20世纪50年代通过对弱相互作用的深入研究发现,下夸克的弱衰变强度和电子以及缪子的弱衰变强度差不多,但奇异夸克的弱衰变强度仅为预期的约1/4.为解释这一现象,1963年Cabibbo^[1]提出弱相互作用的强度应该是普适的,但下夸克和奇异夸克之间若存在混合,就可以解释奇异夸克的弱衰变问题.换句话说,参与弱相互作用的是强相互作用下下夸克d和奇异夸克s本征态的混合态,即

d'=dcos θ_c+ssin θ_c(1)

其中,混合角θ_C被称为Cabibbo角,大小约为13°.此时, d'为弱相互作用下的本征态.

1964年Cronin等^[2]发现在中性K-K ^-介子混合中存在电荷共轭宇称(charge-parity, CP)破坏现象,该现象预示着物质和反物质之间的不对称性,影响深远,二人因此于1980年获得了诺贝尔物理学奖. K-K ^-介子混合中的CP破坏效应非常微弱,且直到20世纪90年代,这都是实验室内唯一观测到的CP破坏现象,因而理论上如何理解CP破坏是当年理论物理学家们面对的一个巨大挑战.

1973年Kobayashi等^[3]为解释CP破坏提出了一个大胆的假设: 他们注意到1970年理论物理学家Glashow、Iliopoulos和Maiani为了解释实验上味道改变中性流(flavor-changing-neutral-current, FCNC)过程被显著压低的现象,提出可能存在第4种夸克即粲夸克,4种夸克可分成除了质量以外,量子数完全相同的两代(u, d)和(c, s), 这两代夸克之间如果存在混合,并由此出发可预言树图层次上FCNC过程不会发生,简称GIM机制^[4].在GIM机制的基础上,Kobayashi和Masukawa进一步提出,若还存在第3代夸克的话,描述这3代夸克混合的混合矩阵包含一个复相角,正好可以描述CP破坏现象.这一夸克混合矩阵通常被称为Cabibbo-Kobayashi-Maskawa(CKM)矩阵.标准模型中的夸克带电流部分的拉氏量可写为

(g)/(2^1/2)(-overu)ⁱ_Lγ ^μV ^ij_CKMd ^j_LW^*_μ(2)

其中, g为弱相互作用耦合常数; uⁱ_L=(u_L, c_L, t_L)为左手上夸克; γ ^μ为伽马矩阵; d ^j_L=(d_L, s_L, b_L)为左手下夸克; W^*_μ为W波色子; V ^ij_CKM为CKM矩阵元,CKM矩阵为

V_CKM=[V_ud V_us V_ub

V_cd V_cs V_cb

V_td V_ts V_tb]

其中, V_ij矩阵元下标i和j分别为6种夸克u、d、c、s、t和b中的一种.

早在20世纪60年代就有学者发现自然界至少存在两代量子数完全相同的轻子结构,即电子和缪子以及其对应的中微子.1974年,丁肇中和Richter各自领导的实验组分别发现了由粲夸克构成的J/Ψ介子,从而证实了自然界也至少存在两代夸克的结构^[5-6].第3代费米子的实验突破首先来自带电轻子.1977年,Perl领导的实验组在实验室中产生了第3代带电轻子—— τ轻子,并探测到 τ轻子衰变的末态产物,同时很多迹象也显示 τ 轻子的衰变伴随着 τ中微子的产生^[7].这一工作证实了自然界至少存在3代轻子的结构.第3代轻子的发现让物理学家们对第3代夸克的存在满怀信心.1997年,Lederman领导的实验组发现了由底夸克即带负电荷的第3代夸克组成的 Y介子^[8].但之后的十多年里,实验物理学家们几经尝试也未能发现带正电荷的第3代夸克——顶夸克的存在.

在寻找顶夸克存在的直接证据的同时,实验物理学家们也在寻找顶夸克存在的间接证据.20世纪60年代,有学者发现中性K-K ^-介子混合,这预示着头两代夸克之间存在混合,若Kobayashi等人的理论正确,3代夸克之间的混合则预示着中性B-B ^-介子混合现象.这里, B介子由第3代的底夸克和第1代的下夸克组成.通过对标准模型的计算发现,中性B-B ^-介子混合的快慢和顶夸克的质量直接相关,因此实验上对B-B ^-介子混合的研究可间接给出顶夸克的质量信息.另外,20世纪90年代初期在欧洲大型正负电子对撞机上,对标准模型的电弱精细检验,也间接获得了顶夸克的质量和相互作用等信息.至20世纪90年代初期,实验物理学家们虽仍未直接发现顶夸克,但已知顶夸克的质量非常大,下限约为150 GeV.

