参考概率空间(Ω, F_t, F, P)建立风险模型.保险公司经典的盈余过程为

R(t)=x₀+ct-S(t)(1)

其中, R(t)为保险公司在t时刻的盈余; x₀为初始盈余; c为保费率; S(t)=∑^N(t)_i=1Y_i为保险公司截至t时刻的累积索赔, Y_i为第i次索赔时的赔付额, N(t)是参数为λ的Poisson过程,表示截至t时刻索赔发生的次数.

通过计算可得S(t)的期望E[S(t)]=α₁t. 其中, α₁=λp₁; p₁为索赔额的期望p₁=E[Y_i]. S(t)的方差Var S(t)=α²₂t, α为固定时刻t的方差, α²₂=λp₂, 索赔额的二阶矩p₂=E[Y²_i].

Taksar等^[19]认为,经典的盈余过程可近似地用扩散过程来描述,即

dR(t)=cdt-α₁dt+α₂dB¹_t(2)

其中, B¹_t是定义在概率空间(Ω, F_t, F, P)上的一维标准布朗运动; 其他参数定义如式(1).为安全起见,保费率需满足c=(1+θ)α₁, θ为安全负载系数, θ>0. 因此,保险公司的盈余过程满足

dR(t)=θα₁dt+α₂dB¹_t(3)

考虑保险公司可以在破产前将部分盈余投资于其价格为P(t), 且满足方程

dP(t)=P(t)(μ₀dt+σ₀dB²_t)(4)

的风险资产,同时,投资价格B(t)满足方程dB(t)=r₀B(t)dt的无风险资产.这里, μ₀是风险资产的期望收益率; σ₀是波动率; r₀是无风险利率; B²_t是定义在(Ω, F_t, F, P)上的一维标准布朗运动,本研究假设B²_t与B¹_t相互独立.这里的F_t是虑子F^B1_ttF^B2_tt=σ{B¹_s:0≤s≤t}σ{B²_s:0≤s≤t}关于P的完备化,符号为乘积.设投资于风险资产(如股票)的额度为π(t, x), x为财富值, 则保险公司的盈余过程满足

dR(t)=[R(t)r₀+π(t, x)(μ₀-r₀)+

θα₁]dt+α₂dB¹_t+π(t)σ₀dB²_t(5)

继续考虑再保险业务,设再保险的自留比例为q(t, x), 再保险的保费安全负载为η, η>θ, 则盈余过程可描述为

dR(t)={π(t,x)μ₀+[R(t)-π(t, x)]r₀+

(1+θ)α₁-[1-q(t,x)(1+

η)α₁]}dt-q(t,x)(α₁dt-α₂dB¹_t)+

π(t,x)σ₀dB²_t(6)

整理后可得

dR(t)=[R(t)r₀+π(t, x)(μ₀-r₀)+

(θ-η)α₁+q(t,x)ηα₁]dt+

q(t,x)α₂dB¹_t+π(t,x)σ₀dB²_t(7)

称满足以下条件的控制策略(π(t, x), q(t, x))的全体构成的集合为可行集Π: ①(π(t, x), q(t, x))是F_t自适应的; ② ∫₀^Tπ²(t, x)dt<∞ a·e,q(t, x)≤1; ③(π(t, x), q(t, x))是方程(1)的唯一强解.

保险公司主观选择的经济环境和市场真实的经济环境之间肯定存在差异,本研究将这种差异刻画化为随机过程θ(t), 并在此基础上给出自然控制的随机概率测度P_θ.

设定义在(Ω, F_t, F, P)上的实值随机过程{θ(t):t≥0}满足: ① {θ(t):t≥0}是F_t循序可测的; ② 对几乎所有的(t, ω)∈[0, ∞)×Ω, 都有θ(t)= θ(t, ω)<1; ③ 对任意停时T<∞, 满足Novikov条件E[exp(1/2∫₀^Tθ²(t)dt)]<∞.记满足以上条件的所有θ(t)构成的集合为Θ, Θ为自然可控制集,不同的θ(t)∈Θ代表不同的实际经济环境.下面将给出相应经济环境下的概率测度.

