复杂网络是复杂系统的一种网络形式,是对复杂系统相互作用的一种本质抽象,普遍存在于现实世界中,如万维网、电力网、通讯网及生物网等^[1-3].同步是指网络中耦合节点的动力学行为经过一段时间的演变最终达到相同的状态,是网络上典型的集体运动形式和网络结构导致的涌现现象,近年已成为网络科学的研究热点之一,受到不同学科研究者的广泛关注,并取得大量研究成果,这些研究大都涉及完全同步^[4]、指数同步^[5]、渐近同步^[6]及广义同步^[7]等的讨论.

上面所提及的网络同步指的都是当时间趋于无穷时达到的同步,然而,在工程领域却经常需要尽可能快地达到同步,即在一定的时间内达到同步,也就是有限时间同步^[8-9].例如,在安全通信中通常需要在较短时间内恢复传递信号,以此来提高其有效性和保密性,所以有限时间同步不仅能在收敛时间内达到最佳性,而且对外部不确定因素具有更好的抗干扰能力,并能增强系统的鲁棒性^[10-12].2010年,Yang等^[13]首先讨论一类复杂网络的有限时间随机同步问题,2013年,他们又研究了非恒同不连续节点网络的有限时间同步^[14].与此同时Mei等^[15]研究了带有不确定参数驱动响应系统的有限时间结构识别和同步.但上述研究忽略了时滞,而时滞在现实世界中普遍存在^[16],如电话通信,QQ联系时由于通信信道阻塞等多种原因是存在时间延迟的.近来的一些研究中也注意到时滞的影响,如Mei等^[17]利用脉冲控制和间歇控制实现了带有耦合时滞的复杂动力网络的有限时间同步; Li等^[8]对带有时变时滞的耦合网络有限时间同步问题进行讨论; Cui等^[18]给出了带有部分未知转移率和内部时滞的马氏跳复杂网络的有限时间同步充分条件,但仅考虑了内部时滞或者耦合时滞.本研究考虑内部时滞和耦合时滞均存在且为时变的实际网络.另一方面,网络结构是随着时间演变在不断变化的,为使所研究的情形更加符合实际,现有研究引入马尔可夫链(简称为马氏跳)来描述网络的结构变化,即网络的结构只在有限个状态下发生变化,且由一种状态依一定概率变化到另一种状态,事实上,这种现象存在于现实网络中,如神经网络^[19]、基因调控网络^[20]及Hopfield网络^[21]等.然而在大多数情况下,马氏跳网络的转移率是未知的,且对状态转移率的估计值可能引起网络的不稳定或降低系统的表现,最近得到一些有关不确定转移率的拓展结果^[22-24],但上述这些工作中均要求不确定转移率是有界的.通过上述分析,对未知转移率无任何附加条件下考虑带有部分未知转移率的马氏跳复杂网络的有限时间同步是非常有意义的.

受相关研究启发,本研究考虑带有内部时滞(发生在节点内部的时滞)和耦合时滞(节点之间产生的时滞),且有部分未知转移率马氏跳复杂网络的有限时间同步问题,通过设计一系列控制器,根据有限时间稳定定理,经过严格的数学证明得到该类网络的有限时间同步判据.最后,通过数值模拟论证所得理论结果的有效性.

考虑如下复杂网络模型:

x^·_i(t)=f(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t)))+

c₁∑^N_j=1a_ij(r_t)Γx_j(t)+c₂∑^N_j=1b_ij(r_t)Γx_j(t-

τ₂(t))), i=1,2,…,N(1)

其中, x_i(t)=(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t))^T∈Rⁿ是第i个节点的状态变量; c₁>0和c₂>0分别是非时滞耦合与时滞耦合的耦合强度; τ₁(t)和τ₂(t)分别是内部时滞和耦合时滞,满足0<τ₁(t)≤τ₁, 0<τ₂(t)≤τ₂和(·overτ)₁(t)≤h₁<1, τ^·₂(t)≤h₂<1, τ₁、 τ₂、 h₁及h₂都是正常数; f(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t)))=(f₁(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t))),…, f_n(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t))))^T表示连续的向量值函数; Γ=diag{γ₁,γ₂,…,γ_n}是正定的内耦合矩阵; A=(a_ij(r_t)), B=(b_ij(r_t))∈R^N×N分别表示非时滞耦合和时滞耦合的矩阵,代表在时刻t、 状态r_t时的网络结构.

