j=1}t_ij>0, μ_<sub>x_kl(t)=μ_<sub>e_k[x_ij]e^<sup>*_l(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t/(=e_k==e^*_l=))=μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t), 而μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)=μ^<sup>(n)_{∑ⁿi, j=1Eijxij}(t), 由RN空间上t模为T_M可知,μ^<sup>(n)_{∑ⁿi, j=1Eijxij}(t)≥min{μ^<sup>(n)_<sub>E_ijx_ij(t_ij),i, j=1,2,…,n}, 从而可得μ_<sub>x_kl(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)≥min{μ_<sub>x_ij(t_ij),i, j=1,2,…,n},进而满足μ_<sub>x_kl(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)≥min{μ_<sub>x_ij(t/(n²)),i, j=1,2,…,n}.

3)由μ_<sub>x_kl(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_ij](t)≥min{μ_<sub>x_ij(t/(n²)),i, j=1,2,…,n}对t>0成立可知μ_<sub>x_mij-x_ij(t)≥μ^<sup>(n)_<sub>[x_mij-x_ij](t)≥min{μ_<sub>x_mij-x_ij(t/(n²)),i, j=1,2,…,n}, 从而得证.

设X为实的向量空间, Y为完备的矩阵RN空间.利用RADU^[9]给出的不动点方法证明方程(1)在矩阵RN空间上的稳定性. 在这之前,首先给出广义距离空间的定义,它是指一个非空集合S, 并在其上定义的一个二元映射d:S²→[0,∞), 对x,y,z∈S, 满足: ① d(x,y)=0  x=y; ② d(x,y)=d(y,x); ③ d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y). 则称d是广义距离,称(S,d)是广义距离空间,在广义距离空间上有下述的不动点定理.

引理7^[17] 设(S,d)是完备的广义距离空间, J:S→S是严格压缩映射,即存在正数L<1,使对任意的x,y∈S, 都有d(Jx, Jy)≤Ld(x,y), 则对每个固定的x∈X, 要么对任意负整数n, 有d(Jⁿx,Jⁿ⁺¹x)=+∞成立; 要么存在某个非负整数n₀, 使得

1)当n≥n₀时, d(Jⁿx,Jⁿ⁺¹x)<∞;

2)序列{Jⁿx}收敛于J中不动点y^*;

3)y^*是集合S'={y∈S|d(J^<sup>n₀x,y)<∞}中的唯一不动点;

4)y∈S', d(y,y^*)≤1/(1-L)d(y,Jy).

对于映射f: X→Y, 算子Df: X²→Y, 及算子Df_n=M_n(X)²→M_n(Y), 记

Df(a,b)=4[f(3a+b)+f(3a-b)]-12[f(2a+b)+f(2a-b)]+12[f(a+b)+f(a-b)]-f(2b)+8f(b)-30f(2b)+192f(a)

Df_n([x_ij],[y_ij])=4[f_n(3[x_ij]+[y_ij])+f_n(3[x_ij]-[y_ij])]-12[f_n(2[x_ij]+[y_ij])+f_n(2[x_ij]-[y_ij])]+12[f_n([x_ij]+[y_ij])+f_n([x_ij]-[y_ij])]-f_n(2[y_ij])+8f_n([y_ij])-30f_n(2[y_ij])+192f_n([x_ij])

其中, a,b∈X, x=[x_ij], y=[y_ij]∈M_n(X).

定理8 设映射φ₁:X²→[0,∞)满足存在实数α, 0<α<1, 使得对任意的a,b∈X, 有

φ₁(a,b)≤α/(16)φ₁(2a,2b)(2)

f:X→Y为一个偶映射,使f(0)=0, 满足对所有的x=[x_ij], y=[y_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>Df_n([x_ij],[y_ij])(t)≥1/(t+∑ⁿ_{i, j=1}φ₁(x_ij,y_ij))(3)

则存在唯一的4次映射Q:X→Y满足对所有的x=[x_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>f_n([x_ij])-Q_n([x_ij])≥(16(1-α)t)/(16(1-α)t+n²α∑ⁿ_{i, j=1}φ₁(0,x_ij))(4)

【证】 在式(3)中,假设当(i, j)≠(s, t)时,有x_ij=0, y_ij=0, 则

μ_<sub>Df(x_st,y_st)(t)≥t/(t+φ₁(x_st,y_st))(5)

令x_st=0, 用x_st表示y_st, 有

μ_<sub>f(2x_st)-16f(x_st)(t)≥t/(t+φ₁(0,x_st)),

上式中用(x_st)/2代替x_st, 则

μ_<sub>f(x_st)-16f((x_st)/2)(t)≥t/(t+φ₁(0,(x_st)/2))≥

t/(t+α/(16)φ₁(0,x_st)),x_st∈X,t>0(6)

考虑集合E={g:X→Y, g(0)=0}, 在E上定义广义度量d

d(g,h)=inf{ε∈R⁺: μ_g(a)-h(a)(εt)≥t/(t+φ₁(0,a)),a∈X,t>0}, 记inf{φ}=+∞, 易证得(E,d)完备^[18].