经过近20年的不懈努力,1995年Tevatron在实验中发现了第6种夸克——顶夸克t, 其质量约为173 GeV,是目前已知最重的费米子,约为第2重的底夸克质量的30倍^[9].至此,实验上确立了自然界至少存在3代夸克和3代轻子的结构,而欧洲大型正负电子对撞机上对Z玻色子衰变宽度的测量以及宇宙学上的一些观测,都预示着参与弱相互作用的轻中微子只有3代,说明自然界中也许并不存在第4代的夸克和轻子.

随着一个类标准模型的希格斯粒子在大型强子对撞机中被发现,特别是双光子(h→γγ)、 4轻子(ZZ^*→4l)以及底夸克对bb ^-几个衰变道的测量值与标准模型预言非常接近,更进一步排除了第4代手征物质存在的可能.因为第4代夸克的存在,将显著增加胶子聚合产生希格斯(gg→h)的产率,同时又因为第4代夸克贡献与标准模型W圈图相消导致双光子衰变宽度变小,将无法同时满足双光子、 ZZ^*及bb ^-衰变道的观测.21世纪初期,美国和日本2个B介子工厂的实验无可争议地验证了CKM混合矩阵对CP破坏的预言.但是,为什么自然界包含3代除了质量之外,量子数完全一样的夸克和轻子,至今还是一个谜.

量子场论中,规范反常指树图具有的对称性在量子效应中被破缺.规范对称性没有规范反常的条件被应用于标准模型规范对称性的确定^[10].假设每一代标准模型的物质场 Qⁱ_L、 uⁱ_R、 dⁱ_R、 lⁱ_L和eⁱ_R(物质场符号分别对应左手夸克二重态场、右手上夸克场、右手下夸克场、左手轻子二重态场和右手轻子场, i为对应的代)都在同样一种规范对称性下变换,即在规范对称性下的量子数与所处的代数无关.同时假设他们在U(1)规范对称性下所带的荷分别为q、 u、 d、 l和e, 则在现有标准模型的规范对称性SU(3)_C×SU(2)_L结构下, U(1)规范对称性与强相互作用对称性SU(3)_C,弱相互作用对称性SU(2)_L, 以及其自身所构成的规范反常消除条件分别为

{ZA_{[SU(3)C]2U(1)</sup>}=(N_G)/2(2q+u+d)

A_{[SU(2)L]2U(1)</sup>}=(N_G)/2(3q+l)

A_{[U(1)]3</sup>}=(N_G)/2(6q³+3u³+3d³+2l³+e³)

A_TrU(1)=(N_G)/2(6q+3u+3d+2l+e)(4)

其中, A_{[SU(3)C]2U(1)</sup>}为与强相互作用的反常系数; A_{[SU(2)L]2U(1)</sup>}为与弱相互作用的反常系数; A_{[U(1)]3</sup>}为U(1)规范对称性自身的反常系数; A_TrU(1)为与引力相互作用的反常系数.

由式(4)可确定除归一化因子外所有5个标准模型物质粒子的U(1)对称性量子数.同时汤川(Yukawa)耦合在U(1)对称性下不变,用H表示希格斯二重态,则满足对称不变的耦合形式表示为

QLuR^-H ^-+QLdR^-H+lLeR^-H+h.c.(5)

其中,QL为左手夸克; uR^-为右手上夸克; H ^-为希格斯二重态; dR^-为右手下夸克; eR^-为右手轻子; h.c.为厄米共轭部分.

这进一步确定了希格斯粒子 H的在U(1)对称性变换下的荷.经此过程,该U(1)对称性被唯一确定了.所以标准模型的每代粒子,在假设没有其他规范对称性的情况下,即可唯一确定这一组U(1)超荷(hypercharge).这是当代粒子物理标准模型规范对称性的重要基础.

然而,若引入代作为自由度,则会出现其他的无规范反常对称性.取无质量极限,物质场的拉格朗日量密度为

Q_i^-γ_μD_μQ_i+u_i^-γ_μD_μu_i+d_i^-γ_μD_μd_i+

l_i^-γ_μD_μl_i+e_i^-γ_μD_μe_i(6)

其中,拉氏量密度分别由左手夸克 Q_i, 右手上夸克 u_i, 右手下夸克 d_i, 左手轻子 l_i, 右手轻子 e_i及他们的共轭 Q_i^-、 u_i^-、 d_i^-、 l_i^- 、 e_i^-组成. γ_μ为伽马(Gamma)矩阵; D_μ为规范协变导数. Q_i^-γ_μD_μQ_i在幺正变换 U_Q下不变,表示为

Q_i→[U_Q]_ijQ_j(7)

其中, [U_Q]_ij为幺正变换U的算符形式.

