近二十年来,复杂网络同步控制由于其理论挑战性和应用广泛性受到了不同学科研究者的极大关注,为科学研究中的一个热点问题.研究讨论了各种不同类型网络的多种同步模式,如完全同步^[1]、簇同步^[2]、指数同步^[3]及有限时间同步^[4-5]等.

在现有关于复杂网络同步问题的研究中,大部分涉及的是恒同网络,即网络中的所有节点都有相同的动力学行为.然而,由非恒同节点构成的网络,在自然界和工程领域普遍存在.例如,因特网中的节点一般是不同的; 社交网络中的每个个体也存在差异,这就可能产生网络中的参数不匹配现象.一般来说,由参数不匹配的节点所构成的异构网络不能达到完全同步,拟同步则为异构网络的同步研究提供了全新思路.拟同步意味着各个节点的状态和目标节点状态之间存在一个有界误差.随着对网络同步问题的深入研究,异构网络的拟同步问题引起了越来越多研究关注,LIU等^[6]通过反馈控制方法研究存在参数不匹配和随机扰动的异构复杂网络的拟同步; HE等^[7]利用一个广义的Halanay不等式和矩阵测度得到了带有参数不匹配的时滞耦合系统的延迟拟同步判据; HE等^[8]还基于分布式脉冲控制讨论了带有参数不匹配的异构复杂网络的拟同步,并对误差进行估计优化.WANG等^[9]研究了由非恒同节点构成的非线性耦合网络的簇同步问题.以上研究忽略了节点间信息交换时的时滞,而时滞在现实中是不可避免的.另外,Lur'e系统是一类非常典型的非线性系统,如常见的蔡氏电路和Cohen-Grossberg神经网络均具有Lur'e系统的形式.近期出现了一些对Lur'e网络系统的同步研究,如SHI等^[10]研究了带有数据采样反馈控制的混沌Lur'e系统的主从同步; TANG等^[11]分析了由非连续Lur'e系统构成的非线性耦合复杂网络的有限时间簇同步.但对于有非线性时变时滞耦合的异构Lur'e网络的拟同步问题尚未涉及.

另一方面,控制方式在实现网络同步中起着重要作用,各种控制策略已成功用于网络同步研究中.按控制时间可分为连续状态反馈控制^[12]和非连续状态反馈控制,后者包括脉冲控制^[13]、样本采样控制^[14]及事件激发控制^[15]等.非连续牵制控制由于其低成本高效率的特点,在网络同步研究中受到青睐.特别是周期间歇牵制控制策略受到了关注,如LI等^[16]基于周期间歇牵制控制策略实现了分数阶复杂动力网络的同步.然而,周期间歇牵制控制策略在现实中的应用并不合理,例如智能电网中风能发电呈现出非周期.因此,将非周期间歇牵制控制策略用于网络同步研究中具有现实意义.LIU等^[17]成功地将非周期间歇牵制控制用于一类复杂网络的同步问题中; 2016年LIU等^[18]进一步基于非周期间歇牵制控制方法研究了带有参数不匹配的复杂网络的拟同步问题.

受到以上相关研究的启发,本研究将考虑有非线性时变时滞耦合,且带有参数不匹配异构Lur'e网络的拟同步问题.基于非周期间歇牵制控制策略,通过构造合适的Lyapunov函数,经过严格理论分析得到实现该类网络拟同步的若干充分条件.并给出相应数值模拟论证所得理论结果有效.

首先,考虑一般Lur'e系统

s^·(t)=As(t)+Bf(Cs(t))(1)

其中, s(t)=(s₁(t),s₂(t),…,s_n(t))^T∈Rⁿ是t时刻的状态向量; A∈R^n×n、 B∈R^n×m 及C∈R^m×n是常数矩阵; f(Cs(t))=(f₁(cT₁s(t)),…,f_m(cT_ms(t)))^T∈R^m为系统的非线性向量值函数,满足 f(0)=0, 且 cT_l表示矩阵 C的第l行, f(·)是非线性函数, l=1,…,m.

