作者简介:杨国增(1980—),男,郑州师范学院讲师.研究方向:泛函算子理论.E-mail:ygz_0907@163.com
中文责编:英 子; 英文责编:木 南
1)郑州师范学院数学与统计学院,河南郑州 450044; 2)陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062
线性算子理论; a-Weyl定理; 逼近点谱; 亚循环算子; 算子函数; Fredholm算子; 谱集; Browder谱
Yang Guozeng1, Kong Yingying2, and Cao Xiaohong21)School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Zhengzhou 450044, Henan Province, P.R.China; 2)Shaanxi Normal University, Institute of Mathematics and Information Science, Xi'an 710062, Shaanxi Province, P.R.China
linear operator theory; a-Weyl's theorem; approximate point spectrum; hypercyclic operators; operator function; Fredholm operator; spectrum set; Browder spectrum
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2017.04372
设H为无限维复可分的Hilbert空间, B(H)为H上的有界线性算子的全体.称T∈B(H)满足a-Weyl定理,若σa(T)\σea(T)=πa00(T), 其中, σa(T)和σea(T)分别表示算子T∈B(H)的逼近点谱和本质逼近点谱, πa00(T)={λ∈isoσa(T):0<dim N(T-λI)<∞}. 通过定义新的谱集,给出了算子函数满足a-Weyl定理的判定方法,研究了当T为亚循环算子时, 算子函数满足a-Weyl定理的充要条件.
Let H be an infinite dimensional separable complex Hilbert space and B(H)be the algebra of all bounded linear operators on H. For T∈B(H), we call a-Weyl's theorem holds for T if σa(T)\σea(T)=πa00(T), where σa(T)and σea(T)denote the approximate point spectrum and essential approximate point spectrum respectively, and πa00(T)={λ∈isoσa(t):0<dim N(T-λI)<∞}. Using the new defined spectrum, we investigate a-Weyl's theorem for operator function. Meanwhile, we characterize the sufficient and necessary conditions for operator function satisfying a-Weyl's theorem if T is a hypercyclic operator.
设H为无限维复可分的Hilbert空间, B(H)为H上的有界线性算子的全体.对于T∈B(H), 令N(T)和R(T)分别表示算子T的零空间和值域,若R(T)闭且n(T)=dim N(T)有限,称T为上半Fredholm算子; 若R(T)有有限的余维数d(T)=dim(H/R(T))=codim R(T), 则称T∈B(H)为下半Fredholm算子.若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子,则T∈B(H)称为Fredholm算子.对于半Fredholm算子,其指标定义为ind(T)=n(T)-d(T). 其中, n(T)和d(T)分别为算子T的零空间维数和值域的余维数.特殊地,当n(T)=0且R(T)闭时,称T为下有界算子.指标为0的Fredholm算子称为Weyl算子.算子T的升标asc(T)为满足N(T n)=N(T n+1)的最小非负整数,若这样的整数不存在,则记asc(T)=∞; 算子T的降标为满足R(Tn)= R(Tn+1)的最小的非负整数,同样若这样的整数不存在,则记des(T)=∞. 当T为有限升标和有限降标的Fredholm算子时,称T为Browder算子.
对T∈B(H),记σ(T),σw(T),σp(T),σa(T),σb(T),σab(T)、 σSF(T)和σea(T)分别表示算子T的谱、Weyl谱、点谱、逼近点谱、Browder谱、Browder本质逼近点谱、半Fredholm谱和本质逼近点谱.记ρ(T)=C\σ(T)、 ρa(T)=C\σa(T)、 ρb(T)=C\σb(T)、 ρab(T)=C\σab(T)、 ρSF(T)=C\σSF(T)、 ρea(T)=C\σea(T). 令Pab(T)={λ∈σa(T): T-λI为上半Fredholm算子,且asc(T-λI)<∞}, 将T的正规特征值记作σ0(T), 即σ0(T)=σ(T)\σb(T). 对KC, iso K表示集合K的孤立点集, acc K为K的聚点的全体; D为单位圆盘; T为单位圆周.
令T∈B(H), 对x∈H, x在T下的轨道定义为Orb(T, x)={ x, Tx, T2x, …}. 若Orb(T, x)在H中稠密, 则称x∈H为算子T的亚循环向量. 若T有亚循环向量,则称T为亚循环算子,用HC(H)表示H上的亚循环算子的全体, T∈HC(H)^-表示HC(H)的范数闭包.文献[1]给出了T∈HC(H)^-的判定,即T∈HC(H)^-当且仅当下列条件成立:① σw(T)∪D连通; ② σ0(T)=; ③ 任意λ∈ρSF(T), ind(T-λI)≥0, 其中, ρSF(T)={λ∈C: T-λI为上半或下半Fredholm算子}.
