小波神经网络是以小波基函数替代隐含层节点的传递函数,线性函数作为输出层节点的传递函数,信号前向且传播误差反向传播的3层前馈神经网络.小波分析与神经网络的结合途径主要有松散型和紧致型,前者为小波变换与常规神经网络的结合, 后者为小波分解与前馈神经网络的融合, 是目前广泛应用的一种结构形式^[11-12].本研究采用紧致型结合的小波神经网络模型进行加工番茄的产量预测.小波神经网络结构如图1.

图1 小波神经网络结构
Fig.1 Structure of WNN

图1中,x=[x₁,x₂,…,x_i]^T为输入层输入样本; g(x)=[g₁(x),g₂(x),…,g_h(x)]^T为母小波函数,需满足容许条件^[13],即

∫_R(|(^overg)_x|²/x)dx<∞(1)

其中,(^overg)_x为g_x的Fourier变换.

由母小波函数g_x的伸缩和平移产生小波函数基为

g_a,b(x)=1/((-overa))g((x-b)/a)(2)

其中, a和b分别为尺度因子和平移因子.

本研究采用的Morlet母小波基函数为

y=cos(1.75x)exp(-x²/2)(3)

其中, x为Morlet母小波基函数的自变量; y为Morlet母小波基函数的函数值.

y_h=∑^h_j=1ω_kj g(∑^I_i=1ω_jix_i-b_j/a_j)(4)

这里, y_h为小波神经网络的输出, x_i(i=1,2,…,I)为输入层第i个结点的输入; y_h(i=1,2,…,h)为输出层第h个结点的输出; ω_ij为输入层到隐含层的输入权值; ω_jk为隐含层到输出层的输出权值; a_j和b_j为第j个隐层结点的尺度因子和平移因子.

网络学习算法^[14]为

1)输入P个训练样本x及相应的期望输出d.

2)网络参数初始化, ω_ij、 ω_jk、 a_ij和b_ij取随机初始值,设置网络的学习速率η、 动量系数μ和最大容许误差ε.

3)训练网络.取一个输入样本利用初始化的网络参数计算网络的预测输出y_h, 即式(2).

4)根据式(3)计算网络的预测误差e, 判断e是否小于容许误差ε. 若满足,转至6); 否则,转至5).

e=1/2∑^h_k=1[y_j(k)-y(k)]²(5)

其中,y_j(k)为期望输出; y(k)为预测输出.

5)权值修正.判断是否达到最大迭代次数,若达到转至6); 否则,根据梯度下降法调整网络的参数,如式(6)至式(9).

输入层到隐含层权值调整为

ω^N+1_ij=ω^N_ij-η(e)/(ω^N_ij)+μ(ω^N_ij-ω^N-1_ij)(6)

隐含层到输出层权值调整为

a^N+1_ij=a^N_ij-η(e)/(a^N_ij)+μ(a^N_ij-a^N-1_ij)(7)

伸缩因子调整为

ω^N+1_jk=ω^N_jk-η(e)/(ω^N_jk)+μ(ω^N_jk-ω^N-1_jk)(8)

平移因子调整为

b^N+1_ij=b^N_ij-η(e)/(b^N_ij)+μ(b^N_ij-b^N-1_ij)(9)

6)判断是否学完所有的训练样本,若是,则算法结束; 否则,转至2).

小波神经网络引入了伸缩因子和平移因子,因此具有比小波分解更多的自由度,从而使其具有更灵活有效的函数逼近能力和较强的容错能力.

本研究以某番茄基地的历史数据(田间管理信息及产量)为例,构建加工番茄产量预测模型.田间管理信息及产量数据如表1.

表1 田间管理信息及产量数据
Table 1 Field management information and production data

首先选择2005—2010年的数据进行网络训练,将 2011—2013年的数据用来考察小波神经网络的i=1,2,…实际预测效果.为提高模型的预测精度,采用线性化处理方法对输入数据进行归一化处理,其变换关系式为

x_i'=(x_i-min(x))/(max(x)-min(x))(10)

通过式(10)将输入值归一化为(0,1)之间的数,减少了识别数据的动态范围,以提高预测成功的可能性.

加工番茄产量是通过生长发育阶段逐渐积累形成的,在积累过程中,同时受到光照、温度和降水等环境因素,以及施肥和灌水等人工管理因素的影响.因此,要建立更准确的模型,需综合考虑影响加工番茄产量的多种影响因素,以时间为尺度建立番茄产量预测模型.根据番茄产量受不同因素的影响程度,以及自变量要易于量化和具有代表性的要求,确定温度、灌水量、氮肥投入量、钾肥投入量和磷肥投入量为网络的5个输入节点,加工番茄产量为输出节点.

确定隐含层节点数的基本原则是在满足精度要求的前提下取尽可能紧凑的结构,即取尽可能少的隐含层节点,常用方法是依据经验式(11)来确定隐层节点数为

n=(M+N)/2(11)

其中, M为输入层节点数; N为输出层节点数.为找到最佳隐层节点数,选取不同的节点对网络进行训练,分析结果如表2.

表2 隐层节点数不同时小波神经网络的预测误差1)
Table 2 The prediction errors of the WNN with different hidden nodes1)

由表2可见,当隐层节点数为10时,预测误差最小为0.235%,由此可确定网络结构为5-10-1型.网络初始化后对网络进行训练,结果如图2.

图2 小波神经网络预测效果
Fig.2 The prediction effects of WNN

从图2可见,训练后的目标序列和实际输出序列一开始有偏差,经不断训练,最后接近一致,拟合效果较好.

为验证模型的预测效果,同时采用BP神经网络模型和灰色预测模型进行预测.3种模型预测效果的对比分析如表3.

表3 预测效果分析1)
Table 3 The analysis of the prediction effects1)

从表3可见,采用3种模型的预测结果与实际值都存在一定的误差.灰色预测模型和BP神经网络的最大相对误差均大于1%,显然不符合预测精度要求; 小波神经网络的最大相对误差仅为0.23%,满足预测精度要求.且小神经网络的收敛速度明显优于灰色预测模型和BP神经网络.可见,通过将小波分析和神经网络进行结合构造出的小波神经网络具有收敛速度快、预测精度较高的特点,适用于预测加工番茄产量,可为产业决策提供支持.