作者简介:肖 南(1965-),男(汉族),江西省南康市人,浙江大学副教授、博士.E-mail:sholran@zju.edu.cn
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1)浙江大学建筑工程学院,杭州 310058; 2)中信建筑设计研究总院有限公司,武汉 430014
Xiao Nan1, Yang Fengchun1, and Zhao Wenzheng21)College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058, P.R.China2)CITIC Institute of Architectural Design & Research Wuhan, Wuhan 430014, P.R.China
structural engineering; cable-strut tensile structure; reliability analysis; response surface method; reliability index; cable stress relaxation; structure failure
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2014.02179
研究索杆张力结构在极限状态下的可靠性,利用可靠度分析中的响应面法,对索穹顶结构在极限状态下的可靠性进行分析,并与ANSYS中蒙特卡罗法计算结果进行比较.分析结果表明,响应面法具有足够高的精度; 张力结构拉索松弛失效可靠指标不符合规范GB 50068—2001要求,是控制结构失效的主要形式.
In order to better understand the reliability of cable-strut tensile structures under limit states, the Response Surface Method(RSM)was employed to analyze the reliabilities of cable-strut tensile structures, and results by RSM were compared with the ones by Monte Carlo Method in software ANSYS. The results show that RSM has a high enough precision in the calculation of reliability for cable-strut tensile structures, and the reliability index of stress relaxation in cable cannot meet the requirement stipulated by GB 50068—2001, which will become a primary failure mode for consideration in practical application.
结构可靠性的概率度量称为结构的可靠度,是指在考虑工程中的诸多不确定性后,利用随机性力学模型,计算结构在规定时间内和规定条件下完成预定功能的概率[1].
自然界的事物复杂多变,表现在工程领域大致可分为随机性、模糊性和不确定性[2].所谓随机性是指事件在发生前其结果不确定,而事件发生后其结果又可确定,如工程中结构的材料属性、几何属性等都具有随机性; 所谓模糊性是指事物本身的概念模糊、界限不明,如工程中“安全与危险”、GB50068—2001规范[3]中关于正常使用极限状态中“影响正常使用和外观的变形”等规定都具有模糊性; 所谓不确定性是指由于信息、数据的不全面、不完整而导致的不确定性.
Mayer最早在1926年就提出用设计参数的平均值和变异系数的观念进行结构设计[4].20世纪40年代美国学者Freadentbal[5]首先提出了结构可靠度理论.1954年前苏联学者Ржаницын[6]提出了考虑随机变量均值和标准差的一次二阶矩法的基本概念和计算结构失效概率的方法.1969年美国学者Cornell[7]在Ржаницын研究的基础上发展了一次二阶矩法,他从可靠度理论的实用角度出发,提出了可靠指标的概念,建立了可靠指标与结构失效概率的关系,以此作为衡量结构可靠性的统一定量指标,从而为可靠度理论进入到实用阶段奠定了基础.1974年,Hasofer等[8]再次发展了一次二阶矩法,他们从几何上对可靠指标进行定义,提出将可靠指标定义为标准正态空间内坐标原点到极限状态曲面的最短距离,使对应于同一失效面建立不同表达形式的失效方程都可得到唯一的可靠指标. 此后, 可靠度理论的计算方法又有了新的发展,如考虑高度非线性的二次二阶矩法、考虑隐式功能函数的响应面法及数值模拟蒙特卡罗法(Monte-Carlo method)等.
随着可靠度理论的发展,其在结构工程领域的应用也越来越来广.唐铁羽[9-10]等利用可靠度理论分析了混凝土梁在正常使用极限状态下的可靠性; Thoft-Christensen[11]将可靠度理论运用到混凝土桥梁结构中; 文献[12]对斜拉双层柱面网壳的可靠性进行了分析和探讨.过去对可靠度理论的研究多是针对传统的混凝土结构,而对新兴的大跨空间结构的可靠度研究则较少,尤其是对大跨索杆张力结构可靠度的研究.
索杆张力结构与传统刚性结构在力学性能上有许多差别,按照传统设计方法设计的张力结构能否保证结构在极限状态下的可靠性需要进一步研究.为了解索杆张力结构在极限状态下的结构可靠性,本文利用可靠度分析中的响应面法,对索穹顶结构在极限状态下的可靠性进行分析,并与ANSYS中蒙特卡罗法计算结果进行比较.结果表明,响应面法具有足够高的精度; 张力结构拉索松弛失效可靠指标不符合规范要求,是控制结构失效的主要形式.