自Weyl[2]证明了自伴算子满足Weyl定理后,又有学者证明了hyponormal、Toelitz算子[3]、seminormal算子和其他算子及Banach空间上的算子也满足Weyl定理[4-5].近年来,关于Weyl定理的研究仍是一个热点,并产生众多成果[6-9].A-Weyl定理是Weyl定理的一种重要变形,若σa(T)\σea(T)=πa00(σa(T)\σea(T)πa00(T))或σea(T)=σab(T), 则称T∈B(H)满足a-Weyl(a-Browder)定理.其中, πa00(T)={λ∈iso σa(T): 0<dimN(T-λI)<∞}, dim N(T-λT)表示空间N(T-λT)的维数.显然,a-Weyl定理包含Weyl定理和a-Browder定理.
Kato[10]介绍了Kato谱,定义为σK(T)=C\ ρK(T). 其中, ρK(T)={μ∈C:N(T-μI)∩∞n=1R[(T-μI)n]}.本研究定义一种新的谱.设σvaw(T)=C\ρvaw(T),令ρvaw(T)={λ∈C:dim N(T-λI)<∞}, 且存在ε>0, 使当0<|μ-λ<ε|时, μ∈ρea(T)∩ρK(T)}. 显然, σvaw(T)σea(T)σab(T)σa(T)σ(T).
设H(T)为在σ(T)的一个邻域上解析,但在σ(T)的任一个分支上不为常值的函数全体.本研究用谱集σvaw(T)刻画了对任意f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理的判定方法,进而给出当T为亚循环算子时, f(T)满足a-Weyl定理的充要条件.
令T∈B(H), 若σ为σ(T)中的一闭开子集,则存在一个解析的柯西邻域Ω满足σΩ, 且
[σ(T)\σ]∩Ω^-=(1)
其中, Ω^-为集合Ω的闭包.令
E(σ; T)=1/(2πi)∫Γ(λI-T)-1dλ, Γ=Ω(2)
按Ω的正向积分,又令H(σ; T)=R(E(σ; T)). 显然,若λ∈iso σ(T), 则{λ}为σ(T)中的闭开子集,记H({λ}; T)为H(λ; T); 除此之外,若dim H(λ; T)<∞, 则λ∈σ0(T)[11].
为便于证明,本研究首先给出引理1至引理3.
引理1[12] 设T∈B(H), 若σ(T)= σ1∪σ2, 其中, σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集且σ1∩σ2=, 则
{H(σ1; T)+H(σ2; T)=H
H(σ1; T)∩H(σ2; T)={0}(3)
且T的分解为
T=[T1 0
0 T2] H(σ1; T)
H(σ2; T)(4)
其中,σ(Ti)=σi(i=1, 2).
引理2[13] 设T∈B(H), 若asc(T)≤p(p为某个非负整数),则N(T k)∩R(T p)={0}. 其中, k=1, 2, ….
引理3[14] 设T∈B(H), 若λ∈iso σ(T),则下列叙述是等价的:① λ∈ρSF(T); ②λ∈ρw(T); ③ λ∈σ0(T).
定理1 设T∈B(H), 则下列叙述是等价的:
1)σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理;
2)ρvaw(T)={λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T);
3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T).
【证】首先证明 1)2).这只需证明
ρvaw(T)={λ∈iso σ(T):n(T-λI)=
0}∪σ0(T)∪ρ(T)(5)
假设λ∈ρvaw(T)且λρ(T), 则根据引理2, n(T-λI)<∞且λ∈iso σa(T)∪ρa(T), 由于σ(T)=σa(T), 则有λ∈iso σ(T). 若n(T-λI)=0, 则λ∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}; 若0<n(T-λI)<∞, 则根据引理3,有λ∈σ0(T).
其次,证明 2)1).若T-λI为下有界算子,则λ∈ρvaw(T). 当 λ∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}, 根据引理3, λ∈ρ(T), 这与λ∈iso σ(T)矛盾; 而当λ∈σ0(T), λ∈ρ(T), 同样得到与λ∈σ0(T)矛盾.于是σ(T)=σa(T).