本文将在非周期间歇牵制控制下,研究有时变时滞的非线性耦合异构Lur'e网络的拟同步.不失一般性,只对网络中的第1个节点实施非周期间歇控制,这样受控制的网络模型可以描述为

{Zx^·₁(t)=A₁x₁(t)+B₁f(Cx₁(t))+c₁∑^N_j=1l_1jΓx_j(t)+c₂∑^N_j=1g_1jΓh(x_j(t-τ(t)))-c₁dΓ(x₁(t)-s(t))

x^·_i(t)=A_ix_i(t)+B_i f(Cx_i(t))+c₁∑^N_j=1l_ijΓx_j(t)+c₂∑^N_j=1g_ijΓh(x_j(t-τ(t))),

i=2,…,N, t∈[t_k,s_k], k=0,1,2,…(2)

x^·_i(t)=A_ix_i(t)+B_i f(Cx_i(t))+c₁∑^N_j=1l_ijΓx_j(t)+c₂∑^N_j=1g_ijΓh(x_j(t-τ(t))),

i=1,2,…,N, t∈(s_k,t_k+1), k=0,1,2,…

其中, x_i(t)=(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t))^T∈Rⁿ是第i个节点的状态变量; 常数c₁和c₂>0表示耦合强度; A_i∈R^n×n, B_i∈R^n×m均是常数系数矩阵; 控制增益d>0; Γ=diag{ζ₁,ζ₂,…,ζ₂}∈R^n×n是正定内部耦合矩阵; τ(t)是内部耦合时变时滞; L=(l_ij)∈R^N×N和 G=(g_ij)∈R^N×N分别为外部线性耦合矩阵和外部非线性耦合矩阵,反映网络拓扑结构,分别定义如下:若节点i和节点j之间有联系,则l_ij=l_ji>0, g_ij=g_ji>0, 否则l_ij=0, g_ij=0. 定义对角元素l_ii=-∑^N_{j=1, j≠i} l_ij, g_ii=-∑^N_{j=1, j≠i} g_ij.非线性向量值函数h(x_i(t-τ(t))=(h₁(x_i(t-τ(t))),…,h_n(x_i(t-τ(t))))^T∈Rⁿ. 非周期间歇牵制控制策略是指将时间任意分为若干区间[t_k,t_k+1),k=0,1,2,…, 在每一区间内的部分时间施加控制, 即在第k个区间[t_k,t_k+1)内, [t_k,s_k]是第k个工作区间(其长度为s_k-t_k)和(s_k, t_k+1)是第k个休息区间(其长度为t_k+1-s_k).

系统(2)的初始条件为x_i(t)=φ_i(t)∈C([-τ,0],Rⁿ), i=1,2,…,N, 其中, C([-τ,0],Rⁿ)表示从区间[-τ,0]映射到 Rⁿ的连续函数集, =φ_i(κ)=₂=sup_κ∈[-τ,0](∑ⁿ_z=1φ_iz(κ)²)^1/2, i=1,2,…, N为其范数的定义.假设存在一个正常数ε^-, 对任意时间t, 均有=s(t)=≤ε^-, 这表明 s(t)有界.

以下给出本文用到的定义、引理及假设.

定义1^[19] 设Ω为相空间中包含系统(1)的混沌吸引子的相关区域,若存在常数T≥t₀和 >0, 使得对任意初值 φ_i∈Ω, s(t₀)∈Ω, 当t≥T时=e_i(t)=≤(i=1,2,…,N)成立,则称系统(2)和系统(1)间实现了拟同步,其中,误差项 e_i(t)=x_i(t)-s(t).

假设1^[17] 存在两个正数0<θ<ω,那么,对于k=0,1,2,…, 有

{inf_k(s_k-t_k)=θ>0,

sup_k(t_k+1-t_k)=ω<+∞.

注1 假设1表明每个控制区间的长度不会小于θ, 而休息区间的长度不会大于(ω-θ).

假设2 对于Lur'e网络中的非线性向量值函数满足f(·)以下扇形条件:

0≤(f_l(a₂)-f_l(a₁))/(a₂-a₁)≤δ_l, a₁, a₂∈R, a₁≠a₂, δ_l>0, l=1,2,…,m.

