作者简介:王 刚(1972—),男,深圳大学副教授、博士.研究方向:结构振动,工程抗震.E-mail:cewangg@szu.edu.cn
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深圳大学土木工程学院,广东深圳 518060
College of Civil Engineering, Shenzhen University, Shenzhen 518060, Guongdong Province, P.R.China
seismic engineering; modal correlation coefficient; complete quadratic combination; mode-superposition response spectrum analysis; Lyapunov equation; filtered white noise
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2018.02128
当地震动模型为过滤白噪声时,通过频域有理分式积分,求完全二次型组合(complete quadratic combination,CQC)振型相关系数的闭合表达式将变得困难和不实用.本研究提出将传递函数转化为状态空间方程,通过求解Lyapunov方程得到振型相关系数的方法,且通过用Kanai/Tajimi模型验证了方法的有效性.该方法可推广到常见的过滤白噪声地震动模型,避免了频域有理分式积分闭合解的冗长公式,计算量小,可靠性好,是精确解.
When filtered white noise is used to model ground motion, the computation of complete quadratic combination(CQC)modal correlation coefficients by integration of rational function becomes difficult, and the closed-form formulas become tedious and impractical. We propose a new method to obtain modal correlation coefficients by transforming transfer function model into state space model and then by solving a Lyapunov equation. This method can be extended to the situation where filtered white noise ground motion models are used. Kanai/Tajimi model is used to verify the correctness of the proposed method. It is not only concise, reliable and numerical efficient but also can avoid solving tedious closed-form formulas of integration of rational functions.
目前,振型分解反应谱法广泛用于抗震设计,利用抗震设计规范中给出的设计反应谱,可方便地计算各振型地震反应的最大值,并利用平方和开方(square root of the sum of the squares,SRSS)或完全二次型组合(complete quadratic combination,CQC)进行振型组合.由于CQC法精度高,且简单实用,因此得到广泛应用.现在常用的CQC振型组合系数公式是由KIUREGHIAN等[1-7]提出的,该公式基于地震动为零均值平稳白噪声的假设,利用随机振动理论推导而来.周锡元等[8-9]将其推广到复模态分解反应谱法,给出了复振型的完全二次型组合(complex complete quadratic combination, CCQC)组合系数计算公式.也是基于地震动为零均值平稳白噪声的假设推导出来的,即假设地震动输入带宽足够大,可覆盖对整体贡献显著的那些振型,当这个假设不能满足时,现行的CQC组合方法将无法达到足够的精度.因此,更精确地考虑地震动模型有助于改善CQC组合[1-2,4].
地震动模型常见的有过滤白噪声模型,如Kanai/Tajimi模型[10-11],以及在此基础上改进的各种功率谱模型[12-15].有关地震动模型,文献[16]做了详尽综述.在文献[4]中,KIUREGHIAN等将CQC组合方法进一步扩展到输入为窄带白噪声的情况,此外,还考虑了被截断高阶模态的准静态贡献,以及输入截止频率的影响等因素.CQC振型相关系数计算基于以下假设:地震动为零均值平稳随机过程,结构的最大反应正比于相应的根方差,且不同振型之间,振型最大反应与根方差的比例常数相同.考虑过滤白噪声地震动模型时,CQC组合的振型相关系数推导常常需要在频域内进行积分,其结果变得复杂冗长[1],严重影响了实用性能.
本研究给出了地震动为过滤白噪声的情况下,CQC组合振型相关系数的一种新算法,这种方法避开了复杂冗长的频域积分,计算简洁实用,结果为精确解.
考虑地震作用下的结构振动方程
MX ¨+CX ·+KX=Lx¨g(1)
其中, X为结构位移向量; M、 C和K分别为n×n结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵; x¨g为地震加速度; L为反映地震作用位置的向量,不失一般性, L为n×1向量.令φi、 ωi、 qi和ξi分别为第i个振型、圆频率、广义坐标和阻尼比,引入振型分解X=∑ni=1qiφi, 得
q¨i+2ξiωiq ·i+ω2iqi=γix¨g(i=1,…,n)(2)
其中, γi=(φTiL)/(φTiMφi), 为振型参与系数.
