作者简介:牛 青(1990—),女(汉族),山西省忻州市人,山西大学硕士研究生.E-mail:yuxuehancheng@163.com
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山西大学理论物理研究所,太原 030006
Niu Qing, Li Yan, and Li WeidongInstitute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, P.R.China
condensed matter physics; Mach-Zehnder interferometer; Monte-Carlo algorithm; the method of moments; phase; particle number difference; Gaussian distribution
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2015.03306
利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)方法对一端输入相干态,另一端输入真空态的马赫-曾德尔(Mach-Zehnder)干涉仪的位相测量误差进行了研究.通过分析粒子数差的测量结果,验证该测量方法所测得的位相值的误差依赖于待测位相θ: 当θ靠近0或π时,测量误差较大,当θ靠近0.5π时,可达到测量误差的最小极限(散粒噪声极限).理论分析发现,待测位相与测量结果之间的函数关系f-1的非线性导致位相的估计出现偏差.
Using the Monte-Carlo algorithm, we investigate the phase measurement error of the Mach-Zehnder interferometer with a coherent state in one input port and a vacuum state in the other input port. By analyzing the phase measurements based on the difference of particle numbers, we find that the phase accuracy of the Mach-Zehnder interferometer is dependent on the measured phase θ. The minimum limit on measurement accuracy(the shot noise limit)is obtained when θ is around 0.5π, while the measurement error is larger for θ close to 0 or π. Through theoretical analysis, we find that the result is caused by the non-linearity of the function f-1, which is a function between the phase to be measured and the measurement to be estimated.
马赫-曾德尔(Mach-Zehnder,MZ)干涉仪是一种被广泛应用的,通过光子、原子和电子来测量位相的方案[1- 4].早在20世纪80年代,Yurke等[4]就指出利用非经典光的特性可使位相测量的误差大大降低,超越散粒噪声极限(shot-noise limit)[1,5]而达到海森堡量子极限(Heisenberg limit)[6-9].随着对零误差测量的追求,人们发现了越来越多有趣的现象,比如对重力加速度的测量.科学家发现,通过对某地重力加速度的测量就可以分析得到该地的地理情况,也有人预测随着测量误差的不断降低,在不久的将来,我们可以通过分析重力加速度预测地震,这将为我们的生活带来极大的益处,也使得对零误差测量的研究更加重要.近年来,有学者利用相干态和压缩态[10-12]作为输入态,对该理论进行了大量的实验研究.在大多数的测量中,位相信息是通过测量输出端的粒子数差获取的.由于该测量方案未包含所有有效的系统信息[4,13],所以测量所得位相的测量误差与待测的位相值存在依赖关系.
本研究利用Monte-Carlo(M-C)[14]方法对输入态为相干态和真空态的MZ干涉仪[1-2,6]的位相测量进行理论研究.结果表明,位相测量误差与待测位相值之间存在依赖关系,在0.5π时,测量误差可降低到散粒噪声极限,而在0和π时,测量误差较大,测量存在偏差.该结论与文献[13]结论一致.进一步对造成上述现象的原因进行理论分析,结果表明,待测位相与测量结果之间的非线性函数关系f-1导致了位相估计在0和π处出现偏差.
矩估计(method of moments)[13,15]是量子干涉仪相关研究中常用的估算理论,因其不像贝叶斯分析(Bayesian analysis)[13]和最大似然估计(maximum likelihood strategy)[13,16-17]那样依赖于对似然函数(likelihood function)的分析而被广泛采用.该方法假定待测位相θ和算符M ^的测量值之间存在一一对应关系(为简单起见,只考虑一阶矩,即算符的平均值〈M ^〉).
假定通过p次相互独立的测量,得到测量值k1,k2,…,kp, 其中, ki是第i次测量时M ^的本征值.由此可得M ^测量值的平均值为
Ap=1/p∑pi=1ki(1)
相应的方差为
Vp=1/(p-1)∑pi=1(ki-Ap)2(2)
由式(1)和式(2)可知,当p→∞时, Ap→〈M ^〉, Vp→(ΔM ^)2. 其中,(ΔM ^)为M ^的测量值的标准差;(ΔM ^)2为M ^的测量值的方差; 〈M ^〉为M ^的测量值的平均值.
