本研究求解压力波传播到边界后达到稳定状态时直井的渗流数学模型.采用稳定逐次逼近的方法,即对于某一时刻,压力分布特征用稳态的方法来描述,非稳态过程用一系列不同的稳态过程来逼近.对于某一时刻来说,压力的分布特征用稳态的方法描述.由稳定流的连续性关系两个区域的产量Q=Q₁=Q₂. 考虑近井改造、启动压力梯度影响时,在油井极限动用范围内,直井稳定渗流方程组模型^[6-9]适用于储层改造后低渗透油藏的稳定渗流:

1)第1分区,在近井改造有效半径以内.

{()/(r)[r((p)/(r)-G)]=0, 0<r≤r_m

r((p)/(r)-G)|_r=rw=(Qμ)/(2πk₁h)

p(r)|_r=rw=p_wf

p(r)|_r=rm=p_m(1)

2)第2分区,在近井改造有效半径以外.

{()/(r)[r((p)/(r)-G)]=0, r_m≤r<r_e

p(r)|_r=rm=p_m

p(r)|_r=re=p_e(2)

其中, p_e为原始地层压力(单位:MPa); p_wf为油井井底流压(单位:MPa); p_m为近井改造作用半径处的压力(单位:MPa); r_w为井半径(单位:m); r_e为给定的边界半径(单位:m); r_m为近井改造有效作用半径(单位:m); k₁为近井改造范围内渗透率(单位:μm²); k₂为近井改造范围外渗透率(单位:μm²); h为有效厚度(单位:m); μ为流体黏度(单位:mPa·s).

此外,以上渗流方程需满足连接条件:在r=r_m处压力相等, 即p₁(r₀)=p₂(r₀).

联立式(1)和式(2)求解,可得到直井条件下压力及压力梯度分布.

结合保角变换函数,物平面内y轴方向压力传播距离y_e和z轴方向压力传播距离z_e分别与像平面内压力传播半径ρ_e的关系^[22-24]为

ρ_e=(y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2)/(L/2)(3)

ρ_e=tan(πz_e)/(2h)(4)

将上述关系式结合直井开采条件下压力及压力梯度分布表达式即可得到xy平面和yz平面压力及压力梯度分布的表达式.

1)水平方向xy平面压力分布的表达式.

参考直井稳定渗流的压力分布表达式,可得到像平面内的压力分布表达式; 再根据保角变换函数,可推导出水平井在物z平面即xy平面内椭圆短轴(0,y)方向上的压力分布表达式.在近井改造有效半径以内, 即y_w<y≤y_m处有

p(0,y)=p_m-G₁{([y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2]-[y+(y²+(L/2)²)^1/2])/(L/2)}-

((p_m-p_w)-G₁((y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)/(L/2)-1))/(ln((y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)/(L/2)))ln(y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)/(y+(y²+(L/2)²)^1/2)(5)

对式(5)求导,得水平井在xy平面内椭圆短轴方向上, 即y_m<y≤y_e处的压力梯度表达式为

(dp)/(dy)=(G₁)/(L/2)(y/((y²+(L/2)²)^1/2)+1)+((p_m-p_w)-G₁[(y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)/(L/2)-1])/((y²+(L/2)²)^1/2ln[(y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)/(L/2)])(6)

在近井改造有效半径以外, y_m≤y<y_e处

p(0,y)=p_e-G₂{([y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2]-[y+(y²+(L/2)²)^1/2])/(L/2)}-

((p_e-p_m)-G₂(([y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2]-[y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2])/(L/2)))/(ln((y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2)/(y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)))ln(y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2)/(y+(y²+(L/2)²)^1/2)(7)

对式(7)求导,得水平井在xy平面内椭圆短轴方向上, y_m<y≤y_e处的压力梯度表达式为

(dp)/(dy)=(G₂)/(L/2)(y/((y²+(L/2)²)^1/2)+1)+((p_e-p_m)-G₂[(y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2-y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2])/(L/2)])/((y²+(L/2)²)^1/2ln[(y_e+(y²_e+(L/2)²)^1/2)/(y_m+(y²_m+(L/2)²)^1/2)])(8)

随着压力在xy水平平面内的逐步传播,当驱动压力梯度降至启动压力梯度时,渗流速度为0,此时压力传播的范围即为xy平面内的极限动用半径y_e.

2)垂直方向yz平面压力分布模型.

参考直井稳定渗流的压力分布表达式,可得到像ξ平面内的压力分布表达式; 再根据保角变换函数,可推导出水平井在物z平面即yz平面内椭圆短轴(0,z)方向上的压力分布表达式.

