假定对变更部分的工程,业主与承包商之间商定新的风险分摊率(本研究假设项目建成后,业主与承包商在项目绩效上的“分成制”即为项目的风险分摊),未发生变更部分与发生变更部分的风险分摊率分别为β_Q和β_C, 且β_Q、 β_C∈[0,1]. 针对不同风险分摊率承包商会选择相应的努力程度α_Q∈(0,1)和α_C∈(0,1), 表示其占最大努力程度的比率.

工程变更后的项目绩效可看作由未变更与变更两部分的绩效组成,表示为x=(x_Q,x_C). 项目绩效由承包商的行为Δ(α)及外界影响因素θ共同作用产生,即x=Δ(α)+θ. 其中, θ=(θ_Q,θ_C), 服从均值为0、协方差矩阵为Σ的正态分布.

承包商对未变更部分的工程采取一定努力时产出的绩效为Δ_Q(α_Q), 且满足条件

Δ_Q'(α_Q)>0

Δ_Q″(α_Q)<0

lim_αQ→0Δ_Q(α_Q)=-∞

lim_αQ→1Δ_Q(α_Q)=Δ^-_Q

其分别表示绩效随努力程度提升而提升、绩效的提升效果随努力程度的提升而边际递减、当几乎不付出努力时的绩效趋近负无穷,当几乎付出百分百努力时绩效存在上限.

为方便讨论,引入承包商对未变更工程的努力效果系数γ_Qe, 假设

Δ_Q(α_Q)=Δ^-_Q+γ_Qelnα_Q(1)

对于变更部分的工程,设γ_Ce为承包商对变更工程的努力效果系数,同样有

Δ_C(α_C)=Δ^-_C+γ_Celnα_C(2)

工程变更时承包商的努力成本函数可表示为c(α_Q,α_C),且满足

(c)/(α_Q)>0,(c)/(α_C)>0,(²c)/(α²_Q)>0,(²c)/(α²_C)>0;

(²c)/(α_Qα_C)=(²c)/(α_Cα_Q)≥0;

lim_αQ→0c(α_Q,α_C)=c(0,α_C);

lim_αQ→1c(α_Q,α_C)=c(+∞,α_C);

lim_αC→0c(α_Q,α_C)=c(α_Q,0);

lim_αC→1c(α_Q,α_C)=c(α_Q,+∞).

根据上述讨论的条件,对工程变更时的努力成本作如下假设

c(α_Q,α_C)=γ_Qcln(1/(1-α_Q))+

γ_Ccln(1/(1-α_C))+

γ_iln(1-α_Q)ln(1-α_C)(3)

其中, γ_Qc>0和γ_Cc>0分别定义为承包商对未变更部分和变更部分的努力成本系数; γ_i>0为承包商在工程变更时的努力交互影响系数.

业主与承包商的风险厌恶程度是项目双方自身的属性,本研究假设双方均体现出风险厌恶特征,双方的风险厌恶程度分别为ρ_B和ρ_S, 且均为常数.

工程变更中业主效用函数为

v=(1-β_Q 1-β_C)(x_Q

x_C)=

(1-β_Q)x_Q+(1-β_C)x_C(4)

承包商效用函数为

u=(β_Q β_C)(x_Q

x_C)-c(α_Q,α_C)=

β_Qx_Q+β_Cx_C-c(α_Q,α_C)(5)

S_B和S_S分别表示工程变更时,业主和承包商效用函数的确定性等价值.

根据确定性等价值反映相应的效用函数S=μ-1/2ρσ², 其中, μ和σ²分别为随机结果的期望与方差; ρ为风险厌恶程度.

双方效用函数的确定性等价值为

S_B=(1-β_Q

1-β_C)^T(Δ_Q(α_Q)

Δ_C(α_C))-1/2ρ_B(1-β_Q

1-β_C)^TΣ(1-β_Q

1-β_C)=(1-β_Q)(Δ^-_Q+γ_Qelnα_Q)+

(1-β_C)(Δ^-_C+γ_Celnα_C)-1/2ρ_B(1-β_Q

1-β_C)^TΣ(1-β_Q

1-β_C)(6)

S_S=(β_Q

β_C)^T(Δ_Q(α_Q)

Δ_C(α_C))-1/2ρ_S(β_Q

β_C)^TΣ(1-β_Q

1-β_C)-c(α_Q,α_C)=

β_Q(Δ^-_Q+γ_Qelnα_Q)+β_C(Δ^-_C+γ_Celnα_C)-1/2ρ_S(β_Q

β_C)^TΣ(β_Q

β_C)-c(α_Q,α_C)(7)

其中,(1-β_Q

1-β_C)^TΣ(1-β_Q

1-β_C)为随机结果的方差.