接下来证明T满足a-Weyl定理.由于[σa(T)\σea(T)]ρvaw(T), 而[σa(T)\σea(T)]∩{λ0∈C:n(T-λI)=0}=, [σa(T)\σea(T)]∩ρ(T)=, 于是有[σa(T)\σea(T)]σ0(T)πa00(T). 又因πa00(T)ρvaw(T), 而πa00(T)∩{λ0∈C:n(T-λI)=0}=, πa00(T)∩ρ(T)=, 故有πa00(T)σ0(T)[σa(T)\σea(T)].
综上可得, σa(T)\σea(T)=πa00(T), 即T满足a-Weyl定理.
最后证明 2)3).对2)中的等式变形,可得该式等价于
C=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=
0}∪σ0(T)∪ρ(T)(6)
上式等价于σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T).
注解1
1)在定理1中, σ(T)=σa(T)是本质的.例如,设T∈B(l2)定义为T(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …), 则有σ(T)=D, σa(T)=σea(T)=T,πa00(T)=, 以及ρvaw(T)={λ∈C:|λ|<1}∪{λ∈C:|λ|>1}.于是可得σ(T)≠σa(T), T满足a-Weyl定理,但因
{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪
ρ(T)={ λ∈C:|λ|>1}(7)
则有
ρvaw(T)≠{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=
0}∪σ0(T)∪ρ(T)(8)
2)谱集σvaw(T)有可能为.例如,设T∈B(l2)定义为T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,(x2)/2,(x3)/3,…), 则σvaw(T)=.
3)当σvaw(T)=时, T不一定满足a-Weyl定理.例如,设T∈B(l2)为2)中定义的算子,则σvaw(T)=, 且σa(T)\σea(T)=πa00(T)=, 于是T满足a-Weyl定理.
再如,T∈B(l2)定义为T(x1, x2, x3, …)=(0,0,(x2)/2,(x3)/3,…), 则σvaw(T)=. 但由于σa(T)=σea(T)={0},πa00(T)={0}即σa(T)\σea(T)≠πa00(T), 于是T不满足a-Weyl定理.
推论1 当且仅当σ(T)∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)时, σvaw(T)=, σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理.
注解2
1)在推论1中, 当σvaw(T)=, σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理时, σ(T)为有限集.
2)当σ(T)为有限集时,推论1不一定成立.例如,设T∈B(l2), 定义为T(x1, x2, x3, …)=(0,0,(x2)/2,(x3)/3,…), 则σ(T)=σa(T)=σea(T)=πa00(T)={0}有限,显然T不满足a-Weyl定理.
推论2 当且仅当σ(T)为有限集且σp(T)=σ0(T)时, σvaw(T)=, σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理.
下面给出算子函数满足a-Weyl定理的判断方法.
定理2 若σ(T)=σa(T),则对任意的f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理当且仅当下列条件成立:
1)对任意给定f∈H(T), 有f(σvaw(T))σvaw(f(T));
2)T满足a-Weyl定理;
3)σa(T)=σea(T)或ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T).
【证】 必要性.
条件1)对任意给定f∈H(T), 设μ0σvaw(f(T)), 则n(f(T)-μ0I)<∞, 且存在ε>0使当0<|μ-μ0|<ε时, f(T)-μI为上半Fredholm算子,ind(f(T)-μI)≤0且N(f(T)-μI)∩∞n=1R[(f(T)-μI)n].
由于f(T)满足a-Weyl定理,根据引理2,则μ0∈iso σa(f(T))∪ρa(f(T)).
设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n11(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中, λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k), g(T)可逆. 若μ0∈ρa(f(T)), 则λi∈ρa(T), λi∈ρvaw(T), 故μ0f(σvaw(T)); 若μ0∈iso σa(f(T)), 则λi∈iso σa(T)∪ρa(T). 又因 n(T-λiI)<n(f(T)-μ0I)<∞, 则λi∈ρvaw(T), 显然可得μ0f(σvaw(T)). 于是, 对任意给定f∈H(T), 有f(σvaw(T))σvaw(f(T)).
条件 2)显然成立.
条件 3)分两种情况讨论.
情况1:当πa00(T)=时,由T满足a-Weyl定理可知σa(T)=σea(T).
情况2:当πa00(T)=,即{λ∈iso σ(T):0<n(T-λI)<∞}≠时,下证{λ∈iso σ(T):0<n(T-λI)<∞}=; 否则, 取λ1={λ∈iso σ(T):0<n(T-λI)<∞}, λ2={λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}.