在近井改造有效半径以内, 即z_w<z≤z_m处有

p(0,z)=p_w+G₁(tan(πz)/(2h)-(πr_w)/(2h))+((p_m-p_w)-G₁(tan(πz_m)/(2h)-(πr_w)/(2h)))/(ln((2h_w)/(πr_w)tan(πz_m)/(2h)))ln((2h_w)/(πr_w)tan(πz)/(2h))(9)

对式(9)求导,得水平井在yz平面内椭圆短轴方向上, z_w<z≤z_m处的压力梯度表达式为

(dp)/(dz)=(πG₁)/(2h)1/(cos²(πz)/(2h))+((p_m-p_w)-G₁(tan(πz_m)/(2h)-(πr_w)/(2h)))/(h/(π) sin(πz)/hln((2h)/(πr_w) tan(πz_m)/(2h)))(10)

在近井改造有效半径以外,即z_m<z≤z_e处有

p(0,z)=p_m+G₂(tan(πz)/(2h)-tan(πz_m)/(2h))+((p_e-p_m)-G₂(tan(πz_e)/(2h)-tan(πz_m)/(2h)))/(ln((tan(πz_e)/(2h))/(tan(πz_m)/(2h))))ln((tan(πz)/(2h))/(tan(πz_m)/(2h)))(11)

对式(11)求导,得水平井在yz平面内椭圆短轴方向上, z_m<z≤z_e处的压力梯度表达式为

(dp)/(dz)=(πG₂)/(2h)1/(cos²(πz)/(2h))+((p_e-p_m)-G₂(tan(πz_e)/(2h)-tan(πz_m)/(2h)))/(h/(π) sin(πz)/hln(( tan(πz_e)/(2h))/( tan(πz_m)/(2h))))(12)

随着压力在水平yz平面内的逐步传播,当驱动压力梯度降至启动压力梯度时,渗流速度为0,此时压力传播的范围即为yz平面内的极限动用半径z_e.

综上所述,水平井衰竭开发的渗流问题可转化为直井渗流进行求解.而衰竭开发方式下油藏中直井的生产过程和压力变化规律,可参照封闭地层中心一口油井的情形进行分析和求解.

在储层改造半径取为10 m时,变启动压力梯度条件下,不同生产压差Δp, 不同地层启动压力梯度时,水平井xy水平平面压力随距离的分布变化规律,如图3.

图3 水平平面内y轴(沿水平井段)方向压力分布
Fig.3(Color online)Pressure distribution along y-axis in horizontal plane
Fig.3(Color online)Pressure distribution along y-axis in horizontal plane

在储层改造半径为10 m时,分析不同生产压差和不同地层启动压力梯度水平井yz平面压力随距离的分布变化规律,结果如图4.

图4 垂向平面内z轴(垂直水平井段)方向压力分布
Fig.4(Color online)Pressure distribution along z-axis in vertical plane
Fig.4(Color online)Pressure distribution along z-axis in vertical plane

由图3和图4可见,水平井驱替压力分布的大致规律如下:

1)水平方向.在改造半径以内,水平平面内y轴方向上,压力几乎没有变化; 在改造半径以外,压力与井距离基本呈线性变化规律;

2)垂向方向.在改造半径以内,垂向平面内z轴方向上,压力也几乎没有变化,随生产压差增大和启动压力梯度减小,极限动用范围逐渐增加; 在改造半径以外,压力与井距离呈非线性变化.

总之,由于储层近井改造的影响,压力分布呈现两段式分布,整个动用范围处于稳定状态; 在各自的极限动用范围内,近井渗流阻力小,压力消耗小,在渗流阻力较大的改造范围以外的区域,压力消耗大.

此外,还不难发现,生产压差越大、启动压力梯度越小,储量动用的范围就越大; 在相同条件下,xy水平平面(近似线性流)的储量动用范围,要远大于垂向yz平面(近似径向流)的储量动用范围.

当储层改造半径分别为5、10和20 m时, xy平面和yz平面极限动用半径随启动压力梯度的变化,如图5.由图5可以看出:

图5 不同改造半径下极限动用半径的变化规律
Fig.5(Color online)The relationship between limit drainage radius and threshold pressure gradient
Fig.5(Color online)The relationship between limit drainage radius and threshold pressure gradient

1)当储层改造后渗透率倍数相等时,随着储层改造作用半径和生产压差的增大,水平井在xy和yz两个平面内的极限动用半径都呈增大趋势,且yz平面上极限动用半径的变化率,要大于xy平面上的变化率;

2)在相同的改造半径和生产压差下,随着启动压力梯度的减小, xy和yz两个平面内的极限动用半径明显增大,且在初期态势明显,在启动压力梯度超过0.04 MPa/m后,增幅逐渐减缓; 表明在储层流体渗流过程中,启动压力梯度的存在增加了渗流阻力,降低了流体在介质中的流动能力,影响了极限动用范围;

3)生产压差对于水平井在xy和yz两个平面内的极限动用半径的影响,要明显大于增大储层改造半径对其的影响,且在启动压力梯度较高时表现尤为明显.