若节点i和j之间有连接,则a_ij(r_t)>0, b_ij(r_t)>0; 否则a_ij(r_t)=0, b_ij(r_t)=0,且定义a_ii(r_t)=-∑^N_{j=1, j≠i}a_ij(r_t), b_ii(r_t)=-∑^N_{j=1, j≠i}b_ij(r_t). 这里r_t是取值于状态空间S={1,2,…,M}的连续时间马氏过程,其演变过程由下列条件概率表示为

P{r_t+Δt=P:r_t=r}={π_rpΔt+o(Δt), p≠r

1+π_rpΔt+o(Δt), p=r

其中, Δt>0, 满足lim_Δt→0(o(Δt))/(Δt)=0. 除此之外, π_rp≥0表示p≠r时从r到p的转移率,且π_rr=-∑^M_{p=1, p≠r}π_rp,本研究假设部分转移率已知,但另一部分未知,所以复杂网络(1)的转移率矩阵为

[π₁₁ π₁₂ … ?

π₂₁ ? … ?

   

? π_M2 … π_MM], 其中, ?代表未知转移率, 记S^r₁={p|π_rp是已知的}, S^r₂={p|π_rp是未知的}, 显然S=S^r₁∪S^r₂.

网络(1)的初始条件为

x_i(z)=φ_i(z)∈C([-τ,0],Rⁿ),

i=1,2,…,N

其中, τ=max{τ₁,τ₂}, C([-τ,0],Rⁿ)表示从区间[-τ,0]映射到Rⁿ的连续函数集.

网络(1)的孤立节点方程为

s^·(t)=f(t, s(t), s(t-τ₁(t)))(2)

用s(t)表示式(2)满足初始条件s(t)=ψ(t),t∈[-τ,0]的解.其中, ψ(t)∈C([-τ,0], Rⁿ).

本研究旨在通过设计适当的控制器使系统(1)在给定时间内同步到系统(2),为此首先给出文中所用到的定义、引理及假设.

定义1^[18] 马氏跳复杂网络(1)是有限时间同步的,若存在t^*>0, 对任意的t≥t^*,使

lim_t→t^*∑^N_i=1E=x_i(t)-s(t)==0(3)

成立.

假设1^[18] 存在两个常数矩阵Θ=(θ_ij)_n×n和Φ=(φ_ij)_n×n, 其中, θ_ij≥0, φ_ij≥0, 使得系统(1)中的 f(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t)))满足

|f_i(t,x(t),x(t-τ₁(t)))-

f_i(t,y(t),y(t-τ₁(t)))|≤

∑ⁿ_j=1(θ_ij|x_j(t)-y_j(t)|+

φ_ij|x_j(t-τ₁(t))-y_j(t-τ₁(t))|),

x=(x₁,x₂,…,x_n)^T∈Rⁿ,

y=(y₁,y₂,…,y_n)^T∈Rⁿ, i=1,2,…,n.(4)

注1 若式(4)中τ₁(t)=0, 则式(4)变为

|f_i(t,x(t))-f_i(t,y(t))|≤

∑ⁿ_j=1θ_ij|x_j(t)-y_j(t)|.

引理1^[10] 假设方程V(t):[0,∞)→[0,∞)可微(V(t)在0点的微分指它在该处的右微分),且有(dV(t))/(dt)≤-ηV ^α(t)成立, 其中, η>0, 0<α<1. 则V(t)在t^*≤(V ^1-α(0))/(η(1-α))上将趋于0,且V(t)≡0, t≥t^*.

引理2^[17] 对于x₁, x₂,…,x_n∈Rⁿ是任意向量, 0<q<2是一个实数,则下式成立:

=x₁=^q+=x₂=^q+…+=x_n=^q≥

(=x₁=²+=x₂=²+…+=x_n=²)^<sup>q/2

复杂网络的有限时间同步

为实现网络系统(1)在有限时间内同步,需要施加一些控制器u_i(t), 这样被控制的网络系统为

x^·_i(t)=f(t,x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))+

c₁∑^N_j=1a_ij(r_t)×Γx_j(t)+

c₂∑^N_j=1b_ij(r_t)Γx_j(t-τ₂(t))+u_i(t)(5)