设代的个数为N_G,则式(6)中拉格朗日量密度有U(N_G)_Q×U(N_G)_u×U(N_G)_d×U(N_G)_l×U(N_G)_e 的对称性.其中, U(N_G)为幺正群,下标 Q、 u、 d、 l、 e分别表示这个幺正群表征左手夸克,右手上、下夸克,左手轻子和右手轻子间的对称性.但是,由于费米子有质量,该对称性必然被汤川耦合yQLu_R^-H ^-破缺. 这里, y为汤川相互作用强度.

该对称性被破缺后遗留两个U(1)对称性以保证汤川耦合在变换下保持不变,即要求所有夸克和轻子分别有常数相因子变换,如Q_i→e^iαQ_i, u_i→e^iαu_i, d_i→e^iαd_i, l_i→e^iβl_i, e_i→e^iβe_i. 其中, α和β分别为常数相因子; U(1)_B为重子数对称性; U(1)_L为轻子数对称性.

表1为重子数与轻子数对称性的荷分配.

表1 重子数与轻子数对称性
Table 1 Baryon number and Lepton number symmetry

根据表1中的U(1)荷可知,重子数和轻子数对称性都有非零的SU(2)_L混合反常系数,即

{ZA_{[SU(2)L]2U(1)B</sup>}=(N_G)/2(3q+l)=3/2≠0

A_{[SU(2)L]2U(1)L</sup>}=(N_G)/2(3q+l)=3/2≠0(9)

这要求两个U(1)对称性只能作为整体对称性.与单独的对称性不同,不同代之间的轻子数差L_i-L_j和重子数差B_i-B_j符合所有规范反常消除条件,则这类味对称性可成为理论中的规范对称性.

粒子物理的标准模型中,中微子是无质量的.但经过几十年关于中微子振荡效应实验的发展,已发现太阳中微子振荡、大气中微子振荡和反应堆中微子振荡等效应^[11],且有非常有力的证据说明中微子是有质量的.这也成为了超越标准模型物理的一个重要启示.在标准模型中要解释中微子质量,最简单的模型就是每一代引入1个右手中微子n_j.

表2为重子数与轻子数之差所具有的对称性变换表.

表2 B-L对称性
Table 2 Baryon number minus lepton number symmetry

{ZA_{[SU(3)C]2U(1)B-L</sup>}=(N_G)/2(2×1/3-1/3-1/3)=0

A_{[SU(2)L]2U(1)B-L</sup>}=(N_G)/2(3×1/3-1)=0

A_{[U(1)Y]2U(1)B-L</sup>}=0

A<sub>U(1)Y[U(1)_B-L]2=0(10)</sup>

其中, U(1)_Y为标准模型中的超荷相互作用.

虽然右手中微子是标准模型规范对称性下的单态,但其带有的轻子数体现在U(1)_B-L的规范反常消除中,即

{ZA_TrU(1)B-L=(N_G)/2[6×1/3+3×(-1/3)+3×(-1/3)+2×(-1)+1+1]=0

A_{[U(1)B-L]2</sup>}=(N_G)/2[6×(1/3)³+3×(-1/3)³+3×(-1/3)³+2×(-1)³+1³+1³]=0(11)

则U(1)_B-L规范反常完全消除,也可成为一个规范对称性.

右手中微子的引入,使另一个对称性SU(N_G)也变成反常消除的规范对称性^[12-13].在此对称性下, N_G代夸克轻子作为SU(N_G)群下的一个N_G重态进行变换.例如,设有3代物质粒子,则在SU(3)_H下,3代左右手夸克分别构成3重态,即

Q=[Q₁

Q₂

Q₃],U=[u₁

u₂

u₃]=[u

c

t],D=[d₁

d₂

d₃]=[d

s

b](12)

类似于量子色动力学中Q_L和u_R, d_R构成左右对称的矢量规范理论.同理,右手中微子的引入使轻子部分也成为无规范反常的矢量规范理论,如式(13).