令σ1={λ1}, σ2={λ2}, 则σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集,根据引理1, T有分解
T=[T1
T2
T3] H(λ1; T1)
H(λ2; T2)
M
其中, σ(T1)={λ1}; σ(T2)={λ2}; σ(T3)=σ(T)\{λ1, λ2}; M为H(λ1; T1)与H(λ2; T2)的正交补空间.
令f(T)=(T-λ1I)(T-λ2I), 由于
f(T)=[f(T1)
f(T2)
f(T3)] H(λ1; T1)
H(λ2; T2)
M
则有{0}=σ(f(T1))=σ(f(T2)), 0σ(f(T3)), 因而0∈iso(f(T))且0<n(f(T))<∞, 即0∈πa00(f(T)). 由f(T)满足a-Weyl定理可知, f(T)为上半Fredholm算子,且asc(f(T))<∞, 从而有T-λ2I为上半Fredholm算子.又因为λ2∈iso σ(T), 由引理3可知,此时T-λ2I为Browder算子,再结合n(T-λ2I)=0可得, T-λ2I可逆,这与λ2∈iso σ(T)矛盾.由σ(T)=σa(T)知, {λ∈iso σa(T):n(T-λI)=0}=. 又因T满足a-Weyl定理,于是就有ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T).
充分性.
情况1:设ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T), 先证对于任意给定f∈H(T), 有σa(f(T))\σea(f(T))πa00(f(T)).
设μ0∈σa(f(T))\σvaw(f(T)), 则f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且ind(f(T)-μ0I)≤0. 不妨设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中, λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k),g(T)可逆.于是, T-λiI为上半Fredholm算子.显然μ0σvaw(f(T)). 根据1), μ0f(σvaw(T)), 则λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T), 于是对每一个1≤i≤k, T-λiI为上半Fredholm算子且升标有限.这样就可推导出f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且升标有限,故μ0∈iso σa(f(T)). 反之, 设μ0∈iso σa(f(T))且0<n(f(T)-μ0I)<∞. 类似的, 设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中, λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k),g(T)可逆. 则λi∈iso σa(T)∪ρa(T)且n(T-λiI)<∞, 于是λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T), 即T-λiI为上半Fredholm算子且ind(T-λiI)≤0, 因此有μ0∈ρea(f(T)). 这样就证明了当ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)时, 对任意给定的f∈H(T), 有σa(f(T))\σea(f(T))πa00(f(T)), 即f(T)满足a-Weyl定理.
情况2:设σa(T)=σea(T), 此时πa00(T)=.
在这种情况下,可断言,对任意给定的f∈H(T), 有σa(f(T))=σea(f(T))且πa00(f(T))=.
事实上,设f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且ind(f(T)-μ0I)≤0, 并设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中, λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k), g(T)可逆. 由μ0σvaw(f(T))可知
λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪{λ∈iso σa(T):
n(T-λI)=0}∪Pab(T)(9)
由于πa00(T)=, 则Pab(T)=. 这样, n(f(T)-μ0I)=0, 于是f(T)-μ0I为下有界算子.因此, σa(f(T))=σea(f(T)).
若存在μ0∈πa00(f(T)), 则μ0∈iso σa(f(T)), 且0<n(f(T)-μ0I)<∞. 类似的, 设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中, λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k), g(T)可逆.这时必然存在λj(λj∈iso σa(T))满足0<n(T-λjI)<∞, 则λj∈πa00(T), 这与πa00(T)=矛盾.
综上可知,对任意给定的f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理.
下面研究算子的亚循环性与a-Weyl定理的关系.
注解3
1)当T∈HC(H)^-时,并不能推导出T满足a-Weyl定理.
例如,设A, B∈B(l2), 且分别定义为A(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …)和B(x1, x2, …)=(x2, x3, …).令T=[A 0
0 B], 通过计算得σ(T)=σa(T)=D, σea(T)=T, π00(T)=πa00(T)=, σw(T)=T, σ0(T)=. 可见, T∈HC(H)^-, 但T并不满足a-Weyl定理.
2)当T满足a-Weyl定理时,并不能推导出T∈HC(H)^-.
例如,设T∈B(l2)定义为T(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …), 通过计算可得σ(T)=σw(T)=D, σa(T)= σea(T)=T, πa00(T)=, σ0(T)=, σvaw(T)=T. 于是有T∈HC(H)^-, 但T满足a-Weyl定理.
当T∈HC(H)^-时,基于定理1和定理2,本研究给出T及其函数f(T)满足a-Weyl定理的充要条件.
定理3 设T∈B(H), 则下列叙述等价.
