作者简介:毛北行(1976—),男,郑州航空工业管理学院副教授. 研究方向:复杂网络与混沌同步. E-mail: bxmao329@163.com
中文责编:方 圆; 英文责编:木 南
Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015, Henan Province, P.R.China
fractional order systems; finite-time; chaos synchronization; complex network; error system; control
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2016.01096
研究一类分数阶复杂网络系统的有限时间混沌同步问题,基于Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分的相关理论,给出控制律的设计,得到了系统取得有限时间同步的充分条件,估算了系统取得同步所需的时间.研究结果表明,一定条件下分数阶复杂网络混沌系统是有限时间同步的,仿真结果验证了方法的可行性.
Based on the Lyapunov stability theory and fractional order system theory, we investigate the finite-time chaos synchronization problem of a class of fractional order complex network systems, propose a control law and the sufficient conditions for the synchronization of systems, and estimate the time for the synchronization of systems. It is shown that the fractional order complex network systems are finite-time synchronized under a certain condition. Numerical simulations are performed to verify the effectiveness of the proposed method.
自Pecora提出驱动—响应同步方法以来,混沌控制与混沌同步及其应用已逐渐成为研究热点[1-5].在实际应用中,有时希望同步过程在有限时间内完成,达到所谓“有限时间同步”[6-8].采用不同的控制方法可达到混沌系统的有限时间同步.文献[9]研究Lurie混沌系统的有限时间同步,给出系统实现快速同步的充分条件; 文献[10]研究一类分数阶不确定系统的有限时间鲁棒混沌同步,给出控制律的设计和实现快速同步的条件.本文研究一类分数阶复杂网络系统的有限时间混沌同步问题,基于Lyapunov稳定性理论及分数阶微积分的相关理论,给出实现有限时间同步的充分条件,仿真结果验证该方法是可行的.
定义1[11] Caputo分数阶导数定义为
cDαt0,t=D-(n-α)t0,t(dn)/(dtn)x(t)=
1/(Γ(n-α))∫t0t(t-τ)n-α-1x(n)(τ)dτ,
n-1<α<n∈Z+
其中,cDαt0,t中的左下标c是Caputo的缩写,表示Caputo微分算子; 右下标t0和t分别表示下界和上界; 右上标α表示分数阶微分的阶数; 同理式中D-(n-α)t0,t, n-α表示分数阶微分的阶数, n∈Z+; Γ(·)表示伽玛函数.
考虑如下分数阶复杂网络系统
Dαxi(t)=f(xi(t))+∑Nj=1cijAxj(t)(1)
其中, i表示系统节点, 1≤i≤N, N为网络的节点连接个数; j表示系统连接节点; f(·)是连续可微的非线性函数; xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈Rn是节点i的状态变量; xi1(t),xi2(t),…,xin(t)是状态变量 xi(t)的各个分量, n为状态变量的维数; C=(cij)N×N为N×N阶的耦合配置矩阵, cij为耦合配置矩阵的耦合矩阵元素; A为内部耦合矩阵,反映了网络的拓扑结构和节点的耦合强度.
以系统(1)作为驱动系统,设计响应系统为
Dαyi(t)=f(yi(t))+
∑Nj=1cijAyj(t)+ui(t)(2)
其中, yi和yj为响应系统状态变量; ui(t)为控制器.
定义系统误差ei(t)=yi(t)-xi(t), 上述两式相减得误差系统方程为
Dαei(t)=f(yi)-f(xi)+
∑Nj=1cijAej(t)+ui(t)(3)
定义2 考虑复杂网络混沌系统(3),若存在一个正常数T=T(ei(0)), 满足limt→T=ei(t)==0, 则分数阶复杂网络系统(3)实现了有限时间混沌同步.
引理1[12] xi∈R, i=1,2,…,n, 0<n≤1为实数,则不等式(∑ni=1|xi|)n≤∑ni=1(|xi|)n成立.
定理1 选取控制器ui(t)=f(xi(t))-f(yi(t))-∑Nj=1cijAej(t)-Dα-1[kiei(t)+li|ei(t)|μ sign(ei(t))], 其中, ki、 li和μ均为常数,则系统(1)的状态轨线将在有限时间T内收敛到原点,
T≤1/(ρ(1-μ))ln((ρ=e(0)=1-μ1+v)/v).