L=[l₁

l₂



l_NG],E=[e₁

e₂



e_NG],N=[n₁

n₂



n_NG](13)

在第一类翘翘板机制中需引入右手中微子的Majorana质量项^[14],其在破坏轻子数整体对称性的同时也破坏了U(1)_B-L和SU(N_G)规范对称性.其中, U(1)_B-L被破坏成Z₆子群.U(1)_B-L的破缺,则依赖于右手中微子Majorana质量的结构.

从规范反常消除条件可见,在标准模型中所有的规范反常系数均与代数目N_G成正比,即使存在SU(N_G)规范对称性也无法确定具体的代数目.

为了研究代数问题,可以在超对称理论模型中寻找启示.在最小超对称标准模型中,对应于标准模型SU(3)_C×SU(2)_L×U(1)_Y规范对称性的规范场被提升为规范超场,而标准模型物质场在此模型中被提升为手征超场^[15].超对称粒子的引入在规范反常消除中起到了重要作用.

从超对称理论的发展进程可发现,拉格朗日量可以满足一个全局U(1)_R对称性.在这种连续变换下,超空间坐标θ、 θ^-和超对称多重态S(x, θ, θ^-)在任意幅度为α的R变换下满足

{θ→e^iαθ

θ^-→e^iαθ^-

S(x, θ, θ^-)→e^<sup>ir_SαS(x, e^iαθ, e^iαθ^-)(14)

超场S(x, θ, θ^-)内的各个分量场满足不同的变换规则.其中, x为时空坐标; θ和θ^-为超空间坐标; r_S为超场所带的R荷.由于连续R对称性禁止超对称规范粒子质量,超对称在弱尺度被迫缺的限制要求R对称性被破缺为一个分立对称性^[16].

在超对称势W中,规范对称性无法禁止若干破坏重子数B或轻子数L存在相互作用项^[6],即

{W_ΔL=1=1/2λ^ijkL_iL_je^-_k+λ'^ijkL_iQ_jd^-_k+μ'ⁱL_iH_u

W_ΔB=1=1/2λ″^ijku^-_id^-_jd^-_k(15)

其中, W_ΔL=1为包含轻子数破坏的势能项; W_ΔB=1为包含重子数破坏的势能项; i、 j和k为耦合系数带有的代指标; L_i和L_j分别为第i和第j代轻子; λ、 λ'、 λ″和μ'分别为相互作用项耦合系数.

这些破坏重子数与轻子数的相互作用会导致实验中并未观测到的质子衰变过程,如p⁺→e⁺π⁰. 从其衰变宽度可明显看出,对重子数和轻子数改变耦合系数的依赖关系为

Γ_{p+→e</sup>+π</sup>0</sup>}～m⁵_proton((|λ^eusλ^uds|²)/(m⁴_S^-)+(|λ^eubλ^udb|²)/(m⁴_b^-))(16)

其中, m_proton、 m_S^-和 m_b^-分别为质子、标量奇异夸克和标量底夸克的质量; λ^eus、 λ^eub、 λ^uds和 λ^udb分别为对应上标中3个粒子相互作用的耦合强度.这在唯像学上造成质子因衰变寿命减短,此时物质世界核子无法形成.

对这个问题一种解决方案是引入额外的对称性,禁止传递质子衰变等过程的相互作用.最简单的模型实现是R宇称^[17]为

P_R=(-1)^3(B-L)+2s (17)

其中, s为粒子自旋.

在此定义下,由于在超对称多重态中的分量场带有不同自旋,各分量场的R宇称彼此不同.所有标准模型粒子具有偶R宇称,即P_R=-1, 而超对称粒子具有奇R宇称,即P_R=1. R宇称自然约束了超对称粒子需被成对产生,并在级连衰变的相互作用顶点中必须有偶数个超对称粒子出现,同时最轻超对称粒子成为了宇宙学暗物质的自然候选者. R宇称可以被认为是连续R对称性破缺至分立对称性Z_NR后,在低能标留下的Z_2R对称性.

Yanagida^[18]指出,在包含Z_NR及超对称粒子的特定模型中,新的规范反常消除条件能够确定代数目.但是,由于Z_2R对称性在增加转动变换后可被重定义为一般Z_2R分立对称性, R宇称并不是一个真正的R对称性^[19].满足N阶离散Z_NR群对称性阶数N≥3的分立对称性Z_NR的是许多物理学家研究关注的重点.假设Z_NR是物理学家规范R对称性的一个子群,并在SU(5)_GUT大统一框架下进行讨论,每一代夸克和轻子超对称多重态分别对应用10和5^*表示.根据对分立规范对称性的早期研究^[20],规范反常消除条件^[18]为

{ZA_{[SU(3)C]2ZNR</sup>}=N_G(3r₁₀+r₅-4)+6=0(mod N)

A_{[SU(2)L]2ZNR</sup>}=N_G(3r₁₀+r₅-4)+4+(r_u+r_d-2)=0(mod N)(18)

其中, r₁₀、 r₅、 r_u和r_d分别为10和5^*表示中的费米场及H_u和H_d的超荷.