当发生工程变更行为时,承包商须满足其效用最大化的目标.对承包商效用函数的确定性等价值中α_Q与α_C进行求偏导,并令结果为0,即

(S_S)/(α_Q)=(β_Qγ_Qe)/(α_Q)-(c)/(α_Q)=

(β_Qγ_Qe)/(α_Q)-(γ_Qc-γ_iln(1-α_C))/(1-α_Q)=0

(S_S)/(α_C)=(β_Cγ_Ce)/(α_C)-(c)/(α_C)=

(β_Cγ_Ce)/(α_C)-(γ_Cc-γ_iln(1-α_Q))/(1-α_C)=0

假设

γ_Qi=γ_Qc-γ_iln(1-α_C)

γ_Ci=γ_Cc-γ_iln(1-α_Q)(8)

其中, γ_Qi和γ_Ci仅代表计算简式,无实质意义.当α_Q与α_C在取下列值时S_S取最大值

{α_Q=(β_Q)/(β_Q+γ_Qi/γ_Qe)

α_C=(β_C)/(β_C+γ_Ci/γ_Ce)(9)

当工程变更行为发生时,承包商的风险分摊率及努力程度的最优化问题可表述为

max_βQ,βC{(1-β_Q)(Δ^-_Q+γ_Qelnα_Q)+(1-β_C)(Δ^-_C+γ_Celnα_C)-1/2ρ_B(1-β_Q

1-β_C)^TΣ(1-β_Q

1-β_C)}

s.t.(IR) β_Q(Δ^-_Q+γ_Qelnα_Q)+β_C(Δ^-_C+γ_Celnα_C)-1/2ρ_S(β_Q

β_C)^TΣ(β_Q

β_C)-c(α_Q,α_C)≥0

(IC){α_Q=(β_Q)/(β_Q+γ_Qi/γ_Qe)

α_C=(β_C)/(β_C+γ_Ci/γ_Ce)(10)

当工程不发生变更时,激励相容约束为α=β/(β+γ_c/γ_e), 此时(dα)/(dγ_c)=(-β/γ_e)/((β+γ_c/γ_e)²)<0, 承包商的努力程度是承包商努力成本系数的减函数,其中, γ_c表示努力的成本系数; γ_e表示努力的效果系数.

工程变更时的(IC),由于α_Q∈(0,1), α_C∈(0,1), 所以 ln(1-α_C)<0, ln(1-α_Q)<0, 因此γ_Qi>γ_Qc, γ_Ci>γ_Cc. 当发生工程变更时,项目存在两个绩效提升的目标,且承包商在对这两个目标付出努力时的努力成本都会提升的情况下,相对不发生工程变更时绩效提升目标的努力程度都会有一定的下降.结合实际考虑变更部分的努力程度与未变更部分的努力程度存在一定的交互影响.

以承包商对未变更部分的努力程度为例,下降幅度α^↓_Q为

α^↓_Q=(β_Q)/(β_Q+γ_Qc/γ_Qe)-(β_Q)/(β_Q+γ_Qi/γ_Qe)(11)

式(11)中唯一不同的就是γ_Qc与γ_Qi, 而γ_Qi=γ_Qc-γ_iln(1-α_C),所以下降幅度与γ_i和α_C有关. α_Q对γ_i与α^↓_C求导得

{(dα^↓_Q)/(dγ_i)=-(γ_Qeβ_Qln(1-α_C))/((γ_Qeβ_Q+γ_Qi)²)

(dα^↓_Q)/(dα_C)=(γ_Qeβ_Q(γ_i)/(1-α_C))/((γ_Qeβ_Q+γ_Qi)²)(12)

由于α_C∈(0,1), 所以ln(1-α_C)<0, 1-α_C>0, 即(dα^↓_Q)/(dγ_i)>0,(dα^↓_Q)/(dα_C)>0.

由此可见,两个目标之间的相互影响程度越大,承包商对未变更部分付出的努力程度就越低; 承包商对变更部分所付出的努力越大,则在未变更部分上所付出的努力程度就越低.同理,承包商对变更部分的努力程度同样可以如此解释.

产生上述现象的主要原因在于:当发生工程变更行为时,承包商需要对未变更和变更的两部分工程都付出一定程度的努力,且所付出的努力都需要一定的资源(时间、人力及财务等)支撑,而工程建设项目中的资源具有稀缺性与共享性.所以,从某种意义上讲,承包商在工程变更时的努力交互影响系数反应了承包商在对未变更部分与变更部分相关资源的共享性程度,承包商在这两方面的不同努力程度反映了承包商在工程变更时对不同目标投入资源的权衡.

