波形钢腹板简支梁在体外预应力作用下的弯曲振动微分方程^[6]可表示为

(²)/(x²)[EI(²y(x,t))/(x²)]+(²)/(x²)[N_py(x,t)]-

(²M)/(x²)+m^-(²y(x,t))/(t²)=0(1)

其中, EI为波形钢腹板组合梁的弯曲刚度; y(x,t)为振动位移; x为沿着轴向从坐标原点到考察截面的距离; N_p为体外束的预加力; M为体外预应力引起的梁的弯矩; m^-为梁体的单位长度质量; t为时间.

简支波形钢腹板箱梁的体外束布置为双折线,如图1.为了推导式(1),假设材料均处于弹性范围,忽略波形钢腹板的轴向刚度; 仅考虑其剪切刚度; 不计顶底板剪力滞效应,且其连接部位无滑移; 不考虑沿梁跨方向的预应力损失.

图1 简支波形钢腹板箱梁的体外束布置
Fig.1 Arrangement of external strand of simply supported box beam with corrugated steel web

{ZN_p=N⁰_p+ΔN_p

N_ph=N⁰_ph+ΔN_ph

M=HN_p=H(N⁰_p+ΔN_p)(2)

其中, N⁰_p和N⁰_ph分别为预加力N_p的初始值和水平分量初始值; ΔN_p和ΔN_ph分别为预加力N_p随着振动位移y(x,t)变化产生的总体改变量和水平改变量; M为体外预应力引起的梁的弯矩; H为等效偏心距.将式(2)代入式(1)得

(²)/(x²)(EI(²y)/(x²))+(²y)/(x²)(N⁰_ph+ΔN_ph)-

(²)/(x²)[H(N⁰_p+ΔN_p)]+m^-(²y)/(t²)=0(3)

由于y较小,又因为ΔN_phy是y的微小量,故不考虑ΔN_phy.同时,由于N⁰_p为常数,则(²)/(x²)(HN⁰_p)=0. 整理式(3),可得波形钢腹板简支梁在体外预应力下的弯曲振动方程为

(²)/(x²)[EI(²y)/(x²)]+ΔN_ph(²y)/(x²)-

H(²ΔN_p)/(x²)+m^-(²y)/(t²)=0(4)

为求解方程(4),首先需考虑梁体振动位移y(x,t)与预应力的改变量之间的内在联系.体外束波形钢腹板预应力组合简支梁结构如图2.波形钢腹板预应力简支梁在振动过程中, ΔN_p随振动位移y(x,t)的改变而变化,由于位移y(x,t)随梁体振动变化很小,因此,可以近似认为ΔN_p与梁体跨中竖向位移y成正比.为计算ΔN_p与y的比例系数,在跨中作用一个集中力F, 先得到ΔN_p与F的关系,再得到F和y的关系,最后经过变换得到ΔN_p和y的关系.

将预应力筋拉力作为多余未知力X₁去掉多余约束得到基本体系,如图2所示.求解单位力X₁以及跨中集中力F作用下的弯矩图.建立变形协调方程为

δ₁₁X₁+Δ_1F=0(5)

其中, δ₁₁=∑∫(M₁M₁)/(EI)dx+∑∫(N₁N₁)/(EA_c)dx

Δ_1F=∑∫(M₁M_F)/(EI)dx+∑∫(N₁N_F)/(EA_c)dx

可得ΔN_p=X₁=-(Δ_1F)/(δ₁₁)(6)

其中, N₁和M₁分别为单位力和基本体系上产生的轴和弯矩; N_F和M_F分别为外力F作用在基本体系上产生的轴力和弯矩; δ₁₁是单位力在基本体系上产生的位移; EA_c是梁截面的抗拉压刚度.在跨中位置作用一个集中力F时,可以计算得出简支梁跨中竖向挠度为

y_F=(FL³)/(48EI)(7)

图2 波形钢腹板简支箱梁基本体系的受力图
Fig.2 The basic system's force diagram of simply supported box beam with corrugated steel web

y_F=(FL³)/(48EI)α(8)

其中, α=1+(12EI)/(L²G_eA); G_e=G(b+d)/(b+dsec γ), G为钢腹板剪切刚度; L为简支梁计算跨径; A为竖向抗剪面积; b、 d和γ为钢腹板参数.由式(6)和式(8)可得

y_F=-(FL³δ₁₁)/(48EIΔ_1F)αΔN_p(9)

由位移互等定理,可得ΔN_p在中点产生的向上位移为

y_ΔNp=δ_1F(ΔN_p)/F(10)

跨中在F作用下产生的竖向位移为

y=y_F-y_ΔNp=

-[(FL³δ₁₁)/(48EIΔ_1F)α+(δ_1F)/F]ΔN_p(11)

则

ΔN_p=φy(12)

其中,φ=-1/((FL³δ₁₁)/(48EIΔ_1F)α+(δ_1F)/F)

由此可得到预应力变化量ΔN_p和简支梁跨中位移y的关系表达式.由于波形钢腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差异主要在腹板,而波形钢腹板的剪切变形对箱梁挠度的影响较大,故本研究在计算波形钢腹板简支梁跨中挠度时,计入了波形钢腹板剪切变形的影响,这是波形钢腹板箱梁与普通混凝土箱梁挠度计算中最主要的差别.

