作者简介:潘运亮(1981—),男(汉族),江苏省南京市人,空军工程大学讲师、博士. E-mail:panyunliang88@126.com
中文责编:方 圆; 英文责编:海 潮
Pan Yunliang and Du JunAeroautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi'an 710038, P.R.China
systematics; chaotic system; self-adaptive; output regulation; internal model; dynamic surface control
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2014.03307
针对一类严参数反馈形式混沌系统,研究含有未知参数向量的线性中性稳定外系统驱动下的输出调节问题.根据非线性系统输出调节问题可解的必要条件,将严参数反馈混沌系统的输出调节问题转化为镇定问题.在前n-1步递推中,通过采用动态面控制设计虚拟控制律,简化了控制律设计的复杂性; 第n步应用内模原理,结合自适应技术,设计输出调节控制器.应用Lyapunov稳定性理论,证明跟踪误差全局一致终结有界.仿真结果验证了控制方案的有效性.
For a class of strict-feedback chaotic systems driven by a linear and neutrally stable exosystem with unknown parameters, the output regulation problem is considered. Based on the necessary condition to solve the output regulation problems of nonlinear systems, the problem of strict-feedback chaotic systems can be transformed into a stabilization problem. The virtual controllers are designed by adapting dynamic surface technology at the former n-1 steps, which can largely decrease the complexities of the design progress. The output regulation controller is designed by using the internal model theory, coupling with bonding adaptive theory at the nth step. By applying the Lyapunov stability theorem, it is proved that all the signals in the closed-loop error system are uniformly and ultimately bounded. The simulation results turn out that the control strategy is effective for the problems involved.
由于混沌系统具有初值敏感和长期不可预测的特点,近20年来,混沌系统的跟踪和同步控制方面受到学界的广泛关注[1-4],其中,控制方案有微分几何法和反推控制法等.非线性系统输出调节问题一直是控制理论研究的一个热点问题,已取得大量研究成果[5-9],其特点是参考输入和扰动并不完全可知,且被当作外信号统一处理[5].通过采用反推控制,文献[5-9]研究几类不同形式非线性系统的输出调节问题.然而,有关混沌系统输出调节方面的研究文献比较少见.
本研究在文献[5]自适应内模设计基础上,针对严参数反馈混沌系统,在含有未知参数向量的中性稳定外系统驱动下的输出调节问题,以自适应内模和动态面控制为出发点,提出一种输出调节控制器设计方法.通过稳定性分析,证明该控制器的有效性.与文献[5]相比,本研究采用动态面技术,避免对虚拟控制律的微分,有效减小控制器的复杂性.与文献[6]相比,本研究有效结合动态面技术与自适应内模,能够处理含有未知参数向量的中性稳定外系统.
考虑如下的严参数反馈系统
{Z(·overx)i=xi+1+θTFi((-overx)i,t)+fi((-overx)i,t)
i=1,2,…,n-1
(·overx)n=fn(x, t)+θTFn(x, t)(1)
其中,(-overx)i=[x1,x2,…,xi]T, i=1,2,…,n为系统可测状态向量, x=(-overx)n; θ=[θ1,θ2,…,θp]T∈Rp为已知常参数向量; Fi和 fi为已知光滑非线性函数向量和已知光滑非线性函数.很多混沌系统都符合式(1)形式,或可通过微分同胚化为式(1)的严参数反馈形式,如Duffing振子、Van der pol方程、Rosser混沌系统以及几种不同形式的蔡氏电路.
在式(1)基础上,考虑如下不确定非线性系统
{Z(·overx)i=xi+1+θTFi((-overx)i,t)+fi((-overx)i,t)+
Di(w), i=1,2,…,n-1
(·overx)n=u+θTFn(x, t)+fn(x, t)+Dn(w)
y0=x1
e=y0-R(w)(2)
其中,u、 y0∈R为系统的输入和输出; R(w)和Di(w)为已知光滑的非线性函数,分别代表参考输入和非期望扰动; w∈ΩRm为外系统信号,且Ω为已知包含原点的任意紧致子集,由以下线性自治微分方程生成.
(·overw)=S(v)w(3)
其中,v为常参数向量; S(v)为矩阵.
假设1 外系统(3)是中性稳定的.
控制目标:在假设1成立条件下,设计状态反馈控制器u, 使系统(2)的输出y0跟踪参考输入R(w).
对于系统(2)和系统(3),存在一个全局定义解π=[π1,π2,…,πn]T∈Rn[6], 满足
{Zπ1(w)=R(w)
(·overπ)i=πi+1+θTFi((-overπ)i,t)+
fi((-overπ)i,t)+Di(w)
(·overπ)n=fn(π, t)+θTFn(π, t)+
α(w)+Dn(w)(4)
定义变换y=x-π,则
{Z(·overy)i=yi+1+θTF^i+f^i, i=1,2,…,n-1
(·overy)n=f^n+θTF^n+u-α(w)
e=y1(5)
其中,F^i=Fi((-overx)i,t)-Fi((-overπ)i,t); f^i=fi((-overx)i,t)-fi((-overπ)i,t), i=1,2,…,n.
