1.1 物理模型
根据分段压裂水平井的工艺特点,建立的物理模型如图1,假设条件为:①上下封闭无限大均质地层,不考虑重力作用的影响; ②水平井实施分段压裂,压裂后形成N条垂直裂缝,且对称分布于水平井筒两边,裂缝高度等于气藏厚度; ③水平井筒位于x轴上(趾端位于原点),将水平井筒从趾端到跟端分为N段,每段长度为d=L/N, 每段中点处有一条裂缝; ④地层为等温不稳定单相气体渗流,满足达西定律; ⑤流体沿裂缝壁面均匀流入裂缝,再经裂缝流入水平井筒,同时考虑流体由地层直接流入水平井筒的渗流过程.
图1 分段压裂水平井横向裂缝等分分布示意图
Fig.1 Schematic of transverse fractures of multi-fractured horizontal well equal diversion distribution
1.2 数学模型
将每条裂缝两翼分别分成n等份,水平井筒每一段分成M等份(M为偶数),每等份作为一个点汇进行研究.
1.2.1 水平井筒生产时地层中任意一点的压降计算
水平井筒第i段第j点汇的坐标为(xij, 0), 其中心坐标为
(xij, 0)=[(i-1+(2j-1)/(2M))L/N,0], j=1,2,…,M
根据气体不稳定渗流公式[13]及势的叠加原理,在t时刻第i段, M个点汇共同对地层中任意一点(x,y)产生的压降为
p2i-p2(x,y,t)=∑Mj=1(0.015 7qijscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(i-1+(2j-1)/(2M))L/N)2+y2)/(4ηt))](1)
其中,pi为原始地层压力(单位:MPa); p(x,y,t)为地层中任意一点(x,y)在t时刻的压力(单位:MPa); psc为地面标况下的压力,本研究取0.101 MPa; T为地层温度(单位:K); Tsc为地面标况下的温度,本研究取293.15 K; Z为气体偏差因子,量纲一; μ为气体黏度(单位:mPa·s); K为地层基质渗透率(单位:μm2); h为气藏厚度(单位:m); t为渗流时间(单位:d); L为水平井筒长度(单位:m); φ为地层孔隙度,量纲一; Ct为综合压缩系数(单位:MPa-1); η为地层导压系数(单位:μm2·MPa /(mPa·s)), η=K/(φμCt); qijsc为水平井筒第i段第j点汇在标况下的产量(单位:m3/d).
在t时刻,整个水平段共同对地层(x, y)点产生的总压降为
(p2i-p2(x,y,t))|水平段=∑Ni=1∑Mj=1(0.015 7qijscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(i-1+(2j-1)/(2M))L/N)2+y2)/(4ηt))](2)
1.2.2 裂缝生产时地层中任意一点的压降计算
以第j点汇的中心坐标表示第i条左翼裂缝上的第j个点汇的坐标为
(xlij, ylij)=((2i-1)/2L/N,(2n-2j+1)/(2n)Xfi), j=1,2,…,n. 其中, Xfi为第i条裂缝半长(单位: m).
同理,第i条右翼裂缝上的第j个点汇的坐标可表示为(xrij, yrij)=((2i-1)/2L/N,(2j-1)/(2n)Xfi).
由势的叠加原理,可得出N条裂缝同时生产时,地层中任意一点(x,y)在t时刻产生的总压降为
(p2i-p2(x,y,t))|N=∑Ni=1{∑nj=1(0.015 7qfiljscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(2i-1)/2L/N)2+(y+(2n-2j+1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
∑nj=1(0.015 7qfirjscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(2i-1)/2L/N)2+(y-(2j-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]}(3)
其中,qfiljsc和qfirjsc为第i条左右翼裂缝第j点汇的产量(单位:m3/d).
1.2.3 水平井筒和裂缝同时生产时地层中任意一点的压降计算
综合式(2)和式(3),压裂水平井中裂缝和水平段同时生产时,对地层中任意一点(x,y)在t时刻产生的总压降为
p2i-p2(x,y,t)=∑Ni=1{∑Mj=1(0.015 7qijscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(i-1+(2j-1)/(2M))L/N)2+y2)/(4ηt))]+
∑nj=1(0.015 7qfiljscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(2i-1)/2L/N)2+(y-(2n-2j+1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
∑nj=1(0.015 7qfirjscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-((x-(2i-1)/2L/N)2+(y-(2j-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]}(4)
由于人工裂缝的产生,使地层压力重新分布.左右两翼裂缝对称分布在水平井筒两侧,所以左右两翼裂缝尖端的压力相等,在此取右翼裂缝尖端的压力作为裂缝尖端压力pfi. 在t时刻第i条裂缝尖端产生的压降为
p2i-p2fi=∑Ns=1{∑Mt=1(0.015 7qstscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(s-1+(2t-1)/(2M))L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
∑nk=1(0.015 7qfslkscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(2s-1)/2L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi+(2n-2k+1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
∑nk=1(0.015 7qfsrkscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(2s-1)/2L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi-(2k-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]}(5)
根据面积相等原则,可将每条裂缝视为流动半径为R(R=(2Xfih/π)1/2), 地层厚度为w, 边界压力为裂缝尖端压力pfi, 井底流压为第i条裂缝流入水平井筒中点处的压力pwfi, 流动方式为平面径向流的微型气藏,则气体由裂缝向井筒的渗流过程[7]表示为
p2fi-p2wfi=(0.015 7qfiscpsc μZT)/(πKfwTsc)ln(((2Xfih/π)1/2)/(rw)+S)(6)
其中,qfisc为第i条裂缝在标况下的产量(单位:m3/d); Kf为裂缝渗透率(单位:μm2); w为裂缝宽度(单位:m); rw为水平井筒半径(单位:m); S为总的表皮系数,量纲一.
因为流体在水平井筒内的压力损失比基质中的小,所以可近似认为裂缝底部的压力与水平井筒内的压力相等[5],即pwfi=pwf. 将式(5)和式(6)联立,可得到流体由气藏或经第i条裂缝,或直接流入水平井筒的整个流动过程的计算式
p2fi-p2wf=∑Ns=1(∑Mt=1(0.015 7qstscpsc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(s-1+(2t-1)/(2M))L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
(∑nk=1(0.015 7(qfssc)/(2n)psc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(2s-1)/2L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi+(2n-2k+1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]+
∑nk=1(0.015 7(qfssc)/2psc μZT)/(2πKhTsc)[-Ei(-(((2i-1)/2L/N-(2s-1)/2L/N)2+((2n-1)/(2n)Xfi-(2k-1)/(2n)Xfi)2)/(4ηt))]))+
(0.015 7qfiscpsc μZT)/(πKfwTsc)(ln((2Xfih/π)1/2)/(rw)+S)(7)
裂缝和水平段同时生产时,分段压裂水平井产量为水平段产量和各条裂缝产量之和,即
Qsc=∑Ni=1∑Mj=1qijsc+∑Ni=1qfisc(8)
由此可得含有N+NM个未知数(N个qfisc, NM个qijsc), N+NM个方程(式7)的方程组,该方程组可封闭求解.