H为等效偏心距,由于预加力在梁上的弯矩沿梁轴线是不均匀变化的,为简化计算,将预应力作用弯矩,采用面积相等的原则,等效为沿梁均匀分布^[8],其中预应力和次内力引起的弯矩为

Mp=M₁N_p(13)

Mp弯矩图面积表达式为

S(M_p)=S(M₁)N_p(14)

其中, S(M_p)和S(M₁)分别为相应弯矩图的面积.那么波形钢腹板简支梁的等效偏心距为

H=(S(M_p))/(N_pL)=(S(M₁))/L(15)

则可得波形钢腹板简支梁自由振动方程为

(⁴y)/(x⁴)+(N⁰_ph-Hφ)/(EI)(²y)/(x²)+(m^-)/(EI)(²y)/(t²)=0(16)

由式(16)得波形钢腹板简支梁自由振动方程为

EI(⁴y)/(x⁴)+(N⁰_ph-Hφ)(²y)/(x²)+m^-(²y)/(t²)=0(17)

采用分离变量法求解微分方程(17),并根据简支梁边界条件确定积分常数,则波形钢腹板简支梁的自振频率为

f_n=1/(2π)((EI)/(m^-))^1/2((nπ)/L)²ξ(18)

其中,ξ=(1-(L²)/((nπ)²)(N⁰_ph-Hφ)/(EI))^1/2(19)

式(19)可表示体外预应力对波形钢腹板简支梁自振频率的影响.可见预应力对梁自振频率的影响随着振型阶次n的升高而减小,因此可以通过低阶频率探讨预应力张拉对波形钢腹板梁自振特性的影响.当n= 1时得到基频为

f₁=1/(2π)((EI)/(m^-))^1/2((π)/L)²ξ(20)

式(19)中,当预应力筋形式确定时, φ为定值,因此ξ取值主要与作用在梁上的初始预加力水平分量N⁰_ph和等效偏心距H有关.对理想材料的动力学模型,当N⁰_ph-Hφ>0时, 0<ξ<1, 施加体外预加力会减小梁的固有频率; 当N⁰_ph-Hφ=0时, ξ=1, 施加体外预加力不会影响梁的固有频率; 当N⁰_ph-Hφ<0时,ξ>1, 施加体外预加力会增大梁的固有频率.可见,体外预应力对波形钢腹板桥梁的频率影响应综合考虑N⁰_ph和Hφ的取值确定.

数值软件中模拟预应力的方法主要包括外荷载法和整体法两大类.外荷载法是以荷载来替代预应力钢筋的作用,如等效荷载法.该法适用于静力分析,但与结构的实际受力情况不符.整体法综合考虑两者作用,如在ANSYS软件中用杆单元模拟钢束,采用初应变或降温法在钢束上加载预应力,并通过耦合作用传递预应力到混凝土上.整体法更符合混凝土结构的实际受力,因此本研究采用初应变施加预应力.

假设结构材料是理想均质,在进行有限元分析时预应力的施加会使结构几何刚度矩阵发生变化,导致预应力混凝土梁自振频率减小,这与本研究推导和经典力学理论结果一致,但与模型试验数据不符^[5].分析试验结果,预应力张拉除了会产生应力软化效应降低结构的刚度外,还会使混凝土处于复杂应力状态,复杂应力状态下的混凝土极限强度比单向应力状态下的强度大,理论和试验证实混凝土的强度与弹性模量相关,因此可通过建立预应力与混凝土弹性模量的相关关系对复杂应力状态下的弹性模量进行修正^[9].

结合复杂应力状态下混凝土梁的大量试验数据^[10],采用回归分析的方法可找出预应力与混凝土弹性模量的关系^[9-11]为

y=ax^0.8+(bx)/(cx+1)+1

x=N/(Af_ck)×10^{(1/(10h)+(3e)/h)}(21)

其中, y=E_q/E_c表示混凝土弹性模量的增加倍数, E_q为等效的弹性模量, E_c为实际弹性模量; N为施加的预应力大小; e为偏心距; h为箱梁截面高度; f_ck为混凝土抗压强度标准值; a、 b和c为拟合公式的系数,a=-6.651 418 8×10^-3,b=7.512 877 8×10^-3,c=2.409 094 7×10^-3.

为验证本研究方法的可行性,

参考文献[5]给出的单箱双室波形钢腹板梁模态试验,建立ANSYS实体有限元模型,采用初应变施加预应力并修正弹性模量进行模态分析,与试验结果进行对比.采用的单箱双室波形钢腹板组合试验箱梁总跨径为5.2 m,计算跨径为5 m,其顶、底板均为5 cm厚的C50混凝土,腹板为3 mm厚的波形钢腹板,预应力钢束的公称直径为φ15.24 mm,其截面尺寸、波形钢腹板参数及试验梁立面如图4^[5].

图4 文献[5]中的模型试验梁(单位:mm)
Fig.4 Model test beam in the Reference[5](unit: mm)

表2 本研究与文献[5]有限元结果对比
Table 2 Comparison results of finite element analysis of the proposed formula and the method in reference[5]

由表2可知,利用本研究解析式(20)得到波形钢腹板体外束张拉后的自振频率为 f有一定减小,试验梁的自振频率试验结果 f₀和有限元解 f_i(i=1,2)的第1阶竖弯频率偏差小于5%; 施加预应力并修正混凝土弹性模量后,与试验结果相比,偏差变小且频率的变化趋势与试验结果吻合.因此可认为预应力的张拉不仅使波形钢腹板箱梁应力软化,且预应力使混凝土处于复杂应力状态,材料的弹性模量与单向应力状态下的弹性模量不同,通过弹性模量修正和考虑预应力效应,数值分析可以解释模型试验结果.