结构的不确定性一般可用随机变量X1,X2,…,Xn来表示.依据定义,结构的可靠概率可表示为:
ps=P(Z>0)=
z>0…∫ fx(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn(1)
其中,Z表示结构的功能函数,它是随机变量X1,X2,…,Xn的函数.工程中,习惯用结构的失效概率pf来表示结构的可靠度,
pf=P(Z<0)=
z<0…∫ fx(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn(2)
当结构中的随机变量服从正态分布时,对式(2)进行积分变化,即引入中间变量k=(z-μz)/(σz),得
pf=∫(μz)/(σz)-∞1/((2π)1/2)exp(-(k2)/2)dk=N(-β)(3)
其中,N(β)为标准正态分布函数; β为结构的可靠指标,
β=(μz)/(σz)(4)
可见,正态空间中结构的失效概率与可靠指标是一一对应的.正态空间中的结构失效概率和可靠指标如图1所示.
结构可靠指标概念的提出对结构可靠度计算方法的发展起到了重要的推动作用.由于式(2)的多重积分在数学求解及工程应用中有很大的困难,许多学者开始寻求便于实现的近似求解方法,响应面法就是一种有效的近似方法.
响应面法最早由数学家Box和Willson提出[13].它是通过一系列确定的结构分析来拟合一个响应面,用以模拟真实的极限状态曲面.其基本思想是通过有限次的试验或结构分析,回归拟合出一个显式的函数式Z^-=g^-(X1,X2,…,Xn), 来代替结构真实响应Z与设计随机变量X1, X2, …, Xn之间未知的、不能明确表达的函数关系Z=g(X1, X2, …, Xn), 再应用一次二阶矩法[1]对结构进行可靠性分析.
响应面法最早的思想是用设计变量的线性形式来近似逼近结构的真实极限状态方程[14-15],但线性的响应面法在结构功能函数非线性程度较高时会有明显的误差.此后有学者对完全二次项形式的响应面法做了研究[16-17].目前工程中最为常用的是不含交叉项的二次项形式,即
Z^-=g^-(X)=a+∑ni=1bixi+∑ni=1cix2i(5)
其中,a、 bi 和ci(i=1, 2, …, n)为待定系数.对于n个变量的响应面函数,待定系数的求解是通过2n+1次的有限元分析或结构试验得到真实功能函数值,然后代入式(5),线性回归得到响应面函数的2n+1个系数,最终确定响应面函数.响应面函数确定后,就可以用一次二阶矩法求解当前响应面函数下的可靠指标.
响应面法计算结构可靠指标的步骤为:
1)假定抽样中心(x(1)1, x(1)2, …, x(1)n), 一般初始抽样中心取均值点;
2)按(x(1)1, x(1)2, …, x(1)i±fσi, …, x(1)n)生产2n个样本点,其中f取1~3之间的数,迭代前期可取值大些,后期可取值小些;
3)调用有限元程序,根据产生的样本点对结构进行2n+1次有限元分析,得到样本点对应的结构功能函数值;
4)将样本点及其对应的功能函数值代入式(5),解线性方程组,确定响应面表达式;
5)将非正态随机变量当量化为正态随机变量,按一次二阶矩法中的验算点法,求结构可靠指标β及验算点P*;
6)计算前后2次的|βk-βk-1|,是否小于给定误差;
7)小于给定误差则结束迭代,否则,按式(6)得到下步迭代的抽样中心,返回步骤2).
Levy模型跨度60 m,分别在10和20 m半径位置处各设置一道环索,环索沿环向分为16个单元.结构模型共有节点82个(其中约束节点16个,非约束节点66个),单元225个(其中压杆数33个,拉索数192个).节点1~16为支座节点,约束3个方向的线位移自由度,结构模型如图2所示.根据结构对称性,将该索穹顶模型的杆件类型分为11组,如图3所示,其中,第1、2和3组为脊索,第4、5和6组为斜索,第7和8组为环索,第9和10组为相应环索处的竖杆,第11组为中心竖杆.
利用二次奇异值分解法[18]对该索穹顶进行可行整体预应力分析,得到结构的整体预应力模态; 利用得到的整体预应力模态,对结构反复进行有限元分析,最终确定结构预应力水平及截面尺寸. 结果如表1.
本文索穹顶结构中主要的随机变量有弹性模量E、 杆件截面面积A、 材料强度标准值fk和结构外部荷载F, 共考虑18个随机变量.随机变量的统计特性主要
参考文献[19],各随机变量如表2所示.