通过对工程变更时承包商努力程度的推演分析,本研究认为在发生工程变更时,承包商的努力成本,对项目的绩效影响很大,站在业主角度,为保持项目生命全周期内的绩效水平,需适当增加项目资源投入,或提升既有资源的使用效率和使用功能等,以促进承包商的施工行为达到预期目标.

根据工程变更委托代理模型中对激励相容约束条件的讨论,在工程变更发生的情况下,承包商达到最大效用时的风险分摊率可表示为

{β_Q=(α_Q)/(γ_Qe)×(C)/(α_Q)=((C)/(α_Q))/((Δ_Q)/(α_Q))=1/(γ_Qe)(α_Q)/(1-α_Q)[γ_Qc-γ_iln(1-α_C)]

β_C=(α_C)/(γ_Ce)×(C)/(α_C)=((C)/(α_C))/((Δ_C)/(α_C))=1/(γ_Ce)(α_C)/(1-α_C)[γ_Cc-γ_iln(1-α_Q)](13)

由式(13)可见,与单一目标时的风险分摊率β=(αγ_C)/((1-α)γ_e)相比,当承包商面对工程变更时,其风险分摊系数要相对增加.工程变更行为发生时,承包商的风险分摊率等于努力的边际成本与边际效果之比.承包商面对两个绩效提升目标,其最优风险分摊率与两个目标之间的相互影响系数及另一个目标的努力程度有关.

以承包商在未变更部分的风险分摊率为例,当

(β_Q)/(α_C)=(α_Q)/(γ_Qe)×(²c)/(α_Qα_C)=

1/(γ_Qe)(α_Q)/(1-α_Q)(γ_i)/(1-α_C)((²c)/(α_Qα_C))/((Δ_Q)/(α_Q))>0

(β_Q)/(γ_i)=-1/(γ_Qe)(α_Q)/(1-α_Q)ln(1-αC)>0

可见,承包商在未变更部分的风险分摊率是承包商对另一个目标(变更部分)努力程度的增函数,即随着承包商对变更部分努力程度的增加,其在未变更部分的风险分摊就增加; 承包商在未变更部分的风险分摊率是交互影响系数的增函数,即随着未变更与变更工程之间的交互影响变大,承包商在未变更部分的风险分摊就加大.

此处同样体现出工程建设上的资源稀缺性与共享性.在稀缺资源的情况下,承包商对变更部分增加资源投入(体现为其在变更部分上努力程度的增加),必然导致承包商在未变更部分工程上减少资源投入,从而加大承包商在未变更部分的风险,提高其风险分摊系数; 当未变更部分与变更部分相互影响较大时,承包商对资源的分配和共享利用就产生很大困难,势必增加承包商在未变更部分上的风险,提高其风险分摊系数.

令δ(Δ_Q)=Δ¹_Q-Δ⁰_Q,

δ(c)=c(α¹_Q,α¹_C)-c(α⁰_Q,α⁰_C),

式(16)可变为

p(α¹_C)≥p(α⁰_C)(c_R(α⁰_C))/(c_R(α¹_C))+(δ(Δ_Q))/(c_R(α¹_C))-

(δ(c))/(β_Qc_R(α¹_C))(17)

其中, p(α¹_C)为业主在工程变更过程中的检验水平.

根据工程变更委托代理模型中的激励相容约束条件 α_Q=(β_Q)/(β_Q+γ_Qi/γ_Qe), 则

(dα_Q)/(dα_C)=-(α_Q(²C)/(α_Qα_C))/(C)/(α_Q)<0,而(dΔ_Q)/(dα_C)=(dΔ_Q)/(dα_Q)(dα_Q)/(dα_C),(dΔ_Q)/(dα_Q)>0, 所以(dΔ_Q)/(dα_C)<0.因此,当α¹_C<α⁰_C时, Δ¹_Q>Δ⁰_Q,所以 δ(Δ_Q)=Δ¹_Q-Δ⁰_Q>0.由于承包商在工程变更部分的努力程度降低,承包商就可以在未变更部分提高努力程度,从而提高未变更部分的绩效.

定义承包商工程变更时的努力成本混合偏导(²c)/(α_Qα_C)和(²c)/(α_Cα_Q)为承包商在工程变更时变更部分与未变更部分努力水平的替代效果.通过上述分析知δ(Δ_Q)也与承包商努力水平的替代效果有关,替代效果越强,在工程变更部分的相同努力程度下的δ(Δ_Q)就越大,从而对质量检验水平的要求标准也越高.