假设3 对于非线性向量值函数 h(·), 存在非负常数q_ij(i, j=1,2…,n), 对于任意 z₁和 z₂∈Rⁿ, 有|h_i(z₁)-h_i(z₂)|≤∑ⁿ_j=1q_ij|z_1j-z_2j|.

引理1^[20] 若定义在[t₀-τ,+∞)上的非负连续函数y(t)满足y ^·(t)<-ay(t)+by_τ(t)+ε, 其中, a>b>0, y_τ(t)=sup_-τ≤κ≤0(y(t+κ)), 则当t≥t₀时有

y(t)≤y_τ(t₀)e^<sup>-r(t-t₀)+ε/r(3)

此处, r>0是a=be^rτ+r的唯一解.

引理2^[20] 若定义在[t₀-τ,+∞)上的非负连续函数y(t)满足y ^·(t)<ay(t)+by_τ(t)+ε, 其中, b>0, a+b>0, 那么当t≥t₀时有

y(t)≤(y_τ(t₀)+ε/(a+b))e^<sup>(a+b)(t-t₀)-ε/(a+b)(4)

引理3^[20] 若定义在[t₀-τ,+∞)上的非负连续函数y(t), 满足对于k=0,1,2,…, 有

y(t)≤y_τ(t_k)e^<sup>-r(t-t_k)+α, t_k≤t≤s_k,

y(t)≤(y_τ(s_k)+β)e^<sup>ξ(t-s_k)-β, s_k<t<t_k+1.

若假设1成立,记 ρ=(ρ₁-ρ₂)>0,其中, ρ₁=r(θ-τ), ρ₂=ξ(ω-θ), 则有

y(t)≤y_τ(0)e^ρe^<sup>-(ρ/ω)t+v/(1-e^-ρ)+α(5)

对于t≥0时成立,其中, v=(α+β)e^<sup>ρ₂-β.

为叙述方便,用ΔA_i=A_i-A, ΔB_i=B_i-B表示参数不匹配矩阵,此外还引入下述符号:

η_i(t)=f(Ce_i(t))=f(Cx_i(t))-f(Cs(t)),

η_i(t)=(η_i1,η_i2,…,η_im)^T,

其中,η_i1=f₁(c^T_lx_i(t))-f_l(c^T_ls(t)),

l=1,2,…,m,

η(t)=(ηT₁(t),ηT₂(t),…,ηT_N(t))^T,

ΔA=(ΔAT₁,ΔAT₂,…,ΔAT_N)^T,

ΔB=(ΔBT₁,ΔBT₂,…,ΔBT_N)^T,

e(t)=(eT₁(t),eT₂(t),…,eT_N(t))^T,

M(t)=(mT₁(t),mT₂(t),…,mT_N(t))^T, 这里

m_i(t)=ΔA_is(t)+ΔB_i f(Cs(t)), i=1,2,…,N,

h(e_i(t-τ(t)))=h(x_i(t-τ(t)))-

h(s(t-τ(t))),

h(e_i(t-τ(t)))=(h₁(e_i(t-τ(t))),…,

h_n(e_i(t-τ(t))))^T,

H(e(t-τ(t)))=(hT(e₁(t-τ(t))),…,

hT(e_N(t-τ(t))))^T,

A ^{^}=diag(A₁,A₂,…,A_N),B ^{^}=diag(B₁,B₂,…,B_N),

D=diag(d,0,…,0),L ^{^}=L-D,

Δ=diag(δ₁, δ₂,…,δ_m),

T=diag(τ₁, τ₂,…,τ_m).

则由系统(1)和(2)可得相应的误差系统为

{Ze^·₁(t)=A₁e₁(t)+B₁f(Ce₁(t))+c₁∑^N_j=1l_1jΓe_j(t)+c₂∑^N_j=1g_1jΓh(e_j(t-τ(t)))-c₁dΓe₁(t)+m₁(t)

e^·_i(t)=A_ie_i(t)+B_i f(Ce_i(t))+c₁∑^N_j=1l_ijΓe_j(t)+c₂∑^N_j=1g_ijΓh(e_j(t-τ(t)))+m_i(t),