对θ(t)∈Θ, 定义F_t适应的随机过程Z^θ(t)=exp[-∫₀^tθ(s)dB¹_s-∫₀^tθ(s)dB²_s-∫₀^tθ²(s)ds],t>0; Z^θ(0)=1, P-a.s, 则由Itô公式得

dZ^θ(t)=-Z^θ(t)θ(t)(dB¹_s+dB²_s), t >0(8)

显然, Z^θ(t)是(F_t, P)上的局部鞅.进一步假设{θ(t): t≥0}是关于概率测度P-a.e有界的,则Z^θ(t)是(F_t, P)上的鞅,因此E[Z^θ(T)]=E[Z^θ(0)]=1.

对θ(t)∈Θ, 定义关于参考概率测度P绝对连续的随机概率测度P^θ满足(dP^θ(ω))/(dP(ω))=Z^θ(T), 则P^θ是与自然状态θ(t)对应的新概率测度.

假设保险公司对股东或投保人考虑以b>0为界进行分红,即当R(t)≥b时,保险公司将超出b的部分全部分红.记D(t)为截至t时刻的累积分红,称R^-(t)=R(t)-D(t)为修正盈余, T=inf{t≥0:R^-(t)<0|R^-(0)=x}为破产时刻.当修正盈余在破产时刻T由正值变为负值时,可考虑注入一定数量的资金将修正盈余补齐,此为注资过程.记Z(t)为保险公司截至t时刻的累积注资,则

Z(t)=max{-inf_0≤s≤t(R(s)-D(s)), 0}(9)

在注资-分红机制下保险公司的盈余过程为

R(t)^D,Z,π,q=R(t)-D(t)+Z(t)(10)

若策略(D, Z)满足

P(R(t)^{D, Z, π, q}≥0,

t≥0|R^{D, Z, π, q}(0)=0)=1(11)

则称其为允许策略,记全体允许策略的集合为H. 以下考虑的注资-分红策(D, Z)∈H.

考虑在有限时间段[0, T]内,在保险公司和资本市场之间进行二人-零和随机微分博弈,作为主导者的保险公司,其对手是市场.记值函数为

J^{D, Z, π, q}(t, x, z; b)=E_θ[∫₀^te^-δsdD(s)-

φ∫₀^te^-δsdZ(s)|R^{D, Z, π, q}(t)=x, Z_θ(t)=z],

t∈[0, T](12)

其中, δ为贴现率, δ<r₀; E_θ为概率测度P_θ下的条件期望; φ>1为惩罚因子,表示如果发生破产,需注入实际损失的φ倍资金作为惩罚.

保险公司的目标是通过选择最优的投资策略π^*(t, x)和再保策略q^*(t, x), 使在市场最坏情形下的值函数最大,而市场的目标是通过选择最坏的环境θ^*(t)使值函数最小,即最优值函数为

V(t, x, z; b)=inf_θ∈Θ sup _π,q∈Π J(t, x, z; b)=

J^π*, q^*, θ^*(t, x, z; b)(13)

s.t. dR(t)=[R(t)r₀+π(t, x)(μ₀-r₀)+

(θ-η)α₁+q(t, x)ηα₁]dt+

q(t, x)α₂dB¹_t+π(t, x)σ₀dB²_t(14)

其中, J(t, x, z; b)为分红与注资之差的总现值的期望; J^{π*, q*, θ*}(t, x, z; b)为最大分红注资之差的总现值期望.

式(13)和式(14)即本研究提出的随机微分博弈问题.

考虑到要满足引理中的各个条件,以及文献[21]的结果,猜测值函数需具有以下形式

V(t,x,z; b)=g(t)z×

(b-((η-θ)α₁)/(r₀))/k[(x-((η-θ)α₁)/(r₀))/(b-((η-θ)α₁)/(r₀)-h(t))]^k(19)

其中, 0≤x<b. 则有

V_t=V[(g'(t))/(g(t))+(kh'(t))/(b-((η-θ)α₁)/(r₀)-h(t))]

V_x=V[k/(x-((η-θ)α₁)/(r₀))]

V_xx=V(k(k-1))/([x-((η-θ)α₁)/(r₀)]²)

V_z=V1/z

V_zz=0

V_xz=V[k/(x-((η-θ)α₁)/(r₀))]1/z.

