企业战略目标是企业在实现其使命过程中所追求的长期结果.反映了企业在一定时期内经营活动的方向和所要达到的水平.决策者应把有限资源用在对企业战略贡献较大的项目上,故组合中的项目首先需符合企业的战略目标,可用支持向量机(support vector machine,SVM)筛选.

表1 数学符号定义
Table 1 Definition of mathematical symbols

企业战略目标可由分目标S_z(z=1, 2, …, h)组成.专家给出最符合战略目标的项目S ^{^}. 拟组合项目i(i=1, 2, …, l-1)和项目S ^{^}作为样本点,由专家给出其第S_z个分目标的三角模糊数P ^～_iz和P ^{^}_z, 将其作为相应样本信息,记为x_i, 其中i=1, 2, …, l, 这里l为拟组合项目i和项目S ^{^}的总项目数, x_l与P ^{^}_z相对应.

线性可分样本集为(x_i, y_i)(i=1, 2, …, l, x∈R^l), 其中y_i∈{+1, -1}是类别符号, R^l为 l 维空间. R^l中的判别函数为g(x)=wx+b, 分类线方程为wx+b=0. 将判别函数归一化得|g(x)|=1, 此时分类间隔为2/=w=, 若要使分类间隔最大化就需使=w=/2最小化, 即使=w=²/2最小化.其中, w为超平面的法向量.线性不可分时,加入松弛项参数ε_i(ε_i≥0,i=1, 2, …, l), 并引入控制对错分样本的惩罚程度θ(θ为经验常数),则有

minφ(w,ε)=1/2=w=²+θ∑^l_i=1ε_i

s.t.{y_i[(wx_i)+b]-1+ε_i≥0

ε_i≥0, i=1,2,…,l(1)

由Lagrange乘子α_i优化法将式(1)化为对偶问题,即

L=1/2=w=²+θ∑^l_i=1ε_i-

∑^l_i=1α_i[y_i(wx_i+b)-(1-ε_i)](2)

由Kuhn-Tucker(K-T)条件得

{(L)/(w)=w-∑^l_i=1α_iy_ix_i=0

(L)/(b)=-∑^l_i=1α_iy_i=0

y_i[(wx_i)+b]-1+ε_i=0(3)

其中, α_i≥0, ε_i≥0, i=1, 2, …, l. 故最优值为w^*=∑^l_i=1α^*yα_i.

支持向量的α_i≠0, 最优α^*满足

maxF(α)=∑^l_i=1α_i-1/2∑^l_{i, j=1}α_iα_jy_iy_j(x_i·x_j)

s.t.{∑^l_i=1y_iα_i=0

0≤α_i≤θ, i=1,2,…,l(4)

则最优分类函数为

f(x)=sgn{∑^l_i=1α^*_iy_i(x_i·x_j)+b^*}(5)

其中,最优阈值b^*由支持向量通过式(1)求得.

对于非线性问题,用内积核函数K(x_i·x_j)将非线性问题映射到高维空间线性问题, α_i满足的条件及分类函数,将式(4)和式(5)中内积运算用K(x_i·x_j)代替即可.目前径向基函数对于分类较理想,惩罚参数θ和核参数δ=1/(2σ²)可通过交叉验证法获得^[12].

利用SVM对项目S ^{^}及拟组合项目分类,若拟组合项目与S ^{^}同类,则表示该项目符合企业的战略目标,并将其作为候选项目,否则将被删除.

假设通过SVM分类,得到i(i=1, 2, …, n)个候选项目,由文献[4]知,项目在e维上具有交互效应.该交互效应是多项目在适应环境和利用资源的实际幅度或潜在能力方面表现出的共同性或相似性^[5].灰色系统理论的研究对象有不确定性.灰色关联分析法(grey relational analysis, GRA)是利用灰色关联度来描述因素间相似程度的方法,由灰色关联度整体性知,当灰色关联因子集中超过2个序列时,灰色关联度有不对称性.故可用e(e=1,2, 3分别表示项目资源、技术和收益维度)维灰色关联度度量交互效应.

资源交互效应受原材料、信息、资金和人员素质影响,技术交互效应包括专利、技术人员和设备相互影响.收益交互效应受货币收入、市场份额和潜在效益等影响.将各因素的价值折现,则项目i在e维上第k个指标为a_ie(k), 且k=1, 2, …, d, 其中d={4, e=1

3, e=2, 3. 行向量A_ie=(a_ie(k))_1×d, 分变系数为ξ(ξ∈(0, 1)), 项目i和项目j在k上关联系数为

γ(a_ie(k), a_je(k))=(min_imin_k|a_ie(k)-a_je(k)|+ξmax_imax_k|a_ie(k)-a_je(k)|)/(|a_ie(k)-a_je(k)|+ξmax_imax_k|a_ie(k)-a_je(k)|)(6)

项目i和项目j在e上的灰色关联度为

γ(a_ie, a_je)=1/d∑^d_k=1γ(a_ie(k), a_je(k))(7)

项目自身无交互效应,故σ_ii=0. 项目间的交互效应可增加或减少项目组合风险,具有方向性,两者可能有相等的灰色关联度,故当项目j的实施,使项目i资源利用率和成功概率增大,且项目产品为增效作用,使项目组合风险小于单项目风险之和时,项目 j对i的e维交互效应为负值,反之取正值.

由专家评分法可得各维权重ω_e及各项目权重ω_i. 其中, ω_e, ω_i∈[0, 1], ∑³_e=1ω_e=1, ∑ⁿ_i=1ω_i=1. 因项目j对项目i的交互效应为σ_ij=∑³_e=1ω_eσ_ij(e), 则其他所有项目对项目i的总体交互效应为σ_i=∑ⁿ_j=1ω_iσ_ij.