假设2[5] 对任意常参数向量 v,存在正整数q和实数组a0(v),a1(v),…,aq-1(v), 使得等式
LqS(v)α(w)=a0α(w)+a1LS(v)α(w)+…+
aq-1La-1S(v)α(w)(6)
成立.其中, L为李导数算子.
在假设2条件下,具有输出α(w)的外系统可被浸入到可观测线性系统[8]
(·overτ)v(w)=ψ(v)τv(w)
α(w)=Γτv(w)}(7)
其中,ψ=[0 1 … 0
0 0 … 1
a0(v)a1(v)… aq-1(v)]; Γ=[1
0
0]T; τv(w)=[α(w), LS(v)α(w),…,Lq-1S(v)α(w)]T.
根据文献[5],外系统可被浸入到标准参数化内模系统
{Z(·overη)=(G+Hj)η
α=jη(8)
其中, G∈Rq×q为Hurwitz矩阵; H∈Rq, 且矩阵对(G,H)可控.
由式(7)可知,(ψ,Γ)可观测, 结合G与 ψ(v)具有不相交的频谱,因此,方程Tvψ(v)-GTv=HΓ仅有唯一非奇异解矩阵Tv, 令j=ΓT-1v, 根据确定性等价原则,若用 j^估计 j, 可选取内模
ξ·=(G+Hj^)ξ+i(·)(9)
其中,i(·)为设计函数.
本节采用动态面技术设计虚拟控制律,利用自适应内模控制策略设计输出调节控制律.
步骤1 令s1=y1. 根据式(5)选取虚拟控制律
α2c=-c1s1-θTF^1-f^1(10)
其中, c1为设计参数. 让α2c通过一个时间常数为τ2>0的1阶滤波器得到其估计值α2d
τ2(·overα)2d+α2d=α2c, α2d(0)=α2c(0)(11)
步骤 i(2≤i≤n-1)
令si=yi-αid, 选取虚拟控制律
α(i+1)c=(·overα)id-cisi-θTF^i-f^i(12)
其中,ci为设计参数.将α(i+1)c通过一个时间常数为τi+1>0的1阶滤波器得到其估计值α(i+1)d
τi+1(·overα)(i+1)d+α(i+1)d=α(i+1)c,
α(i+1)d(0)=α(i+1)c(0)(13)
步骤 n 令sn=yn-αnd, 设计参数自适应律为
j·/(^)=-μ(-snξT-γ1j^)(14)
其中,μ>0和γ1>0均为设计参数.
在式(9)中,选择i(·)=-Hcnsn-GHsn, 则
ξ·=Gξ-GHsn-Hcnsn+Hj^ξ(15)
其中,矩阵G满足GTQ+QG=-2kI, Q为正定对称矩阵, k>0为设计参数.
定义ζ=ξ-η-Hsn, 由式(8)和式(15)可得
ζ·=Gξ-GHsn-Hcnsn-(G+Hj)η-
H(f^n+θTF^n-j^ξ+u-(·overα)nd-α(w))=
Gζ-Hcnsn-H(f^n+θTF^n-j^ξ+u-(·overα)nd)(16)
设计控制律为
u=(·overα)nd+j^ξ-f^n-θTF^n-cnsn(17)
其中,cn>0为设计参数.将式(17)代入式(16),可得
ζ·=Gζ(18)
定义滤波误差
bj=αjd-αjc, j=2,…,n,(19)
对bj求导,可得b·j=-τ-1jbj-(·overα)jc. 从控制器设计过程可知, αjc是b2,b3,…,bj-1、 s1,s2,…,sj-1及w的函数,则(·overα)jc在其定义域内有界,设其界为|(·overα)jc|≤Mj[10], 其中, Mj为未知正常数.
定理1 对被控系统(2)和外系统(3),为其设计参数自适应律(14)、内模设计式(15)和控制律式(17),当假设1和假设2成立时,参数取值条件满足式(26),则可以保证输出y0稳定跟踪给定的参考输入R(w).