记e_i(t)=x_i(t)-s(t), 根据式(2)和式(5),并注意到 A和 B的性质可得误差系统为

e^·_i(t)=f(t,x_i(t),x_i(t-τ₁(t)))-

f(t,s(t),s(t-τ₁(t)))+

c₁∑^N_j=1a_ij(r_t)Γe_j(t)+

c₂∑^N_j=1b_ij(r_t)Γe_j(t-

τ₂(t))+u_i(t), i=1,2,…,N(6)

设计下述形式的控制器

u_i(t)=-ξ_i(r)e_i(t)-k_i(r)sign(e_i(t))|e_i(t)|^β-

k_i(r)(∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds)^(1+β)/2×</sub>

((e_i(t))/(=e_i(t)=²))-k_i(r)×

(∫^t_t-τ2(t)eTi(s)ei(s)ds)^<sup>(1+β)/2((ei(t))/(=ei(t)=²))(7)</sub>

其中, ξ_i(r)>0; k_i(r)>0; 0<β<1; sign(·)表示符号函数; |e₁(t)|^β=(|e_i1(t)|^β,…,|e_in(t)|^β)^T, sign(e₁(t))=diag{sign(e_i1(t)),…,sign(e_in(t))}.

在控制器(7)的作用下,我们讨论受控系统(6)在原点处的有限时间稳定.以下为本研究所取得的主要结果.

定理1 若函数 f(t, x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))满足式(4),且以下不等式成立

{φ+h₁-1≤0,

(((ρ+π_r+2)I_N+)/(2c₁γ_jA(r)-2Ξ(r))c₂γ_jBT(r)

c₂γ_jB(r)-(1-h₂)I_N)≤0

q_p-b_r≤0, p≠r, p∈S

q_p-b_r≥0, p=r, p∈S(8)

其中, π_r=∑_p∈Sr1πrp(qp-br)/qr,(br>0,qr>1); ρ=max1≤j≤n∑nv=1(θ2εjv+φ2εjv+θ2(1-ε)vj); φ=max1≤j≤n∑nv=1(φ2(1-ε)vj); 0<ε<1是任意数; Ξ(r)=diag{ξ1(r),…,ξN(r)}. 则复杂网络(1)在有限时间t*≤t0+(EV^1-(1+β)/2(t, e(t),r)|t=t0)/(2k(1-(1+β)/2))内同步到式(2),其中, k=min(ki(r)).</sub>

【证】对任意的q_r>1和r∈S, 选取如下随机Lyapunov-Krasovskii函数

V(t,e(t),r)=q_r[∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t)+∑^N_i=1∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds+∑^Ni=1∫^tt-τ</sub>2(t)eTi(s)ei(s)ds](9)</sub>

根据伊藤公式,代入式(6)得

LV(t,e(t),r)=2q_r∑^N_i=1eT_i(t)[f(t, x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))-f(t, s(t), s(t-τ₁(t)))+u_i(t)+

c₁∑^N_j=1a_ij(r)Γe_j(t)+c₂∑^N_j=1b_ij(r)Γe_j(t-τ₂(t))]+q_r∑^N_i=1[eT_i(t)e_i(t)-

(1-τ^·₁(t))eT_i(t-τ₁(t))e_i(t-τ₁(t))]+q_r∑^N_i=1[eT_i(t)e_i(t)-

(1-τ^·₂(t))eT_i(t-τ₂(t))e_i(t-τ₂(t))]+

∑_p∈Sπ_rpq_p[∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t)+∑^N_i=1∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds+∑^Ni=1∫^tt-τ</sub>2(t)eTi(s)ei(s)ds](10)</sub>

由式(4)且注意到,对μ>0, x和y∈R, 0<ε<1有2μ|xy|≤μ^2εx²+μ^2(1-ε)y², 则

2q_r∑^N_i=1eT_i(t)[f(t, x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))-f(t, s(t), s(t-τ₁(t)))]≤

2q_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)||f_j(t, x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))-f_j(t, s(t), s(t-τ₁(t)))|≤

2q_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1∑ⁿ_v=1θ_jv|e_ij(t)||e_iv(t)|+2q_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1∑ⁿ_v=1φ_jv|e_ij(t)||e_iv(t-τ₁(t))|≤

q_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1∑ⁿ_v=1(θ^2ε_jv+φ^2ε_jv+θ^2(1-ε)_vj)e²_ij(t)+q_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1∑ⁿ_v=1φ^2(1-ε)_vje²_ij(t-τ₁(t))(11)

