考虑建立在概率空间(Ω, F, P)上的1个离散时间金融市场.假设金融交易只能发生在固定的时间0,1,2,…,T^*, 记T={0,1,…,T^*}. 对于有限数m,定义集合E={1,2,…,m}. 假设概率空间上有一对取值于E×N的过程(X_n,T_n),(X_n,T_n)是半马氏核Q的齐次马氏更新过程,即对所有的n,X_n,j和t, 有

P(X_n+1=j; T_n+1-T_n≤t|X₀,T₀,…,X_n,T_n)=

P(X_n+1=j; T_n+1-T_n≤t|X_n)=Q_Xn j(t).

定义v_t=max_n{T_n≤t}, 则核Q的半马氏过程定义为Y_t=X_vt. 假设Y₀是已知非随机的,随机过程Y将控制经济的状态.过程K_t定义为K_t=t-[sup{k<t:Y_k≠Y_t}+1], 表示从最后一次状态跳跃时刻到现在时刻t之间的时间.假设K₀是已知非随机的,过程K_t是半马氏过程的后向回复时间过程(可

参考文献[18]).最后,定义F_t=σ(ζ_s, Y_s, K_s, 0≤s≤t), ζ_s定义为向上游走或向下游走的倍数过程.

定义一个到期日为T≤T^*的零息债券是在到期日T产生一单位货币的金融产品.用τ表示t时刻距离零息债券到期日的时间,即τ=T-t. 记P_t(τ)为t时刻距离到期日时间为τ的零息债券的价格.假设给定一个初始期限结构,即对所有的τ, 给定P_t(τ)的一组值.对任意的τ和状态i∈E, 假设存在两个实值u_i(τ)和d_i(τ), u_i(τ)和d_i(τ)都是严格为正的,且u_i(τ)>d_i(τ). 记u_i=(u_i(1),u_i(2), …, u_i(T^*)), d_i=(d_i(1), d_i(2), …, d_i(T^*)). 引入规模为T^*的一个随机过程ζ_t, 规定P(ζ_t+1=u_Yt|F_t)=1-P(ζ_t+1=d_Yt|F_t), u_Yt和d_Yt分别为Y_t状态下向上和向下游走的倍数. 该过程描述了从t时刻到t+1时刻期限结构的演化,若ζ_t+1=u_Yt, 称期限结构向上移动,若ζ_t+1=d_Yt, 则称期限结构向下移动,假设在给定F_t的条件下, ζ_t+1与Y_t+1是条件独立的,即对于任意的t≥1, P(ζ_t+1=u_Yt, Y_t+1=j|F_t)=P(ζ_t+1=u_Yt|F_t)P(Y_t+1=j|F_t). 记 P(Y_t+1=j|F_t)=v ^j_t, 根据过程Y的结构, 有v_t^j=P(Y_t+1=j|Y_t, K_t).

定理1 概率v^j_t是一个“带有初始后向轮换概率”的特殊情形

v^j_t={(Q_{Yt j}(K_t+1)-Q_{Yt j}(K_t))/(1-∑^m_j=1Q_{Yt j}(K_t)), j≠Y_t

(1-∑^m_j=1Q_{Yt j}(K_t+1))/(1-∑^m_j=1Q_{Yt j}(K_t)), j=Y_t

【证】记q_ij(t)=P(X_n+1=j, T_n+1-T_n=t|X_n)=i, 则Q_ij(t)=P(X_n+1=j, T_n+1-T_n≤t|X_n=i)=∑^t_k=0q_ij(k)为半马氏核; H_i(t)=P(T_n+1-T_n≤t|X_n=i)=∑^m_j=1Q_ij(t)为过程在状态i逗留时间的分布函数; Ψ_ij(t)=∑^t_k=0P(X_k=j,T_k=t|X₀=i)为时刻0从状态i出发,半马氏链在时刻t跳跃到状态j的概率; Ψ_·j(t)=∑_i∈EΨ_ij(t)=∑^t_k=0P(X_k=j, T_k=t)为半马氏链在时刻t跳跃到状态j的概率;

Pi(Yt=j, Kt)=P(Yt=j, Kt|Y0=i, K0=0)=∑t-Ktn=0P(Xn=j, Tn=t-Kt,Tn+1>t|X0=i)=

∑t-Ktn=0P(Tn+1-Tn>Kt|Xn=j)P(Xn=j, Tn=t-Kt|X0=i)=

[1-Hj(Kt)]∑t-Ktn=0P(Xn=j, Tn=t-Kt|X0=i)=[1-Hj(Kt)]Ψij(t-Kt).

P(Y_t=j, K_t)=[1-H_j(K_t)]Ψ_·j(t-K_t).

若下一个交易时刻经济状态发生跳跃,即j≠Y_t, 则

v ^j_t=P(Y_t+1=j, K_t+1=0|Y_t, K_t)=(P(Y_t+1=j, K_t+1=0, Y_t, K_t))/(P(Y_t, K_t))=

(∑t-Ktn=0P(Tn+1=t+1, Xn+1=j, Tn=t-Kt, Xn=Yt))/(P(Yt, Kt))=

(∑t-Ktn=0P(Tn+1=t+1, Xn+1=j|Tn=t-Kt, Xn=Yt)P(Tn=t-Kt, Xn=Yt))/(P(Yt, Kt))=

(qij(Kt+1)∑t-Ktn=0P(Tn=t-Kt, Xn=Yt))/([1-HYt(Kt)]Ψ·Yt(t-Kt))=(qij(Kt+1))/(1-HYt(Kt))=(Qij(Kt+1)-Qij(Kt))/(1-∑mj=1Qij(Kt)).