将V(t, x, z; b)的各阶导数代入方程(17),可得

0=inf_θ∈Θ sup _π,q∈Π {V[(g'(t))/(g(t))+(kh'(t))/(b-((η-θ)α₂)/(r₀)-h(t))]+[xr₀+π(t)(μ₀-r₀)+(θ-η)α₁+q(t)ηα₁]×

V[k/(x-((η-θ)α₂)/(r₀))]+1/2[q²(t)α²₂+π²(t)σ²₀]V(k(k-1))/([x-((η-θ)α₂)/(r₀)]²)-zθ(t)[q(t)α₂+π(t)σ₀]×

V[k/(x-((η-θ)α₂)/(r₀))]1/z-δV}(20)

其中, g(t)为时间函数; g'(t)为g(t)的一阶导数; h(t)为另一时间函数; h'(t)为h(t)的一阶导数; k为常数; σ₀为风险资产收益的波动率.

由一阶最优性条件可得

π^*(t,x)=(zθ(t)σ₀V_xz-(μ₀-r₀)V_x)/(σ²₀V_xx)=

(θ(t)σ₀-(μ₀-r₀))/(σ²₀)×

(x-((η-θ)α₁)/(r₀))/(k-1)(21)

q^*(t,x)=(zθ(t)α₂V_xz-ηα₁V_x)/(σ²₂V_xx)=

(θ(t)α₂-ηα₁)/(α²₀)×

(x-((η-θ)α₁)/(r₀))/(k-1)(22)

将式(21)和式(22)代入方程(20),可得

0=inf_θ∈Θ [(g'(t))/(g(t))+(kh'(t))/(b-((η-θ)α₁)/(r₀)-h(t))]+r₀k+

[-θ²(t)+((ηα₁)/(α₂)+(μ₀-r₀)/(σ₀))θ(t)-

1/2(((μ₀-r₀)²)/(σ²₀)+(η²α²₁)/(α²₂))]k/(k-1)-δ=0(23)

对方程(23),由一阶最优性条件可得

θ^*(t)=1/2((ηα₁)/(α₂)+(μ₀-r₀)/(σ₀))(24)

将式(24)代入方程(20),可得

[(g'(t))/(g(t))+(kh'(t))/(b-((η-θ)α₁)/(r₀)-h(t))]+r₀k-

1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²k/(k-1)-δ=0(25)

于是得到常微分方程

g'(t)-1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²k/(k-1)δ(t)=0(26)

h'(t)-(r₀-δ/k)h(t)+

(r₀-δ/k)(b-(η-θ)/(r₀)α₁)=0(27)

g(T)=1(28)

h(T)=0(29)

因此可解得

g(t)=exp{k/(4(k-1))((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²(t-T)}(30)

h(t)=[b-((η-θ)α₁)/(r₀)][1-e^{(r-δ/k)(t-T)}]=0(31)

最后,将式(24)代入式(21)和(22),可得

π^*(x)=1/(2σ₀)((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))(x-((η-θ)α₁)/(r₀))/(k-1)(32)

q^*(x)=1/(2α₂)((μ₀-r₀)/(σ₀)-(ηα₁)/(α₂))(x-((η-θ)α₁)/(r₀))/(k-1)(33)

由式(25)、式(30)和式(31)可得,当t=T时,有

r₀k-1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²k/(k-1)-δ=0(34)

整理后有

r₀k²-[r₀+1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²+δ]k+

δ=0(35)

显然

Δ=[r₀+1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²+δ]²-

4r₀δ>0(36)

则

k=([r₀+1/4((ηα₁)/(α₂)-(μ₀-r₀)/(σ₀))²+δ]²+Δ^1/2)/(2r₀)(37)

此时,可验证V_x(T, b, 1; b)=1成立.

由边界条件(6)中V_x(T, 0, 1; b)=φ可得

φ=[(((η-θ)α₁)/(r₀))/(((η-θ)α₁)/(r₀)-b)]^k-1(38)

因此可证k>1恒成立,且当0<b<((η-θ)α₁)/(r₀)时,惩罚系数φ>1亦成立.

当x≥b时,最优投资-再保险策略和最优市场策略与0≤x<b时一致,最优分红函数为

V(t, x, z; b)=x-b+g(t)z×

(b-((η-θ)μ₀)/(r₀))/k[(b-((η-θ)μ₀)/(r₀))/(b-((η-θ)μ₀)/(r₀)-h(t))]^k(39)

综上可见,当保险公司选择的经济环境与市场真实的经济环境吻合,即θ(t)=0时, g(T)=1和h(T)=0, 此时最优投资-再保策略的解析表达与文献[21]中不考虑模型风险时的结果一致,因此,文献[21]的结果可视为本研究结果的特殊情形.