又因为∑_p∈Sπ_rp=0, 则(∑_p∈Sr1πrp+∑p∈S</sup>r</sub>2πrp)br=0, 式(10)变为</sup></sub>

LV(t,e(t),r)≤ρq_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)|²+φq_r∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t-τ₁(t))|²+2c₁q_r∑^N_i=1∑^N_j=1a_ij(r)eT_i(t)Γe_j(t)+

2c₂q_r∑^N_i=1∑^N_j=1b_ij(r)eT_i(t)Γe_j(t-τ₂(t))-2q_r∑^N_i=1eT_i(t)ξ_i(r)e_i(t)-

2q_r∑^N_i=1eT_i(t)k_i(r)sign(e_i(t))|e_i(t)|^β-2q_r∑^N_i=1eT_i(t)k_i(r)(∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds)^<sup>(1+β)/2((ei(t))/(=ei(t)=²))-</sub>

2q_r∑^N_i=1eT_i(t)k_i(r)(∫^t_t-τ2(t)eTi(s)ei(s)ds)^<sup>(1+β)/2((ei(t))/(=ei(t)=²))+2qr∑^Ni=1eTi(t)ei(t)-</sub>

q_r(1-h₁)∑^N_i=1eT_i(t-τ₁(t))e_i(t-τ₁(t))-q_r(1-h₂)∑^N_i=1eT_i(t-τ₂(t))e_i(t-τ₂(t))+

∑_p∈Sπ_rpq_p[∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t)+∑^N_i=1∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds)+∑^Ni=1∫^tt-τ</sub>2(t)eTi(s)ei(s)ds)]≤</sub>

q_r(φ+h₁-1)∑^N_j=1(～overe)T_j(t-τ₁(t))(～overe)_j(t-τ₁(t))+q_r(～overe)T(t)×

((ρ+π_r+2)I_N+2c₁γ_jA(r)-2Ξ(r)c₂γ_jBT(r)

c₂γ_jB(r)-(1-h₂)I_N)×(～overe)(t)-

2kq_r(∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)|^1+β)-2kq_r∑^N_i=1(∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds)^(1+β)/2-</sub>

2kq_r∑^N_i=1(∫^t_t-τ2(t)eTi(s)ei(s)ds)^(1+β)/2+∑p∈Sr</sub>2πrp(qp-br)∑Ni=1eTi(t)ei(t)+</sup></sub>

∑_p∈Sπ_rp(q_p-b_r)[∑^N_i=1∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds+∑^Ni=1∫^tt-τ</sub>2(t)eTi(s)ei(s)ds].(12)</sub>

此处(～overe)_j(t)=(e_1j(t),e_2j(t),…,e_Nj(t))^T,(～overe)(t)=((～overe)_j(t)

(～overe)_j(t-τ₂(t))).注意到条件(8),在式(12)两端取期望可得

E[LV(t, e(t),r)]≤

E(-2kq_r(∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)|^1+β+

∑^N_i=1(∫^t_t-τ1(t)eTi(s)ei(s)ds)^(1+β)/2+</sub>

∑^N_i=1(∫^t_t-τ2(t)eTi(s)ei(s)ds)^(1+β)/2))(13)</sub>

由引理2可得

(∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)|^1+β)^1/(1+β)≥(∑^N_i=1∑ⁿ_j=1|e_ij(t)|²)^1/2,

则式(13)可改写为

E[LV(t,e(t),r)]≤-2k(EV(t, e(t),r))^(1+β)/2.

由引理1知, E(V(t, e(t),r))在有限时间内趋于0,同时可估计同步时间的上界为

t^*≤t₀+(EV^1-(1+β)/2(t, e(t),r)|_t=t0)/(2k(1-(1+β)/2)).

因此,误差向量 e_i(t),i=1,2,…,N在时间t^*内将会趋于0.此定理得证.

当内部时滞与耦合时滞都等于零时,相应的系统为

x^·_i(t)=f(t, x_i(t))+c₁∑^N_j=1a_ij(r_t)Γx_j(t)(14)

其孤立节点的方程为

s^·(t)=f(t, s(t))(15)

设计控制器为

u_i(t)=-ξ_i(r)e_i(t)-

k_i(r)sign(e_i(t))|e_i(t)|^β(16)

由此可得如下推论.