【证】 选取Lyapunov函数V(t)==e(0)=1, 沿系统轨线(3)求导得
V ·=∑Ni=1sign(eiT(t))e·i(t)=
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α[Dαei(t)]=
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α[f(yi)-f(xi)+
∑Nj=1cijAej(t)+ui(t)]≤
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α{-Dα-1[kiei(t)+
li|ei(t)|μsign(ei(t))]}≤
-(∑Ni=1ki|ei(t)|+∑Ni=1li|ei(t)|μ)
根据引理1得
V ·≤-(ρ∑Ni=1|ei(t)|+v(∑Ni=1|ei(t)|)μ)=
-ρ=e(t)=1-v=e(t)=μ1≤
-ρ=e(t)=1(4)
其中, ρ=min{ki(i=1,2,…,n)}, v=min{li(i=1,2,…,n)}.
根据不等式(4)得
V ·(t)=(d=e(t)=1)/(dt)≤-ρ=e(t)=1-v=e(t)=μ1
因此
dt≤(d=e(t)=1)/(ρ=e(t)=1+v=e(t)=μ1)=
-(=e(t)=-μ1·d=e(t)=1)/(ρ=e(t)=1-μ1+v)=
-1/(1-μ)·(d=e(t)=1-μ1)/(ρ=e(t)=1-μ1+v)(5)
对式(5)两边从0到T积分, e(T)=0, T=max{ti(i=1,2,…,n)}, 得
T≤-1/(1-μ)∫e(0)e(T)(d=e(t)=1-μ1)/(ρ=e(t)=1-μ1+v)=
-1/(ρ(1-μ))ln[ρ=e(t)=1-μ1+v]|e(T)e(0)=
-1/(ρ(1-μ))ln((ρ=e(0)=1-μ1+v)/v).
考虑如下分数阶不确定复杂网络系统
Dαxi(t)=f(xi(t))+Δf(xi(t))+
∑Nj=1cijAxj(t)(6)
其中, Δf(xi(t))表示来自驱动系统的不确定项.
以系统(5)作为驱动系统,设计响应系统
Dαyi(t)=f(yi(t))+Δf(yi(t))+
∑Nj=1cijAyj(t)+ui(t)(7)
其中, Δf(yi(t))表示来自响应系统的不确定项.
定义系统误差ei=yi-xi, 则得到误差系统为
Dαei(t)=f(yi)-f(xi)+Δf(yi)-Δf(xi)+
∑Nj=1cijAej(t)+ui(t)(8)
假设1 不确定项Δf(·)满足条件: =D1-α[Δf(yi)-Δf(xi)]=≤γ, γ为大于0的常数.
定理2 选取系统的控制器为
ui(t)=f(xi)-f(yi)-∑Nj=1cijAej(t)-
Dα-1[kiei(t)+(γ+
li|ei(t)|μ)sign(ei(t))]
则系统(8)的状态轨线将在有限时间内收敛到原点, T≤1/(ρ(1-μ))ln((ρ=e(0)=1-μ1+v)/v).
【证】选取Lyapunov函数V(t)==e(t)=1, 沿系统轨线(8)求导得
V ·=∑Ni=1sign(eiT(t))e·i(t)=
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α[Dαei(t)]=
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α[f(yi)-f(xi)+
Δf(yi(t))-Δf(xi(t))+
∑Nj=1cijAej(t)+ui(t)]≤
∑Ni=1sign(eiT(t))D1-α{-Dα-1[kiei(t)+
(γ+li|ei(t)|μ)sign(ei(t))]}+γ≤
-(∑Ni=1ki|ei(t)|+∑Ni=1li|ei(t)|μ)
根据引理1得
V ·≤-(ρ∑Ni=1|ei(t)|+v(∑Ni=1|ei(t)|)μ)=
-ρ=e(t)=1-v=e(t)=μ1≤-ρ=e(t)=1
以下证明同定理1,在此从略.
为方便,取含3个节点的网络进行仿真.