1)T∈HC(H)^-, 且对任意给定的f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理;
2)T∈HC(H)^-, 且T满足a-Weyl定理;
3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0},且σw(T)∪D连通;
4)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}, 且σ(T)∪D连通;
5)ρvaw(T)=ρ(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}, 且σw(T)∪D连通.
【证】2) 3).
由T∈HC(H)^-可知, σ(T)=σa(T)且σ0(T)=.当T满足a-Weyl定理时,由定理1可得σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}; 反之, 首先证σ0(T)=.
由于σ0(T)=σ0(T)∩σ(T), 而σ0(T)∩σvaw(T)=, σ0(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}=,于是有σ0(T)=σ0(T)∩σ(T)=.
又由于ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]∪[ρSF(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}], 而[ρSF(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}]=, 于是有ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)].
由此可得, ρSF(T){λ∈ρSF(T): ind(T-λI)≥0}. 因此有T∈HC(H)^-.由定理1可知, T满足a-Weyl定理.
1) 2),显然成立.
2) 1).由T∈HC(H)^-可知σ(T)=σa(T), σea(T)=σw(T)且σ0(T)=. 根据定理2,只需证明σa(T)=σea(T)且对任意给定f∈H(T), f(σvaw(T))σvaw(f(T)). 由于T满足a-Weyl定理,于是有σea(T)=σw(T)=σb(T)=σ(T)\σ0(T)=σ(T)=σa(T). 对任意给定f∈H(T), 设μ0σvaw(f(T)), f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T), 其中λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k), g(T)可逆. 由ρvaw(·)的定义可知, 存在ε>0, 当0<|μ-μ0|<ε时, f(T)-μI为上半Fredholm算子, ind(f(T)-μI )≤0, 且
N(f(T)-μI)∩∞n=1R((f(T)-μI)n)(10)
于是,当0<|λ-λ1|充分小时, f(T)-f(λ)I为上半Fredholm算子,ind(f(T)-f(λ)I)≤0且
N(f(T)-f(λ)I)∩∞n=1R((f(T)-f(λ)I)n)(11)
对此λ,设f(T)-f(λ)I=(T-λ'1I)n1(T-λ'2I)n2…(T-λ'mI)nm×h(T), 其中,项式分解中的复数λ'i≠λ'j(i≠j,1≤i,j≤m),λ'1=λ, 且h(T)可逆,则T-λi'I对所有1≤i≤m来说均为上半Fredholm算子.由T∈HC(H)^-可知ind(f(T)-f(λ)I)≥0, 从而f(T)-f(λ)I为Weyl算子,因此可知T-λi'I对于所有1≤i≤m来说均为Weyl算子.由T满足a-Weyl定理以及σ0(T)可知, T-λi'I对于所有1≤i≤m来说均可逆.这样就证明了λ1∈iso σ(T)∪ρ(T).
同理可知,λi∈iso σ(T)∪ρ(T), 其中2≤i≤m. 显然, n(T-λiI)≤n(f(T)-μ0I)<∞. 因此λ0iso σvaw(T), 1≤i≤m. 于是有任给f∈H(T), f(σvaw(T))σvaw(f(T)). 根据定理2,任给f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理.
3) 4).因为σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0} 而σw(T)∩σvaw(T)=σvaw(T),σw(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}={λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0},则σw(T)=σw(T)∩σ(T)=σ(T), 故结论成立.
4) 5)显然成立.
从定理3的证明容易得出,若T∈HC(H)^-且T满足a-Weyl定理,则σ(T)=σw(T), 且对任意f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理.
推论3 下列叙述是等价的.
1)σvaw(T)=, T∈HC(H)^-且f(T)满足a-Weyl定理;
2)σvaw(T)=, T∈HC(H)^-且T满足a-Weyl定理;
3)σ(T)={λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}且σw(T)∪D连通.
推论4 下列叙述是等价的.
1)σvaw(T)=, T∈HC(H)^-且f(T)满足a-Weyl定理; 2)σvaw(T)=, T∈HC(H)^-且T满足a-Weyl定理;
3)σ(T)为有限集, σp(T)=且σw(T)∪D连通.
因此可证明,在推论4中,“σw(T)∪D连通”可改为“σ(T)∪D连通”.
本研究基于新定义的谱集σvaw(T), 给出了对任意的f∈H(T), f(T)满足a-Weyl定理的判定方法,进而研究了当T为亚循环算子时, f(T)满足a-Weyl定理的充要条件.下一步,我们将对一般的算子T的函数演算满足Weyl's定理进行刻画.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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