推论1 若假设1成立,且

{(ζ+π_r)I_N+2c₁γ_jA(r)-2Ξ(r)≤0

q_p-b_r≤0, p≠r, p∈S^r₂

q_p-b_r≥0, p=r, p∈S^r₂(17)

其中, π_r=∑_p∈Sr1πrp(qp-br)/qr,(br>0, qr>1), ζ=max1≤μ≤n∑nv=1(θ2εμv+θ2(1-ε)vμ), 0<ε<1是任意数.则复杂网络(14)在控制器(16)的作用下同步到式(15), 其中, Ξ(r)与k的定义与定理1相同.</sup></sub>

注2 推论1的证明方法与定理的主要区别在于构造的Lyapunov-Krasovskii函数不同,推论中令V(t, e(t), r)=q_r∑^N_i=1eT_i(t)e_i(t), 由于证明过程类似,在此忽略.

注3 定理1讨论了内部时滞与耦合时滞共存这类更符合实际的情形,如果令τ₁(t)=0或者τ₂(t)=0, 即仅考虑耦合时滞^[15]或者内部时滞^[18],那么对应改变设计的控制器即可,所以此处所得的结果推广了现有文献[15,18]的相关结果.

考虑仅有两种模式的马氏跳系统(1),即r=2, 且系统有6个节点,每个节点的维数为二维.定理1中节点动力学f(·)定义如下^[25]

f(t, x_i(t), x_i(t-τ₁(t)))=

-Cx_i(t)+Mg(x_i(t))+Ng(x_i(t-τ₁(t))),

其中, g(x_i)=1/2(|x_i1+1|-|x_i1-1|

|x_i2+1|-|x_i2-1|); C∈I₂; M=(1+(π)/4 20

0.1 1+(π)/4);

N=(-1.32^1/2(π)/4 0.1

0.1 -1.32^1/2(π)/4),

不失一般性,令外耦合矩阵定义如下:

B(1)=A(1)=

(-1.4 0.4 0 1 0 0

0.4 -0.7 0.3 0 0 0

0 0.3 -0.3 0 0 0

1 0 0 -1.6 0.6 0

0 0 0 0.6 -1.1 0.5

0 0 0 0 0.5 -0.5)

B(2)=A(2)=

(-4.0 0 0.2 3.8 0 0

5.0 -5.0 0 0 0 0

0.3 0 -4.0 0 3.7 0

0 0 0 -3.5 3.0 0.5

0 0 0.8 0 -5.0 4.2

0 4.0 0 0 0 -4.0)

令节点初值为x_i(t)=3i cos t, i=1,2,…,14, q₁=q₂=2,部分未知转移率矩阵为(-2 ?

? -1), 且为方便规定: c₁=1, c₂=2, Γ∈I₂, τ₁(t)=0.03(2+sin t+sin(5t)), τ₂(t)=(0.01e^t)/(1+e^t), 取h₁=0.18和h₂=0.01满足假设2的条件.由ρ、 φ的定义及节点动力学的取法,由假设1易知^[18]:设ε=0.5, 就有ρ=11.607、 φ=0.772, 显然,判据(8)中的第1个条件已经满足,通过使用Matlab Tool-box,用定理中的条件,可得Ξ(1)=6.399I₆, Ξ(2)=13.357I₆,取控制器中的k_i(r)=10, i=1,2,…,N, r=1,2, β=0.5. 可以看到,图1表示各个节点最终达到两个状态.图2表示节点的状态与目标状态差的范数. 图3为误差的范数和. 其中,=e(t)=²=∑^N_i=1=e_i(t)=².

图1 节点状态xij(t)随时间的演变
Fig.1(Color online)Variation of node state with time

图2 同步误差范数=ei(t)=随时间的演变
Fig.2(Color online)Evolution of the norm of error variable =ei(t)= over time

图3 同步误差范数=e(t)=随时间的演变
Fig.3 Evolution of the norm of error variable =e(t)= over time

本文研究了带有部分未知转移率的马氏跳复杂网络的有限时间同步问题,该系统具有可变的内部时滞和耦合时滞.通过设计一系列控制器及合适的Lyapunov-Krasovskii函数,利用线性矩阵不等式和有限时间稳定理论得到实现所研究系统在给定时间内达到同步的判据.通过数值模拟论证了所得结果的有效性.