由于(dc)/(dα_C)=(c)/(α_C)+(c)/(α_Q)(dα_Q)/(dα_C),

(dα_Q)/(dα_C)=-(α_Q(²c)/(α_Qα_C))/(c)/(α_C),

所以(dc)/(dα_C)=(c)/(α_C)-α_Q(²c)/(α_Qα_C).

当承包商工程变更时的努力成本混合偏导较小,(dc)/(dα_C)>0,且当α¹_C<α⁰_C,则

δ(c)=c(α¹_Q,α¹_C)-c(α⁰_Q,α⁰_C)<0.

在这种情况下,对业主在变更部分的检验水平要求就较高,反映为p(α¹_C)偏大.当业主的检验水平一定时,承包商在工程变更部分采取最低保证努力的动机就越弱,即承包商对变更部分的努力水平会降低.

当承包商工程变更时的努力成本混合偏导较大,很可能会达到(dc)/(dα_C)<0的程度,此时当α¹_C<α⁰_C, 那么

δ(c)=c(α¹_Q,α¹_C)-c(α⁰_Q,α⁰_C)>0.

在这种情况下,对业主在变更部分的检验水平要求就较低,反映为p(α¹_C)偏小.当业主的检验水平一定时,承包商在工程变更部分采取最低保证努力的动机就越强,即承包商对变更部分的努力水平就会升高.

当努力水平替代效果为0时,体现为

(²c)/(α_Qα_C)=0,则(dc)/(dα_C)=(c)/(α_C).

可见,承包商是否采取工程变更最低保证努力,主要取决于承包商通过降低在变更部分的努力程度,从而提升在未变更部分的努力程度,以此获得净收益水平、承包商在工程变更部分的绩效水平被检查出不达标时所付出的补救成本以及正确判定概率p(α¹_C)和误判概率p(α⁰_C), 判定的准确与否与业主的检验手段的先进性直接相关.

从业主的角度来看,可以通过以下措施促使承包商达到工程变更部分最低保证努力水平:① 提高承包商在工程变更中的补救成本; ② 改进检验手段.提高补救成本的措施有很多,比如业主要求当检验变更部分绩效不达标时,承包商除了承担补救成本外,还要对由此产生的其他损失进行补偿,或者变更时业主要求承包商提交部分绩效提升的保证金等.对于改进检验的手段,现实中可以采取比较多的形式,如雇佣专业的第三方对工程变更部分进行检查,或者采用新的技术和设备等进行检查.

通过以上分析可知,当业主对工程变更部分绩效的检验结果表明承包商在工程变更部分的努力水平未达到最低保证努力程度时,承包商就需要对未达标部分采取补救措施,同时承担部分的补救成本.承包商进行补救时,业主相当于通过要求承包商进行补救,承包商承担部分补救成本而向承包商进行的一次惩罚,惩罚的金额归业主所有,当c_R(α_Q)=0时,金额为p(α¹_C)β_Qc_R(α¹_C). 业主对工程变更部分绩效进行监督检查需要付出一定成本,假设检验成本为c_T(p). 这样对业主来讲,其在工程变更绩效部分的检验产生一个虚拟收益N(p)=p(α¹_C)β_Qc_R(α¹_C)-c_T(p).

虚拟收益的一阶最优化条件为

N'(p)=β_Qc_R(α¹_C)-c_T'(p), 即

β_Qc_R(α¹_C)=c_T'(p).

当承包商在工程变更部分不达标时所花费的补救成本与业主花费在检验上的边际成本相同时,虚拟收益达到最优.

根据承包商在工程变更部分的补救成本特性,随着承包商在工程变更部分的努力程度提升补救成本降低,即(dc_R(α¹_C))/(dα¹_C)<0, 有β_Q(dc_R(α¹_C))/(dα¹_C)<0.

上述分析表明:

1)工程变更部分的检验行为是项目双方在工程变更过程中的一个博弈行为,承包商在工程变更部分补救成本方面承担越多,体现为β_Qc_R(α¹_C)越大,业主需要提高检验手段而花费的边际成本越高,体现为c_T'(p)越大.

2)由于β_Qc_R(α¹_C)=c_T'(p)且β_Q(dc_R(α¹_C))/(dα¹_C)<0, 所以业主花费在对工程变更绩效部分的检验手段改进方面的边际成本,随承包商在工程变更部分的努力程度提升而降低,也就是说,当承包商在工程变更部分提高其努力水平时,业主在检验手段的任何方面做出改进均会带来更好的检验效果.

3)从提高变更部分绩效水平的角度上,采取惩罚方式所产生的成本远大于采用奖励的方式,业主需要检查手段与激励手段配合使用.