风险是损失发生的可能性和程度^[6].损失可能性具有不确定性,项目e维信息也有不确定性,可用三角模糊数反映.由专家经验可得项目i的e维三角模糊数(a_ie, b_ie, c_ie)(i=1, 2, …, n; e=1, 2, 3),记为P ^～_ie, 因三角模糊数的模糊程度可用模糊熵H(P ^～_ie)刻画,故可用模糊熵度量项目i的e维风险,且熵值越大相应风险越大.三角模糊数P ^～_ie隶属函数

F_{P ^～ie}(x)={(x-a_ie)/(b_ie-a_ie), a_ie≤x≤b_ie

(c_ie-x)/(c_ie-b_ie), b_ie<x≤c_ie

0, 其他(8)

由式(8)得Shannon模糊熵为

H(P ^～_ie)=1/2L(c_ie-a_ie)(9)

其中, L为非负常数.适当选取L值使H(P ^～_ie)∈(0, 1), 结合ω_e可得项目i的风险为

H_i=∑³_e=1ω_eH(P ^～_ie), H_i∈(0, 1)(10)

由专家评分法可得交互效应风险权重及项目自身风险权重分别为ω_σ和ω_H. 其中, ω_σ, ω_H∈[0, 1], ω_σ+ω_H=1. 因此,项目组合整体风险水平为

H(x)=∑ⁿ_i=1(ω_HH_i+ω_σσ_i)x_i(11)

其中,项目i被选择时, x_i=1; 否则, x_i=0. 当ω_HH_i+ω_σσ_i≤0, 即σ_i∈[-1, 0]且|ω_σσ_i|≥ω_HH_i时, ω_HH_i+ω_σσ_i=0, 表示组合中其他项目对项目i的交互效应,减小了项目i的风险,且减小值不小于其自身的风险,故此时项目i的风险为0.

企业实施项目时,总期望利用最小成本获得最大收益,故项目组合收益不能小于项目单独实施时总期望收益,同时需使项目组合风险越小越好.故本研究建模前首先假设:

1)多项目实施时,只考虑两项目间的交互效应,且项目间不存在依赖和互斥关系;

2)交互效应只在资源、技术及收益内部发生;

3)项目资源、技术及收益的模糊值和白化值可通过专家调查法得到.

因此,利用式(11)建模可得

minH(x)=∑ⁿ_i=1(ω_HH_i+ω_σσ_i)x_i

s.t.{∑ⁿ_i=1r^～_ix_i≥R^～

∑ⁿ_i=1P^～_iex_i≥P^～_e

x_i=0或1

i=1,2,…, n, e=1,2,…,l(12)

其中, r^～_i和R^～分别为项目i的实际收益模糊数和期望收益模糊数; P^～_e是项目i在e维的资源总量模糊数.

1)变量取值形式. r^～_i和P^～_ie取三角模糊数核b, 因这时最利于项目实施. R^～=R₀+d_R, P^～_e=P^～_e0+d_e. 其中, R₀和P_e0对应三角模糊数a值; d_R和d_e与c-a对应, 且c-a为收益和资源伸缩量,由专家根据经验确定.

2)约束条件和目标函数模糊化.不小于约束及目标函数用如下形式表述

∑ⁿ_i=1q_ijx_i≥b_j+d_j,

H(x)=∑ⁿ_i=1c_ix_i, j=1,2,…,m(13)

其中, q_ij为第j个约束条件中自变量x_i的系数; c_i为目标函数中自变量x_i的系数; m为约束条件的个数.

先将约束条件右端视为b_j求解,可得目标函数最优值为H₀. 再用b_j+d_j代替b_j, 可解得目标函数最优值为H₀+d₀. 各约束条件和目标函数与X上模糊子集C_j和G对应,其中X={x=(x₁,x₂,…,x_n)│x_i=0或1}, 其隶属函数为式(14)和式(15).

C_j(x)={0, ∑ⁿ_i-1q_ijx_i≤b_j

1-(∑ⁿ_i-1q_ijx_i-b_j)/(d_j), b_j≤∑ⁿ_i-1q_ijx_i≤b_j+d_j

1, ∑ⁿ_i-1q_ijx_i≥b_j+d_j(14)

G(x)={1, ∑ⁿ_i=1c_ix_i≤H₀

(∑ⁿ_i=1c_ix_i-H₀)/(d₀), H₀≤∑ⁿ_i=1c_ix_i≤H₀+d₀

0, ∑ⁿ_i=1c_ix_i≥H₀+d₀(15)

同理可得约束条件为不大于约束时的隶属函数,故模糊约束集为C=C₁∩C₂∩…∩C_m.

3)决策集D=C∩G. D(x^*)=∨_x∈X(λ=C(x)∧G(x)), 则 x^*是问题最优解,目标函数最优值H^*(x)=∑ⁿ_i=1c_ix^*_i.

当C(x)≥λ, G(x)≥λ, λ为置信水平,则

max(λ)

s.t.{1-1/(d_j)(∑ⁿ_i=1q_ijx_i-b_j)≥λ

1/(d₀)(∑ⁿ_i=1c_ix_i-H₀)≥λ

λ≥0, x_i=0或1

i=1,2,…, n(16)

由此可求得其最优解为λ^*, 即

D(x^*)=∨_x∈X(C(x)∧G(x))=λ^*(17)

因此原问题最优解是x^*=(x^*₁, x^*₂, …, x^*_n)∈X, 原目标函数最优值为H^*(x)=∑ⁿ_i=1c_ix^*_i,即交互效应下项目组合风险最优值.