其中,K为随机变量标准值与平均值的比值; δ为随机变量变异系数; E1表示拉索的弹性模量,单位为MPa; E2表示压杆的弹性模量,单位为MPa; A1~A11分别为第1~11组杆件的截面面积,单位为mm2; FG表示结构自重作用,以重力加速度方式施加,单位为m/s2; FS表示雪荷载作用,单位为kN/m2; FW表示风荷载作用,单位为kN/m2; fk1表示拉索材料强度值,单位为MPa; fk2表示压杆的材料强度值,单位为MPa.
本文考虑索穹顶在承载能力极限状态和正常使用极限状态下的可靠性.承载能力极限状态下考虑结构的强度失效和拉索的松弛失效; 正常使用极限状态下考虑结构的变形失效.
强度失效下功能函数为
g=(fk)/(max(σ))-1.0(6)
其中,fk为结构的随机极限强度值; max(σ)为考虑随机性后,结构的应力最大值(压杆为最小值).
松弛失效下功能函数为
g=(min(Pcable))/(T0)-1.0(7)
其中,min(Pcable)为考虑随机性后,结构中每组索的内力最小值; T0为拉索维持结构外观及刚度的最小预张力,根据文献[20],T0可按下式计算
T0≥(W(1/4Lcos a+3/4wsin a))/(2w)≈20Wcos a(8)
变形失效下功能函数为
g=umin-[Δ](9)
其中,umin为结构中位移绝对值最大值; [Δ]为国家相关规范规定的位移变形限值,本研究取L/400, L为索穹顶最小跨度.
利用响应面法的Matlab程序可计算出每组杆件在风荷载及雪荷载下强度失效的可靠指标β和失效概率pf,如表3和表4所示.
由表3和表4可知,2种工况下该索穹顶在强度失效形式下的失效概率是非常小的.风荷载作用下,索穹顶主要失效模式是中心压杆的失效,失效概率pf=2.650 9×10-17,其他10种失效模式下的失效概率相对很小,对结构体系失效的贡献可以忽略,所以可认为风荷载下该索穹顶体系的失效概率pf=2.650 9×10-17; 同样,在雪荷载作用下索穹顶主要失效模式是外圈压杆的失效,失效概率pf=1.812 1×10-16.
取2种工况下的最大失效概率,可认为索穹顶强度失效概率是pf=1.812 1×10-16.如此小的概率一般可认为不会发生,即可认为索穹顶在强度失效形式下是不会失效的.
雪荷载作用下,计算得到索穹顶各组杆件的可靠指标及失效概率如表5所示.计算结果表明,雪荷载下索穹顶的脊索和最内圈斜索容易出现松弛失效,对结构整体失效贡献最大的是第2圈和第3圈脊索的失效,失效概率分别是0.003 6和0.008 3; 雪荷载作用下拉索的松弛失效也遇到风荷载作用下拉索的松弛失效相似的问题,雪荷载作用下,索穹顶的环索及外圈的两圈斜索均不会出现松弛失效,或者说它们的失效概率趋于零,以致在利用响应面法求解可靠指标时,设计验算点偏离均值太远而进入了奇异区.与风荷载下相似,若将功能函数中的容许值T0放大若干倍数,则可求出相应的可靠指标,但此时的T0将会很接近甚至会超过结构的初始预应力,这显然和“松弛失效”相悖,所以有理由认为这些杆件是不会出现雪荷载下的松弛失效的.表5中第4、5、7和8组杆件所对应的“-”表示该组杆件不会出现失效.
表5 雪荷载下松弛失效可靠度分析
Table 5 Reliability analysis in the failure mode of stress relaxation in cables under snow load
由表5可知,雪荷载作用下索穹顶结构体系的松弛失效概率计算可仅考虑第2组和第3组杆件2种失效模式,按照文献[2]中公式计算,这2种失效模式间的相关系数ρz2z3=0.999 2,由相关系数可知,这2种失效模式是高度正相关的,可认为它们是完全正相关的,结构体系的失效概率取决于失效概率最大的失效模式,即pf=max pfi,故最终得出雪荷载作用下结构体系在拉索松弛失效形式下的失效概率为pf =0.008 3,可靠指标为β=2.394 2.
根据式(9)利用响应面法Matlab程序计算索穹顶在2种荷载作用下的可靠指标分别为:风荷载下β=2.619 0; 雪荷载下β=2.146 4.在变形失效形式下,索穹顶的可靠指标取2种荷载作用下的较小值,即β=2.146 4,失效概率pf=0.015 9.
