时滞分数阶金融系统在第1节中的阶次值和时滞量下处于混沌状态,通过对该时滞分数阶金融系统施加单一滑模控制,可使2个从不同初值出发的金融混沌系统实现混沌同步,同步控制方案如下.

设驱动系统的状态变量为x₁, y₁, z₁, 响应系统的状态变量为x₂, y₂, z₂, 给如式(1)的驱动系统加上控制器,得到响应系统为

Dα1tx2(t)=z2+[y2(t-τ)-a]x2+u

Dα2ty2(t)=1-by2(t)-[x2(t-τ)]2

Dα3tz2(t)=-x2(t-τ)-cz2}(2)

其中, u为单一滑模控制器.定义该系统的自同步误差为

e=m-n(3)

其中,n=[x₁, y₁, z₁]; m=[x₂, y₂, z₂]; e=[e₁, e₂, e₃].则由同步误差定义可得

Dα1te1(t)=e3+e2(t-τ)-ae1+u

Dα2te2(t)=-be2(t)-[x1(t-τ)+

x₂(t-τ)]e₁(t-τ)

Dα3te3(t)=-e1(t-τ)-ce3}(4)

至此,时滞分数阶金融系统的同步问题已转换为:通过设计恰当的单一滑模控制器u, 使同步误差式(4)满足

lim_t→∞=e==lim_t→∞=m-n==0(5)

为使式(4)能够渐近稳定到0,给出形如式(11)的控制器设计方法,首先构造滑模面为

s=Dα2-1te1(t)+∫ t0ae1(τ)dτ(6)

对式(6)求导,得

(·overs)=Dα1te1(t)+ae1(t)(7)

在滑模控制中,滑模面和滑模运动规则需满足

s=0和(·overs)=0(8)

结合式(4)、式(7)和式(8)可得等效控制率为

u_eq=-e₃(t)+e₂(t-τ)(9)

又因本研究设计的不连续切换率为

u_r=ksgn(s)(10)

其中,k为小于0的常数.综合式(9)和式(10),可得完整的滑模控制器为

u=-e₃(t)+e₂(t-τ)+ ksgn(s)(11)

构造Lyapunov函数V=s²/2, 以此证明本研究设计的滑模控制器合理.

对V=s²/2求导,可得

V ·=s(·overs)=s[Dα1te1(t)+ae1(t)]=

s[e₃(t)-e₂(t-τ)-ae₁+u+ae₁]=

s[ksgn(s)]=k|s|≤0(12)

证毕.

上述论证说明,本研究设计的滑模控制器满足滑模到达条件,可使驱动系统和响应系统最终实现混沌同步.

为进一步验证控制方案的有效性,对该控制方案进行数值仿真.取步长h=0.01, 增益k=-1, 初值[x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂]为[-2, -3, -1, 1, 2, 3].仿真结果如图2和图3.从图2可见,滑模运动能够到达并停留在滑模面上,从图3可见,同步误差随时间演化逐渐收敛到0,仿真结果验证了该控制方法的有效性.

图2 滑模面随时间演化
Fig.2 The time evolution of sliding mode

图3 同步误差随时间演化
Fig.3 (Color online)The time evolution of synchronization errors

向响应系统引入外部扰动Δf(x, y, z, t), 并设置Δf(x,y,z,t)=0.8sin(πx)cos(πy)sin(πz)cos t, 应用第2.1节中的控制方案对存在扰动的响应系统进行同步控制.

加入控制器后的响应系统为

Dα1tx2(t)=z2+[y2(t-τ)-a]x2+

Δf(x, y, z, t)+u

Dα2ty2(t)=1-by2(t)-[x2(t-τ)]2

Dα3tz2(t)=-x2(t-τ)-cz2}(13)

从理论推导和数值仿真两个方面对同步控制器(11)的抗外部扰动能力进行分析.

由Δf(x,y,z,t)=0.8sin(πx)cos(πy)sin(πz)cos t可推导出,|Δf(x,y,z,t)|≤0.8.将响应系统(13)与驱动系统(1)构成的误差系统带入Lyapunov函数V=s²/2,并对其求导,得

V ^·=s(·overs)=s[Δf(x, y, z, t)+ksgn(s)]≤

(k+0.8)|s|≤0, k≤-0.8(14)

证毕.

以上理论推导表明,扰动后的误差系统符合Lyapunov稳定性理论,说明原同步控制方法依然有效,只在对增益k的取值要求不同.

数值仿真结果如图4.从图4可见,同步误差随时间演化逐渐收敛到0,说明本研究提出的控制方法具有良的抗扰动能力.

图4 同步误差随时间演化
Fig.4 (Color online)The time evolution of synchronization errors