对于特定的地震动时程,式(2)的i振型最大反应为qi,max=maxt|qi(t)|, 即特定地震波的反应谱解.结构的最大反应S可利用CQC组合求得
S=(∑ni=1∑nj=1ρijSiSj)1/2
其中,振型相关系数ρij的推导基于以下假设:地震动为零均值平稳随机过程,结构的最大反应正比于相应的根方差,且不同振型之间,振型最大反应与根方差的比例常数相同.从而,
ρij=(E[qi(t)qj(t)])/((E[q2i(t)])1/2(E[q2j(t)])1/2)(3)
假设x¨g为过滤白噪声的情况下,频域内可写成x¨g(ω)=G(ω)(S0)1/2. 其中, S0为谱强度因子; 真有理分式G(ω)为滤波器.从而,式(2)的频域反应qi(ω)为
qi(ω)=γiHi(ω)G(ω)(S0)1/2
其中,
Hi(ω)=1/(-ω2+j2ξiωiω+ω2i)
记
Iij=∫∞-∞Hi(ω)G(ω)G^-(ω)H^-i(ω)dω(4)
则式(3)还可以写成
ρij=(Iij)/((Iii)1/2(Iij)1/2)(5)
当x¨g假设为零均值平稳白噪声的时候, G(ω)=1, 式(4)可得到简洁的结果,从而
ρij=(8(ξir+ξj)r3/2(ξiξj)1/2)/((1-r2)2+2ξiξjr(1+r2)+2(ξ2i+ξ2j)r2)(6)
这里, r=ωi/ωj为频率比.
当x¨g假设为过滤白噪声的时候, G(ω)通常为真有理分式,式(4)一般需要通过围道积分求解,结果将变得复杂不实用.本研究给出新的算法求解.
考虑1输入2输出的线性系统
[Hi(ω)
Hj(ω)]G(ω)(7)
其状态空间方程可以写成
{Zz·=Az+Bw
q=Cz+Dw(8)
其中,(A,B,C,D)为相应的系数矩阵,由于Hi(ω)和Hj(ω)是严格真有理函数,所以D=0, 其余系数矩阵详见后面讨论; q是输出向量, q=[qi qj]T; w是输入,当w是零均值白噪声,且E(w2)=1时,输出 q的协方差矩阵[17]可写成
E[qqT]=CPCT(9)
其中, P是如下Lyapunov方程的解
AP+PAT+BBT=0(10)
求解Lyapunov方程(10)已有成熟的算法[18-19],且在本文情况中方程(10)阶数很低,计算量很小,容易求得P, 进而由式(9)和式(3)求出振型相关系数.理论上,该方法与计算积分(4)及式(5)方法等价,是精确解[17].
令(Ai,Bi,Ci,0)、(Aj,Bj,Cj,0)和(Ag,Bg,Cg,Dg)分别为Hi(ω), Hj(ω)和G(ω)的状态空间系数矩阵,则状态方程(8)的系数矩阵分别为
A=[Ai 0 BiCg
0 Aj BjCg
0 0 Ag]、B=[B1Dg
B2Dg
Bg]、
C=[Ci 0 0
0 Cj 0]、 D=0(11)
以常见的Kanai/Tajimi模型为例,
G(ω)=(j2ξgωgω+ω2g)/(-ω2+j2ξgωgω+ω2g)(12)
其中, j表示虚部,相应的状态方程系数矩阵为
Ag=[0 1
-ω2g -2ξgωg]、 Bg=(0
1)、
Cg=[ω2g -2ξgωg]、 Dg=0(13)
Hi(ω), Hj(ω)的状态方程系数矩阵为
Am=[0 1
-ω2m -2ξmωm], Bm=(0
1)
Cm=[1 0], m分别取i和j.(14)
当地震动模型为白噪声时, G(ω)=1, 式(11)退化为只保留前两行两列分块矩阵,按本算法计算结果与式(6)完全相同.
当地震动模型为其他过滤白噪声类型时,只是滤波器G(ω)的具体形式,以及对应的状态方程系数矩阵(Ag,Bg,Cg,Dg)有所不同,振型相关系数均可按本算法进行计算.
综上,利用式(11)构造矩阵 A、 B、 C进而求解Lyapunov方程(10),并利用式(9)和式(3)求出振型相关系数.
Kanai/Tajimi模型取ωg=10 rad/s, ξg=0.65. 其功率谱密度函数如图1,给出的El Centro地震波的功率谱密度作为参考.
由于矩阵 A只有6×6阶,Lyapunov方程(10)的求解耗时非常少,在实际结构分析中其计算量完全可忽略不计.
图2是在振型阻尼比ξi=ξj=0.05, ωj=5、 10、 20、 50、 100 rad/s,假设地震动为Kanai/Tajimi模型时,得到的振型相关系数ρij与r的关系曲线,作为对比,图2中也给出了白噪声模型下即式(6)的结果.
从图2可知,与白噪声模型相比,假设地震动为Kanai/Tajimi模型时,在频率比远离1的情形,振型相关系数不一定趋近于0; 高阶振型对整体的贡献较白噪声假设的结果显著.这个结果与文献[2]一致.
本研究提出通过求解Lyapunov方程,得到CQC振型组合系数的方法,这种方法避开了在频域里对有理分式的冗长积分结果,计算量小,算法成熟可靠,可用于解决常见的过滤白噪声地震动模型问题.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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