i=2,3,…,N, t∈[t_k,s_k], k=0,1,2,…

e^·_i(t)=A_ie_i(t)+B_i f(Ce_i(t))+c₁∑^N_j=1l_ijΓe_j(t)+c₂∑^N_j=1g_ijΓh(e_j(t-τ(t)))+m_i(t),

i=1,2,…,N, t∈(s_k,t_k+1), k=0,1,2,…

则上述误差系统又可写为

{Ze^·(t)=A ^{^}e(t)+B ^{^}η(t))+c₂(GΓ)H(e(t-τ(t)))+c₁(L ^{^}Γ)e(t)+M(t),

t∈[t_k,s_k], k=0,1,2,…

e^·(t)=A ^{^}e(t)+B ^{^}η(t))+c₂(GΓ)H(e(t-τ(t)))+c₁(LΓ)e(t)+M(t),

t∈(s_k,t_k+1), k=0,1,2,…(6)

定理1 若假设1至假设3成立,且存在一个正常数ψ使得max_1≤i≤N(=ΔA_i=+=ΔB_i==ΔC=)≤ψ, 此外,还存在正数γ₁, γ₂, μ₃>μ₂>μ₁, α₁和矩阵 Q=(q_ij)_n×n满足下列条件:

ⅰ. Π=

[A ^{^}+A ^{^}T-2α₁(I_NΓ)B ^{^}+(I_NCTΔT)

B ^{^}T+(I_NTΔC)-2(I_NT)]≤0;

ⅱ.(γ₂+μ₁)I+2c₁(L ^{^}Γ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+2α₁(I_NΓ)≤0;

ⅲ.(c₂)/(γ₁)λ_max(QTQ)-μ₂≤0;

ⅳ.(γ₂-(μ₃-μ₁))I+2c₁(LΓ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+2α₁(I_NΓ)≤0;

ⅴ. ρ=ρ₁-ρ₂=r(θ-τ)-(μ₃-μ₁+μ₂)(ω-θ)>0, r是方程r-μ₁+μ₂e^γτ=0的唯一正解.

则存在一个正数T, 使得当t≥T时, =e(t)=≤ε₂+(ε₁)^1/2, 这里ε₂可以是任意小正数,即系统(1)和(2)达到拟同步,其中,ε₁=v/(1-e^-ρ)+α,v=(α+β)e^<sup>(μ₃-μ₁+μ₂)(ω-θ)-β, α=(Nε^-²ψ²)/(rγ₂), β=(Nε^-²ψ²)/(γ₂(μ₃-μ₁+μ₂))

【证】定义以下Lyapunov函数

V(t)=∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t)=eT(t)e(t),

V(t)沿着误差系统(6)求导,

当t∈[t_k,s_k]时,

V ^·(t)=2∑^N_i=1eT_i(t)e^·_i(t)=

2∑^N_i=1eT_i(t)[A_ie_i(t)+B_iη_i(t)+

c₁∑^N_i=1l_ijΓe_j(t)+c₂∑^N_i=1g_ijΓh(e_j(t-τ(t)))+

m_i(t)-c₁dΓe₁(t)]=

V₁(t)+V₂(t)+V₃(t)+V₄(t)+V₅(t)(7)

根据假设2,得0≤(η_il)/(cT_le_i(t))≤δ_l, l=1,2,…,m, 上式等价于η_il(η_il-δ_lcT_le_i(t))≤0,(8)

由于τ_l≥0, l=1,2,…,m, 根据式(8)可得

∑^m_l=1τ_lη_il(η_il-δ_lcT_le_i(t))≤0,

那么, ηT_i(Tη_i-TΔCe_i(t))≤0, i=1,2,…,N,

于是得

V₁(t)=2∑^N_i=1eT_i(t)[A_ie_i(t)+B_iη_i(t)]=

2eT(t)A ^{^}e(t)+2eT(t)B ^{^}η(t)≤

eT(t)(A ^{^}+A ^{^}T)e(t)+2eT(t)B ^{^}η(t)-

2ηT(t)(I_NT)η(t)+

2ηT(t)(I_NTΔC)e(t)-

2α₁eT(t)(I_NΓ)e(t)+

2α₁eT(t)(I_NΓ)e(t),

记y(t)=(eT(t),ηT(t))^T, 注意到定理1中条件ⅰ, 有

V₁(t)≤yT(t)Πy(t)+2α₁eT(t)(I_NΓ)e(t)≤

2α₁eT(t)(I_NΓ)e(t)(9)