设映射J:E→E满足Jh(a)=16h(a/2), h∈E, a∈X, 下面证明J是压缩映射,且有压缩常数L=α.

事实上,令g, h∈E, 若d(g,h)有限,则任给ε>0, 满足d(g,h)<ε, 由d的定义可知,对a∈X,t>0, 都有μ_g(a)-h(a)(εt)≥t/(t+φ₁(0,a)), 从而有

μ_Jg(a)-Jh(a)(αεt)=μ_<sub>16g(a/2)-16h(a/2)(αεt)=

μ_<sub>g(a/2)-h(a/2)(α/(16)εt)≥(α/(16)t)/(α/(16)t+φ₁(0,a/2))≥

t/(t+φ₁(0,a))

即μ_Jg(a)-Jh(a)(αεt)≥t/(t+φ₁(0,a)),从而d(Jg,Jh)≤αε, 由ε的任意性,显然有d(Jg,Jh)≤αd(g,h), 由0<α<1知, J为压缩映射,且压缩常数L=α.

由式(6)有 μ_<sub>Jf(x_st)-f(x_st)(t)≥t/(t+α/(16)φ₁(0,x_st)), 从而μ_<sub>Jf(x_st)-f(x_st)(α/(16)t)≥t/(t+φ₁(0,x_st)), 即d(Jf,f)≤α/(16)<∞, 由广义距离空间上的不动点定理, Jⁿf收敛于J的不动点Q:X→Y, 且d(f,Q)≤1/(1-L)d(Jf,f)≤α/(16-16α), Q(x_st)=JQ(x_st)=16Q((x_st)/2), 即Q(x_st)/2=1/(16)Q(x_st), 且Q(x_st)=lim_l→∞ 16^lf((x_st)/(2^l)).

由d(f,Q)≤α/(16(1-α))可知

μ_<sub>f(x_st)-Q(x_st)(α/(16(1-α))t)≥t/(t+φ₁(0,x_st)), x_st∈X, t>0, 从而有

μ_<sub>f(x_st)-Q(x_st)(t)≥(16(1-α)t)/(16(1-α)t+αφ₁(0,x_st))(7)

在式(5)中,用2^-lx_st代替x_st, 2^-l y_st代替y_st, t>0, 有

μ_<sub>16^lDf(2^-lx_st,2^-ly_st)(t)=μ_<sub>Df(2^-lx_st,2^-ly_st)(16^-lt)≥

(16^-lt)/(16^-lt+φ₁(2^-lx_st,2^-ly_st))

由式(2)可知, φ₁(2^-lx_st,2^-ly_st)≤α/(16)φ₁(2^-l+1x_st,2^-l+1y_st), 递推得φ₁(2^-lx_st,2^-ly_st)≤(α^l)/(16^l)φ₁(x_st,y_st), 从而, μ_<sub>16^lDf(2^-lx_st,2^-ly_st)(t)≥t/(t+α^lφ₁(x_st,y_st)), 令l→∞, 显然有μ_<sub>16^lDf(2^-lx_st,2^-ly_st(t)→1, 即μ_<sub>DQ(x_st,y_st)(t)→1, 对任意t>0成立,又由Q的定义可知Q(-a)=Q(a), a∈X, 从而由文献[12]的推论2.2, Q是4次的.

设Q':X→Y为满足不等式(7)的4次映射,则有Q'(a/2)=1/(16)Q'(a), 且当a=0时有Q'(a)=0, 从而JQ'(a)=16Q'(a/2)=Q'(a), 即Q'是J的一个不动点,又a∈X, t>0都有

μ_f(a)-Q'(a)(α/(16-16α)t)≥(16(1-α)t)/(16(1-α)t+αφ₁(0,a)), 从而d(f,Q')≤α/(16(1-α)), 即Q'∈E'={g∈E,d(f,g)<∞}, 由广义距离空间的压缩映射原理, Q是J在E中的唯一的不动点,从而Q=Q', 唯一性得证.

由引理6及不等式(7)得

μ_<sub>f_n([x_ij])-Q_n([x_ij])(t)≥

min{μ_<sub>f(x_ij)-Q(x_ij)(t/(n²)):i, j=1,2,…,n}≥

min{(16(1-α)t)/(16(1-α)t+αn²φ₁(0,x_ij)):i, j=1,2,…,n}≥

(16(1-α)t)/(16(1-α)t+αn²∑ⁿ_{i, j=1}φ₁(0,x_ij)).

对x=[x_ij]∈M_n(X)成立,定理得证.