因为在R对称性下不变的拉格朗日量应有的R荷为2,所以由汤川耦合给定的R荷条件为

{Z2r₁₀+r_u=2(mod N)

r₁₀+r₅+r_d=2(mod N)(19)

联立方程组(18)和方程组(19),可得到关于N_G与Z_NR分立对称性阶数N的约束方程

6-4N_G=0(mod N)(20)

由表3可读出不同粒子代数模型在规范反常消除条件下,能满足的分立R对称性阶数(N_G>5的模型中存在朗道极点问题,限于篇幅不再赘述).

表3 SU(3)C和SU(2)L规范反常消除限制
Table 3 Constraints on SU(3)C and

该组分立对称性的阶数限制是在假设标准模型物质场的基础上确定的.若选取非平庸的物质场多重态个数,分立对称性的阶数可以被扩展^[21].

值得注意的是,对应于SU(5)_GUT大统一中质子衰变的5维算符10 10 10 5^*所带的超荷为

3r₁₀+r₅=0(mod N)(21)

当N≤3时,此算符在超对称势中被禁止.可见,分立R对称性有效解决了质子衰变危机.

代数的确定依赖于特定模型中的U(1)_Y×Z_NR规范反常消除条件^[18].假设大统一群是一个半单群,且U(1)_Y荷的归一化与标准模型相同, [U(1)_Y]²×Z_NR反常消除给出对代数的限制为

2×(-10N_G+3)=0(mod N)(22)

满足方程(22)的对称性阶数如表4.

表4 U(1)Y规范反常消除限制
Table 4 Constraints on U(1)Y gauge anomaly cancellation

值得注意的是,右手中微子n_R的引入并不影响此U(1)_Y对称性下的代数目确定过程.但是,右手中微子的Majorana质量及Dirac质量项对其荷r₁进一步提出了要求,表示为

{2r₁=2(mod N)

r₅+r₁+r_u=2(mod N)(23)

文献[9]指出,这种R对称性的荷选取并不满足特殊正交群SO(10)_GUT大统一理论所要求的r₁=r₅=r₁₀条件.对此,本研究拓展讨论SO(10)_GUT大统一中的规范反常消除.一种直观理解SO(10)_GUT群存在问题的方法是,联系第3节SO(5)_GUT大统一的结果,并先假设r₁=r₅=r₁₀为必要条件,则右手中微子质量及质子衰变禁止条件为

{2r₁=2(mod N)

4r₁=0(mod N)(24)

求解方程组(24),可以发现在N=3、 4、 5约束条件下,唯一合理的一组解是r₁=1, N=4.但显然可以由表3和表4比较得出, Z_4R并不是一个能够满足规范反常消除的分立R对称性.这自然要求SO(10)_GUT大统一框架下的规范反常消除问题需要被扩展. 最新研究发现,在Z_4R对称性的基础上,可以通过Green-Schwarz机制解决规范反常消除问题^[22-24].此机制利用引力反常系数A_Gravity, 允许非零的规范反常出现,但同时需满足

(A_{[U(1)Y]2ZNR</sup>})/(k₁)=(A_{[SU(2)L]2ZNR</sup>})/(k₂)=

(A_{[SU(3)C]2ZNR</sup>})/(k₃)=(A_Gravity)/(12)(25)

其中, k₁、 k₂和k₃分别为模型中的待定值.

Green-Schwarz机制解决了Z_4R在大统一中的作用,且允许了更多Z_NR对称性组合存在^[25].但是,根据本研究结果可知,此非零的规范反常系数并不用在代数目N_G确定过程中起到作用.

阐述3代基本粒子在标准模型中的重要意义,每代粒子的规范反常贡献相消的重要理论基础,及中微子质量发现的重要启示,本研究围绕扩充费米场在规范反常消除中的作用进行论述.在最小超对称标准模型中,超对称粒子的规范反常贡献可在特定U(1)_Y超荷选取下,确定N_G=3. 对于超对称大统一框架中的规范反常系数处理,现阶段的理论模型仍未能将代数目及分立R对称性唯一确定.