V₂(t)=2c₁∑^N_i=1eT_i(t)∑^N_j=1l_ijΓe_j(t)=

2c₁eT(t)(LΓ)e(t)(10)

根据Cauchy不等式和假设3可得

V₃(t)=2c₂∑^N_i=1eT_i(t)∑^N_j=1g_ijΓh(e_j(t-τ(t)))=

2c₂eT(t)(GΓ)H(e(t-τ(t)))≤

c₂γ₁eT(t)(GGTΓΓT)e(t)+

(c₂)/(γ₁)λ_max(QTQ)eT(t-τ(t))e(t-τ(t))(11)

此外,由于max_1≤i≤N(=ΔA_i=+=ΔB_i==ΔC=)≤ψ, 有

V₄(t)=2∑^N_i=1eT_i(t)m_i(t)≤

γ₂∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t)+1/(γ₂)∑^N_i=1mT_i(t)m_i(t)≤

γ₂eT(t)e(t)+N/(γ₂)ε^-²ψ²(12)

最后

V₅(t)=-2c₁d∑^N_i=1eT_i(t)Γe₁(t)=

-2c₁eT(t)(DΓ)e(t)(13)

将式(9)至式(13)代入式(7)并结合定理1条件ⅱ和ⅲ,可得

V ^·(t)≤eT(t)[2α₁(I_NΓ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+

γ₂I+2c₁(L ^{^}Γ)+μ₁I]e(t)-

μ₁eT(t)e₁(t)+((c₂)/(γ₁)λ_max(QTQ)-

μ₂)eT(t-τ(t))e(t-τ(t))+

μ₂eT_i(t-τ(t))e(t-τ(t))+N/(γ₂)ε^-²ψ²≤

-μ₁eT(t)e(t)+μ₂eT(t-τ)e(t-τ)+

N/(γ₂)ε^-²ψ²=-μ₁V(t)+μ₂V(t-τ)+

N/(γ₂)ε^-²ψ²

这样,根据引理1可得到

V(t)≤=V_τ(t_k)=e^-γ(t-t_k)+(Nε^-²ψ²)/(rγ₂).(14)

当t∈(s_k,t_k+1)时,用类似方法并注意到定理1中条件ⅰ、ⅲ及ⅳ有

V ^·(t)=V₁(t)+V₂(t)+V₃(t)+V₄(t)≤

eT(t)[2α₁(I_NΓ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+

γ₂I-(μ₃-μ₁)I+2c₁(LΓ)]e(t)+

(μ₃-μ₁)eT(t)e(t)+μ₂eT(t-τ)e₁(t-τ)+

((c₂)/(γ₁)λ_max(QTQ)-μ₂)eT(t-τ)e(t-τ)+

N/(γ₂)ε^-²ψ²=(μ₃-μ₁)V(t)+μ₂V(t-τ)+

(Nε^-²ψ²)/(γ₂).

由引理2,可得

V(t)≤(=V_τ(s_k)=+(Nε^-²ψ²)/(γ₂(μ₃-μ₁+μ₂)))×

e^<sup>(μ₃-μ₁+μ₂)(t-s_k)-(Nε^-²ψ²)/(γ₂(μ₃-μ₁+μ₂))(15)

最后,由引理3,以及式(14)和式(15)可得

V(t)≤V_τ(0)e^ρe^-(ρ/ω)t+ε₁(16)

其中, α、 β、 ν、 ε₁和r如定理1中所定义,

V_τ(0)=Nmax_1≤i≤N sup_-τ≤κ≤0(φ_i(κ)-s(0)))^T ×

(φ_i(κ)-s(0)).

又因为V(t)≤=e(t)=²,

则由式(16)可得

=e(t)=≤(V_τ(0)e^ρe^-(ρ/ω)t+ε₁)^1/2≤

(V_τ(0)e^ρ)^1/2e^-(ρ/(2ω))t+(ε₁)^1/2

故对任意小正数ε₂, 存在正数T, 使得对任意t≥T, 有

=e(t)=≤ε₂+(ε₁)^1/2,

由定义1可知,系统(1)和系统(2)取得拟同步,证毕.