若〈M ^〉和待测位相θ满足单调函数关系
〈M ^〉=f(θ)(3)
则运用此关系可求得待测位相θ,即利用无穷次独立测量(p→∞),并得到〈M ^〉, 再利用式(3)的反函数θ=f-1(Ap)获得待测位相的测量值.若所获测量值与待测位相相等,则该测量为无偏差测量.尽管人们希望由此获得的测量为无偏差测量,但在实际操作中,测量次数有限,只能由式(3),利用f(θ)的单调性得到测量值
Θest= f-1(Ap)(4)
此时,测量值Θest为具有P(Θest|θ)分布的随机值.其中, P(Θest|θ)由式(3)所得的P(Ap|θ)与式(4)的对应关系得到.这里, P(Ap|θ)是以〈M ^〉为中心,(ΔM ^)2/p为方差的分布函数.
需要注意的是,反函数f-1对上述中心分布的影响为:若f-1为非线性函数,则可能导致P(Θest|θ)不是以待测位相θ为中心,此时的测量为偏差测量.在下面的MZ干涉仪实验中,可看到f-1的非线性在无偏差测量中的作用.
式(1)中的Ap在θ处的展开为
Ap=〈M ^〉+(〈M ^〉)/(θ)|θΔθ(5)
式(5)中的求导是对待测位相θ进行的.同时, Ap又可表示为
Ap=〈M ^〉±(ΔM ^)/(p1/2)(6)
联立式(5)和式(6),得矩估计的测量误差为[18]
Δθ=(ΔM ^)/(|p1/2(〈M ^〉)/(θ)|θ|)(7)
考虑如图1所示的MZ干涉仪[13],其中,a端的输入态为相干态|α〉,b端为真空态|0〉.输入态经过50/50的分束器后,分成2部分,并分别沿不同路径传输,两路径之间存在位相差θ, 即为待测位相,再经第2个50/50的分束器后由输出端c和d输出.实验目的是通过测量输出端口c和d的光子数差(Nc-Nd)估计待测位相θ, 此时M ^=N ^c-N ^d. 经过计算可知,在输出端口测到的粒子数差平均值为
〈M ^〉=〈N ^c-N ^d〉=(-overn)cos θ(8)
系统的分布函数为[9]
P(Nc, Nd|θ)=
(e-(-overn)(-overn)Nc+Nd)/(Nc!Nd!)(sinθ/2)2Nd(cosθ/2)2Nc(9)
图1 马赫-曾德尔干涉仪的原理图,在a端输入相干态|α〉,b端输入真空态|0〉
Fig.1 The schematic of a Mach-Zehnder interferometer, where a coherent state |α〉 is input to the port a and a vacuum state |0〉 is input to the port b
其中,(-overn)=|α|2为输入相干态的平均粒子数.
上述系统在经过p次独立测量后,得到一系列的N(k)c和N(k)d, 其中k=1,2,…, p.
由式(1)至式(4)及式(8)可知,利用MZ干涉仪得到的位相估计值为[13,15,19-20]
Θest=arccos((Ap)/((-overn)))(10)
其中,Ap=∑pk=1(N(k)c-N(k)d)/p, 是p次独立的测量后输出端口c和d的粒子数差的平均值.进而由式(7)和式(8),可得测量位相Θest的不确定度为[9]
ΔΘest=1/((p(-overn))1/2sin θ)(11)
对于p→∞次测量而言,满足式(11)的无偏差分布函数可写为
P(Θest|θ)=((p(-overn))/(2π))1/2e-(p(-overn)(Θest-θ)2sin2θ)/2sin θ(12)
即式(12)是以待测位相θ为中心, ΔΘest为标准差的高斯分布.因为式(12)为分布函数,所以θ的取值范围为[0,π].同时,由式(11)可得,当θ=0.5π时,可得到一个最佳估计的ΔΘest, 即散粒噪声极限; 而在其他位置的ΔΘest值都比0.5π时的大,尤其当靠近θ=0,π时, ΔΘest会变得发散.