定理9 映射φ₂:X²→[0,∞)满足存在实数α, 0<α<1, 且使得对任意的a,b∈X, 有

φ₂(a,b)≤α/8φ₂(2a,2b)(8)

f:X→Y为个奇映射,使f(0)=0, 满足对所有的 x=[x_ij],y=[y_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>Df_n([x_ij],[y_ij])(t)≥t/(t+∑ⁿ_{i, j=1}φ₂(x_ij,y_ij))(9)

则存在唯一的3次映射C:X→Y满足对所有的 x=[x_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>f_n([x_ij])-Q_n([x_ij])≥

(8(1-α)t)/(8(1-α)t+n²α∑ⁿ_{i, j=1}φ₂(0,x_ij))(10)

【证】在式(8)中,当(i, j)≠(s,t)时, 有x_ij=0, y_ij=0, 则

μ_<sub>Df(x_st,y_st)(t)≥t/(t+φ₂(x_st,y_st))(11)

令x_st=0, 用x_st表示y_st, 由f为奇函数,则有μ_<sub>f(2x_st)-8f(x_st)(t)≥t/(t+φ₂(0,x_st)), 上式中用(x_st)/2代替x_st, 有

μ_<sub>f(x_st)-8f((x_st)/2)(t)≥t/(t+φ₂(0,(x_st)/2))≥

t/(t+α/8φ₂(0,x_st)), x_st∈X, t>0(12)

类似前面讨论,可证明存在唯一的3次映射C:X→Y满足不等式(10).

定理10 设映射φ:X²→[0,∞)满足存在实数α, 0<α<1, 且使得对任意的a,b∈X, 有

φ(a,b)≤α/8φ(2a,2b)(13)

f:X→Y满足f(0)=0, 且对所有的 x=[x_ij], y=[y_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>Df_n([x_ij],[y_ij])(t)≥t/(t+∑ⁿ_{i, j=1}φ(x_ij,y_ij))(14)

则存在唯一的3次映射C:X→Y及唯一的4次映射Q:X→Y满足x=[x_ij]∈M_n(X), 有

μ_<sub>f_n([x_ij])-Q_n([x_ij])-C_n([x_ij])≥

(16(1-α)t)/(16(1-α)t+n²α∑ⁿ_{i, j=1}φ^～(0,x_ij))(15)

其中, φ^～(a,b)=φ(a,b)+φ(-a,-b).

【证】令f_e(a)=1/2(f(a)+f(-a)), 则f_e(0)=0, f_e(-a)=f_e(a), μ_<sub>Df_e(a,b)(t)=μ_<sub>1/2Df(a,b)+1/2Df(-a,-b)(t)=μ_<sub>Df(a,b)+Df(-a,-b)(2t)≥T_M(μ_Df(a,b)(t), μ_Df(-a,-b)(t))=min{μ_Df(a,b)(t), μ_Df(-a,-b)(t)}≥t/(t+φ^～(a,b));

令f_o(a)=1/2(f(a)-f(-a)), 则f_o(0)=0, f_o(-a)=-f_o(a),μ_<sub>Df_o(a,b)(t)=μ_<sub>1/2Df(a,b)-1/2Df(-a,-b)(t)=μ_<sub>Df(a,b)-Df(-a,-b)(2t)≥T_M(μ_Df(a,b)(t), μ_Df(-a,-b)(t))=min{μ_Df(a,b)(t), μ_Df(-a,-b)(t)}≥t/(t+φ^～(a,b)).

显然,由φ^～的定义可知,有φ^～(a,b)≤α/(16)φ^～(2a,2b)

显然定理8和定理9的条件满足,从而由定理8和定理9的证明过程可知,存在唯一的4次映射Q及唯一的3次映射C分别满足

μ_<sub>f_e(a)-Q(a)(t)≥(16(1-α)t)/(16(1-α)t+αφ^～(0,a)),

μ_<sub>f_o(a)-C(a)(t)≥(8(1-α)t)/(8(1-α)t+αφ^～(0,a)),

从而

μ_<sub>f(a)-Q(a)-C(a)(t)=μ_<sub>f_e(a)-Q(a)+f_o(a)-C(a)(t)≥

T_M(μ_<sub>f_e(a)-Q(a)(t/2), μ_<sub>f_o(a)-C(a)(t/2))=

min{μ_<sub>f_e(a)-Q(a)(t/2), μ_<sub>f_o(a)-C(a)(t/2)}≥

min{(8(1-α)t)/(8(1-α)t+αφ^～(0,a)),(4(1-α)t)/(4(1-α)t+αφ^～(0,a))}=

(4(1-α)t)/(4(1-α)t+αφ^～(0,a)).

从而由引理6及上式可知

μ_<sub>f_n([x_ij])-Q_n([x_ij])-C_n([x_ij])(t)≥

min{μ_<sub>f(x_ij)-Q(x_ij)-C(x_ij)(t/(n²)):i, j=1,2…,n}≥

min{(4(1-α)t)/(4(1-α)t+αn²φ^～(0,x_ij)):i, j=1,2…,n}≥

(4(1-α)t)/(4(1-α)t+αn²∑ⁿ_{i, j=1}φ^～(0,x_ij)),

对x=[x_ij]∈M_n(X)成立,证毕.

本研究在随机赋范空间和矩阵赋范空间的基础上,给出了矩阵随机赋范空间的定义,并讨论了其上的一些性质,通过对这些性质的分析,进一步探讨了其上混合型函数方程的稳定性问题,回答了矩阵随机赋范空间上函数方程的稳定性问题,给出了一般的讨论方法.对进一步讨论矩阵随机赋范空间上其他类型函数方程的稳定性问题有借鉴.