当 A_i=A, B_i=B时,显然max_1≤i≤N(=ΔA_i=+=ΔB_i==ΔC=)≡0, 即Lur'e网络(2)与系统(1)的参数匹配,相应地可得α=0、 β=0、 ν=0及ε₁=0, 则得到以下推论.

推论1 若假设1至假设3成立,且存在正数γ₁, μ₃>μ₂>μ₁, a₁和矩阵 Q=(q_ij)_n×n, 满足条件

ⅰ. Π=[A+AT-2α₁Γ B+CTΔT

BT+TΔC -2T]≤0,

ⅱ. μ₁I+2c₁(L ^{^}Γ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+2α₁(I_NΓ)≤0;

ⅲ.(c₂)/(γ₁)λ_max(QTQ)-μ₂≤0;

ⅳ. -(μ₃-μ₁)I+2c₁(LΓ)+c₂γ₁(GGTΓΓT)+2α₁(I_NΓ)≤0;

ⅴ. ρ=ρ₁-ρ₂=r(θ-τ)-(μ₃-μ₁+μ₂)(ω-θ)>0, r是方程r-μ₁+μ₂e^γτ=0的唯一正解.那么, =e(t)=≤(V_τ(0)e^ρe^-(ρ/ω)t)^1/2,当t→ +∞时, =e(t)=→0, 可见,系统(1)和系统(2)达到完全同步.

考虑由6个节点构成的异构Lur'e网络,每个节点的维数为3,模型由下面微分方程给出

s^·(t)=As(t)+Bf(Cs(t)),

其中, s(t)=[s₁, s₂, s₃]^T;

A=[-18/7 9 0

1 -1 1

0 -14 0]; B=[14

0

0];

C=diag(1 0 0);

f(Cs(t))=[(|s₁+1|-|s₂-1|)/2 0 0]^T.

内部耦合矩阵 Γ=diag(3, 3, 3);

外部耦合矩阵

G=[-14 4 0 10 0 0

4　　-7 3 0 0 0

0　　3 -3 0 0 0

10　　0 0 -16 6 0

0　　0 0 6 -11 5

0　　0 0 0 5 -5], L=G,

选择控制增益d=6, τ=0.01. 考虑非周期间歇牵制控制,这里[t_k,s_k]定义为

[0,3]∪[3.010,6.105]∪[6.110,9.125]∪[9.195,12.195]∪[12.2,15.2]∪[15.250,18.305]∪[18.35,21.35]∪[21.405,24.425]∪[24.505,27.525]∪…

图1 节点状态随时间的演变
Fig.1 Time response of the state of network node

可见, θ=3; ω=3.1. 图1为节点状态图,图2为目标节点状态图.为满足定理中的条件,通过LMI计算,可得α₁=4.29、 c₁=10、 c₂=0.35、 γ₁=0.36、 γ₂=0.32、 μ₁=3、 μ₂=1及μ₃=58, 由r-μ₁+μ₂e^γτ=0, 可得r=1.98. 取 A_i=(1+i/1 000)A, B_i=(1+i/1 000)B, i=1,2,…,6, 由图3可知,当t→+∞时, =e(t)=≤10, 通过计算max_1≤i≤6=ΔA_i=+=ΔB_i==ΔC=≤0.108 8, 代入相关式子估算得到误差界为43.92,由此可知异构复杂网络(2)和系统(1)可以达到拟同步.

图2 目标节点状态随时间的演变
Fig.2 Time response of the state of target node

图3 同步误差范数=e(t)=随时间的演变
Fig.3 Time response of the modulus of error variables

本研究基于非周期间歇牵制控制策略,讨论带有参数不匹配的非线性耦合时变时滞的异构Lur'e网络的拟同步问题.通过设计合理的Lyapunov函数,利用线性矩阵不等式以及严格的理论分析,实现了Lur'e网络的拟同步.最后,通过数值模拟验证所得结果的有效性.