Dαxi(t)=f(xi(t))+∑3j=1cijAXj(t),
f(x)=[0
-x1x3
x1x2]
C=(cij)3×3=[-10 10 0
28 1 0
0 0 -8/3], A=I3×3
选取分数阶Lorenz系统为例,驱动系统描述为
Dαtx1=a(x2-x1)
Dαtx2=bx1-x1x3-x2
Dαtx3=x1x2-cx3
响应系统设计为
Dαty1=a(y2-y1)+u1(t)
Dαty2=by1-y1y3-y2+u2(t)
Dαty3=y1y2-cy3+u3(t)
误差系统为
Dαte1(t)=a(e2(t)-e1(t))+u1(t)
Dαte2(t)=be1(t)-y1y3+x1x2-e2(t)+u2(t)
Dαte3(t)=y1y2-x1x2-ce3(t)+u3(t)
其中, a、b和c为系统参数.当α=0.93, a=10, b=28, c=8/3时系统处于混沌状态. 为了方便,取含3个节点的网络进行仿真.
定理1中选取控制器
ui(t)=f(xi(t))-f(yi(t))-∑Nj=1cijAej(t)-
Dα-1[kiei(t)+li|ei(t)|μsign(ei(t))]
其中, A=I3; li=1; ki=1; γ=0.5; μ=0.95. 系统初始值(x1(0), x2(0), x3(0))=(1,2,-1), 选取步长为0.01 s,所得误差曲线如图1.可见,当T>0.043 s后,系统取得同步.
定理2以下述系统为例:
Dαtx1=a(x2-x1)+Δf1
Dαtx2=bx1-x1x3-x2+Δf2
Dαtx3=x1x2-cx3+Δf3
Dαty1=a(y2-y1)+Δf1+u1(t)
Dαty2=by1-y1y3-y2+Δf2+u2(t)
Dαty3=y1y2-cy3+Δf3+u3(t)
其误差系统为
Dαte1(t)=a(e2(t)-e1(t))+Δf(y1)-
Δf(x1)+u1(t)
Dαte2(t)=be1(t)-y1y3+x1x3-e2(t)+
Δf2(y2)-Δf2(x2)+u2(t)
Dαte3(t)=y1y2-x1x2-ce3(t)+
Δf3(y3)-Δf3(x3)+u3(t)
其中, Δf1=-0.1sin(4t)x1; Δf2=0.1sin(3t)x2;
Δf3=0.15sin(t)x3;
ui(t)=f(xi)-f(yi)-∑Nj=1cijAej(t)-Dα-1[kiei(t)+
(γ+li|ei(t)|μ)sign(ei(t))];
A=I3; li=1; ki=1; γ=0.5; μ=0.95. 系统初始值(x1(0), x2(0), x3(0))=(1,1,-1), 选取步长为0.01 s,误差曲线如图2.可见,当T>0.046 s后,系统取得同步.
增加结点的数量,当N=6时,系统误差曲线如图3.可见,当T>0.056 s以后,系统取得同步,表明随着结点的增加,要求系统取得同步所需时间更长.
以下考虑系统有不同结点情形,以N=3为例,单个结点为分数阶Liu系统:
Dαy1=-y1-y22
Dαy2=2.5y2-4y1y3
Dαy3=-5y3+4y1y2
网络节点为分数阶Chen系统:
Dαx1=35(x2-x1)
Dαx2=-7x1-x1x2+28x2
Dαx3=-3x3+x1x2
其系统误差曲线如图4.可见,当T>0.056 s后,系统取得同步.
以下考虑不同的Lyapunov函数选取对同步时间的影响.如果系统的Lyapunov函数取为V(t)=1/2∑Ni=1eiT(t)ei(t), 在同一误差精度范围,选取步长为0.01 s,以定理1系统N=3为例,系统误差曲线如图5.可见,当T>0.018 s时,系统取得同步,所需同步时间小于定理1中Lypapunov函数选取为V(t)=|e(t)|时取得同步所需时间.
基于Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分的相关理论,研究一类分数阶复杂网络系统的有限时间混沌同步问题,给出控制器的设计,并估计系统取得同步所需的时间,使系统能够在有限时间内实现快速同步.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
主 管 深圳大学
主 办 深圳大学
编辑出版 深圳大学学报理工版编辑部
主 编 阮双琛
国内发行 深圳市邮电局
国外发行 中国国际图书贸易集团有限公司(北京399信箱)
地 址 北京东黄城根北街16号
邮 编 100717
电 话 0755-26732266
0755-26538306
Email journal@szu.edu.cn
标准刊号 ISSN 1000-2618
CN 44-1401/N