【证】由式(5)、(11)、(13)、(17)及(19),可得误差系统方程
{Z(·overs)i=-cisi+ss+1+bi+1, i=1,2,…,n-1
(·overs)n=-cnsn+j^ξ-jη(20)
选取Lyapunov函数为
V=1/2∑ni=1s2i+1/2∑ni=2b2i+1/2ζTQζ+1/(2μ)j~j~T(21)
其中, j~=j-j^. 对V求导,可得
V ·≤∑n-1i=1(-cis2i+sisi+1+sibi+1)-kζTζ+γ1j^j~T+
∑ni=2bi(-τ-1ibi-(·overα)ic)+sn(jζ+jHsn-cnsn)≤
γ1j^j~T+sn jζ-kζTζ-(cn-jH)s2n+
∑n-1i=1(-cis2i+s2i+(s2i+1)/2+(b2i+1)/2-(b2i+1)/(τi+1)+
(b2i+1)/(4δi)+M2i+1δi)(22)
其中, δ为未知正常数.注意到
γ1j~j^ T≤-(γ1)/2j~j~T+(γ1)/2=j=2(23)
sn jζ≤l2ζTζ+(=j=2)/(4l2)s2n(24)
综合式(22)—式(24),得
V ·≤∑n-1i=1[(s2i+s2i+1)/2-(ci-1/2)s2i]-(k-l2)ζTζ-
(γ1)/2j~j~T+(γ1)/2=j=2-(cn-(=j=2)/(4l2)-jH)s2n-
∑n-1i=1[(τ-1i+1-1/2-1/(4δi))b2i+1-δiM2i](25)
选取设计参数满足:
{Zc1≥(δn)/2+1, ci≥(δn)/2+3/2, i=2,…,n-1
cn≥(δn)/2+(= j=2)/(4l2)+1/2+jH, k-l2≥(δn)/2λmax(Q0)
μγ1≥δn, τ-1j≥1/2+1/(4δj-1)+(δn)/2, j=2,…,n(26)
其中,δn为已知正常数.则
V ·≤-δnV+δ(27)
其中, δ=(γ1)/2=j=2+∑n-1i=1δiM2i+1. 式(27)表明,当t→∞ 时, V(t)是全局一致最终有界的,即组成V(t)的信号s1全局一致最终有界,保证输出y0稳定地跟踪给定参考输入R(w). 证毕.
考虑如下的2阶系统
{Z(·overx)1=x2+w2
(·overx)2=θTF2(x, t)+f2-w2+u
y0=x1, e=y0-w1(28)
外系统为
{Z(·overw)1=w2
(·overw)2=-w1(29)
其中,u为输入; y0为输出; x=[x1,x2]T为系统状态; f2=x1/32cosx1/7; θ=[0.1,1.0,2.0]T为参数向量; F2(x, t)=[-x2, x1-x31,cos(0.5t)]T; w=[w1,w2]T为外系统信号状态; 是未知参数.当θ=[0.1,1.0,2.0]T且无外系统(29)作用时,系统(28)处于混沌状态.在外系统(29)作用于此混沌状态时,本节对在控制器(17)作用下的系统(28)进行仿真.仿真中,真实值 =1.系统(28)的调节器方程有解为
{Zπ1(w)=w1
π2(w)=(·overπ)1-w2(30)
令τ(w)=[α(w), LS()α(w)]T, 则外系统可浸入到如下可观测线性系统
(·overτ)(w)=[0 1
-2 0]τ(w)(31)
取G=[0 1
-2 -3], H=[0
1], 令k=2, 计得 G=[5 1
1 2/3]. 令 y=x-π(w), 得
{Z(·overy)1=y2
(·overy)2=f2(x)-f2(π)+θTF2(x,t)-
θTF2(π,t)+u-α(w),
e=y1(32)
取s1=y1, 设计1阶滤波器为
τ2(·overα)2d=-((·overα)2d+c1s1)(33)
由式(14)可得
{j^1=μ(-ξ1s2-γ1j^1)
j^2=μ(-ξ2s2-γ2j^2)(34)
其中, s2=x2-π2-α2d. 由式(15)可得内模设计为
{ξ·1=ξ2-s2
ξ·2=(j^1-2)ξ1+(j^2-3)ξ2+(3-c2)s2(35)
由式(17)得控制输入
u=(·overα)2d-c2s2+j^1ξ1+j^2ξ2-θ2(x1-
x31-π1+π31)+θ1(x2-π2)-
x1/32cosx1/7+π1/32cosπ1/7(36)
相关参数取值为π2=0.04、 c1=40、 c2=20、 γ1=0.001、 μ=10. 初始条件为(·overw)(0)=(1.0,0.4),(·overx)(0)=(0.98,0). 跟踪误差e、 输入u和估计值 j^, 如图1—图3.
由图1可见,针对系统(28),在具有自适应内模的动态面输出调节控制器作用下,跟踪误差迅速趋近零的邻域,之后稳定于零的邻域内.由图2可见,控制输入平稳变化.由图3所见,经过一段时间的演化,估计值 j^开始稳态变化因此,所提输出的调节控制有效,且可实现.
为解决含未知参数向量的线性中性稳定外系统驱动下的一类混沌系统的输出调节问题,本研究结合自适应内模控制和动态面技术,提出一种具有自适应内模的动态面输出调节控制器设计方法.仿真实例结果表明,跟踪误差迅速趋近并稳定于零的邻域,控制输入平滑变化.该输出调节控制器结构简单,计算量小,快捷有效.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
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