利用M-C数值模拟技术,给定待测角θ和平均粒子数(-overn)(在下面的计算中取(-overn)=1), 获得满足式(9)分布的一组Nc和Nd, 重复p次该过程,得到Ap, 并利用式(10)得到估计值Θest.
重复上述过程N次,获得一组关于待测θ的测量值Θest, 其满足分布函数P(Θest|θ),标准差为ΔΘest. 图2(a)给出了(θ-〈Θest〉)/π的值随待测位相θ/π的变化关系.由图2(a)可见,随着p的增大,位相在0.1π~0.9π达到无偏差测量结果,即θ-〈Θest〉→0; 而在靠近θ=0, θ=π处,位相仍然存在明显偏差.图2(b)给出了ΔΘestp1/2的值随待测位相θ/π的变化关系,实曲线由式(11)给出,其他曲线是利用数值模拟获得的结果.同样随着p的增加,模拟结果逐渐趋于式(11)的结果,但在θ=0, θ=π时,数值与式(11)偏差明显.综上可见,边缘处出现的偏差,是由函数f-1的非线性导致.
图2 M-C模拟MZ干涉仪实验得到的数据的矩估计分析
Fig.2 (Color online)The moment analysis obtained by M-C numerical simulation of the MZ interferometer
图3 P(Θest|θ)与在给定位相θ的分布图
Fig.3 (Color online)The distribution of P(Θest|θ)with the given phase shift θ
为进一步分析产生偏差的原因,将得到的分布函数P(Θest|θ)画在图3中.给定的待测位相θ, 由竖直的实线表示.与图2一样,不同的独立测量次数p得到的结果由不同线型给出,相应的实线为式(12)在不同p次下的理想分布.图3中,3个小图分别对应待测θ值为0.02π、0.5π和0.98π时的P(Θest|θ)分布曲线.图3(b)给出无偏差测量范围内(对应图2中0.4π~0.8π)的结果,测量所得统计分布与无偏曲线式(12)一致.在图3(a)和(c)中,独立测量的结果与无偏结果差别明显.尽管随着测量次数的增加,其中心值趋向于待测位相值,但若待测位相非常接近0或π时,其误差较大(见图2(b)).因此,可认定,利用粒子数差提取位相的方法,在0或π时变得不准确,此时,位相测量实际上为偏差测量,出现该现象可能是因在该区域f-1(Ap)为非线性函数,这可由式(10)在Ap为小量时的展开得到.
为了表达简单,令(Ap)/((-overn))=x, 式(10)在x0处的展开式为
Θest=arccos(x0)-((x-x0))/((1-x20)1/2)-((x-x0)2)/(2!(1-x20)3/2)-
((x-x0)3)/(3!)[(3x2)/((1-x20)5/2)+1/((1-x20)3/2)]+
O(x3)(13)
由式(13)可知,式(10)在x0≠±1处的展开是发散的,也就是说,当待测位相等于0或π时,f-1(Ap)表现出很强的非线性.但当x0=0时,即待测位相为π/2时,式(10)的展开式为
Θest=(π)/2-x-(x3)/6-(3x5)/(40)+O(x7)(14)
即当待测位相等于π/2时,略去(14)式中x高阶项后, f-1(Ap)是线性的.
研究输入态为相干态和真空态的MZ干涉仪位相测量系统的误差,利用M-C方法对其输出态的结果进行了数值模拟,通过分析模拟数据所提取的位相信息,验证了位相测量误差与待测位相的依赖关系,得到与式(11)一致的结果.
对比测量得到的分布函数与无偏差测量,发现在0或π处出现偏差的原因是由于此时测量为有偏差测量,深层的原因由f-1在该区域的非线性导致.而对于一般的输入态能否得到无偏差测量就需要分析其对应的函数f-1的性质,若f-1为线性函数,则测量为无偏差测量; 反之,为偏差测量.该理论分析可为寻找简单的与待测角无关的测量提供借鉴.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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