响应面法是一种近似的可靠度分析方法,它将高度非线性或复杂的不能显式表示的功能函数,显示为某一个二次项的形式.虽然响应面法在理论上可行,但在应用时无法对近似计算带来的误差进行估计,所以有必要通过另外的方法或手段对响应面法计算的结果进行误差估计,以确保响应面法得到的结果满足工程应用的误差要求.
本文采用ANSYS中的蒙特卡罗法作为检验响应面法误差的一种方法.蒙特卡罗法即数值模拟法或抽样试验法,是目前理论上最完备的一种方法.理论上如果模拟次数或抽样次数足够多,则蒙特卡罗法可以得到结构真实的失效概率.但蒙特卡罗法也有其自身的缺点,就是会占用大量的机时,尤其是对于小概率的结构失效形式.因此本文仅对索穹顶在变形失效形式和拉索松弛失效形式下,2种方法的计算结果进行比较; 而对失效概率极小的强度失效形式,因其所需的模拟次数太多,耗费的机时无法忍受,本文未给出其比较结果.
需要说明的是,为了使2种方法在相同条件下进行比较,计算结构可靠指标时,对风荷载和雪荷载均假定服从正态分布.
风荷载作用下,将结构最大位移值umax作为随机输出参数.通过抽样,模拟得到umax的概率分布直方图,如图4所示,并得到umax的均值随抽样次数的变化曲线,如图5所示.图中有3条线,上下2条为保证置信水平为95%的置信极限,中间的线为样本均值的历史曲线. 样本均值变化始终位于置信区间界限内,表明样本取值具有95%的保证率.
图4 umax概率分布直方图
Fig.4 Histogram of umax
图5 umax均值变化曲线
Fig.5 Curve changing of mean value of umax
蒙特卡罗法计算得到结构风荷载下的变形失效概率为pf = 3.900 81×10-4,可靠指标β=3.359 7; 响应面法计算得到结构风荷载下的变形失效可靠指标β=3.496 0.由此可知索穹顶风荷载下的结构变形失效形式中,响应面法计算的可靠指标与蒙特卡罗法相比,误差为4.06%,可见响应面法具有很好的精度.
雪荷载作用下,将结构最小位移值umin作为随机输出参数.通过抽样模拟,得到umin的概率分布直方图(如图6)和umin均值随抽样次数的变化曲线(如图7).蒙特卡罗法计算得到结构雪荷载下的变形失效概率为pf = 4.307 13×10-3,可靠指标β=2.627 0; 响应面法计算得到结构雪荷载下的变形失效可靠指标β=2.601 9,由此可知索穹顶雪荷载下的结构变形失效形式中,响应面法计算的可靠指标与蒙特卡罗法相比,误差仅为-0.96%,可见响应面法具有很好的精度.
图6 umin概率分布直方图
Fig.6 Histogram of umin
图7 umin均值变化曲线
Fig.7 Curve changing of mean value of umin
图8 P3概率分布直方图
Fig.8 Histogram of P3
拉索松弛失效形式下,以第3组杆件的松弛失效为比较对象.以第3组杆件最小内力P3作为随机输出参数,通过抽样模拟,得到其概率分布直方图(如图8)和其均值随抽样次数的变化曲线(如图9).蒙特卡罗法计算得到结构雪荷载下拉索松弛失效概率pf = 4.714 24×10-4,可靠指标β=3.307 0; 响应面法计算得到结构雪荷载下的拉索松弛失效可靠指标β=3.272 6.由此可知索穹顶雪荷载下的拉索松弛失效形式中,响应面法计算的可靠指标与蒙特卡罗法相比,误差仅为-1.04%,可见响应面法具有很好的精度.
图9 P3均值变化曲线
Fig.9 Curve changing of mean value of P3
综上研究可知:
1)采用响应面法,对某一索穹顶极限状态下的可度进行了分析.将索穹顶的失效形式分为强度失效、拉索松弛失效及变形失效.分别计算这3种失效形式下结构的可靠指标,同时对比了响应面法与有限元软件ANSYS中蒙特卡罗法的计算误差,验证了响应面法在索穹顶结构可靠性分析中具有很好的精度.
2)分析结果表明,对于强度失效形式,结构具有很高的可靠性,结构失效的概率几乎为零,结构可靠指标满足相关规范要求; 对于拉索松弛失效形式,结构可靠性较低,结构可靠指标不满足相关国家规范要求; 对于变形失效形式,结构具有一定的可靠性,结构可靠指标满足国家相关规范.
3)对索穹顶进行可靠度的参数分析,以深入了解不同预应力水平和随机变量分布类型对索穹顶可靠度的影响.
深圳大学学报理工版
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