若下一个交易时刻经济状态没有发生跳跃,即j=Y_t, 则

v ^j_t=P(Y_t+1=Y_t, K_t+1=K_t+1|Y_t, K_t)=(P(Y_t+1=Y_t, K_t+1=K_t+1, Y_t, K_t))/(P(Y_t, K_t))=

(∑Yt+1∈E∑t-Ktn=0P(Tn+1>t+1, Xn+1=Yt+1, Tn=t-Kt, Xn=Yt))/(P(Yt, Kt))=

(∑t-Ktn=0P(Tn+1>t+1|Tn=t-Kt, Xn=Yt)P(Tn=t-Kt, Xn=Yt))/(P(Yt, Kt))=

(∑t-Ktn=0P(Tn+1-Tn>Kt+1|Xn=Yt)P(Tn=t-Kt, Xn=Yt))/(P(Yt, Kt))=

([1-HYt(Kt+1)]∑t-Ktn=0P(Tn=t-Kt, Xn=Yt))/([1-HYt(Kt)]Ψ·Yt(t-Kt))=(1-HYt(Kt+1))/(1-HYt(Kt))=(1-∑mj=1QYt j(Kt+1))/(1-∑mj=1QYt j(Kt)).

定义P(ζ_t+1=u_Yt|F_t)=z_t, 显然π^j_t:=P(ζ_t+1=u_Yt, Y_t+1=j|F_t)=z_tv^j_t, 进而k^j_t:=P(ζ_t+1=d_Yt, Y_t+1=j|F_t)=(1-z_t)v^j_t. 因此, 对于t, 有∑^m_j=1(π^j_t+k^j_t)=1.

当给定F_t, 一对过程Y和K在t+1时刻可以取m个不同的值.事实上,假设Y_t=i, K_t=k, 则(Y_t+1, K_t+1)=(i, k+1), 或者对于任意的j≠i,(Y_t+1, K_t+1)=(j, 0). 然而,由过程ζ, Y和K组成的系统可以取2m个不同的值,这些值都由下面的事件集确定(可作为事件A^j,u_t+1和A^j,d_t+1的定义): A^j,u_t+1={ω∈Ω:Y_t+1=j, ζ_t+1=u_Yt}; A^j,d_t+1={ω∈Ω:Y_t+1=j, ζ_t+1=d_Yt}.

经典Ho-Lee模型解决了零息债券的动态性,本研究将Ho-Lee模型拓展至包括模型参数转变的情形.给定F_t, 期限结构的演变如图1. 对于所有的τ, 在A^j,u_t+1上,有P_t+1(τ)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1)); 在A^j,d_t+1上,有P_t+1(τ)=d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1)).

图1 半马氏市道轮换下的二叉树
Fig.1 Binary tree under semi-Markov regime switching

这里可以写为P_t+1(τ)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))(∑^m_j=1I_A^j,u_t+1)+d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))(∑^m_j=1I_A^j,d_t+1).使用先前的记号,有P[P_t+1(τ)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))|F_t]=z_t; P[P_t+1(τ)=d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))|F_t]=1-z_t.进而(假设这些概率都严格为正)P[P_t+1(τ)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1)); Y_t+1=j|F_t]=π^j_t, P[P_t+1(τ)=d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1)); Y_t+1=j|F_t]=k^j_t.

假设事件A^i,u和A^j,u(或A^i,d和A^j,d)发生时,零息债券的价格相同,即当期限结构向上(或向下)移动时,无论是否有市道轮换,下一个时期零息债券的价格均为 P_t+1(τ)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))(或P_t+1(τ)=d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))). 这说明市道轮换的影响只体现在下一个时期.

套利策略是指在没有风险、没有初始投资的情况下得到确定利润的策略.市场上没有套利策略称为无套利条件.下面证明无套利意味着模型参数满足一些条件.

引理1 无套利表明,对于每个τ和i∈E, u_i(τ)>1>d_i(τ).

定理2 无套利意味着满足下列条件的过程p_t存在:

对于每个t, 0<p_t<1; 对于所有的τ, p_tu_Yt(τ)+(1-p_t)d_Yt(τ)=1.

【证】 考虑1个单期模型.假设给定零息债券价格P_t(·)的结构,构建一个投资组合:包含1个到期日为T+1的零息债券(距离到期日的时间为τ+1)和H个到期日为T″+1的零息债券(距离到期日的时间为τ″+1).

在时刻t, 投资组合的价值为W(t)=P_t(τ+1)+HP_t(τ″+1).

在时刻t+1, 根据本研究建立的模型,投资组合能且只能取2个值.

在集合∪_j∈EA^j,u_t+1上,有W(t+1)=u_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))+Hu_Yt(τ″)(P_t(τ″+1))/(P_t(1));

在集合∪_j∈EA^j,d_t+1上,有W(t+1)=d_Yt(τ)(P_t(τ+1))/(P_t(1))+Hd_Yt(τ″)(P_t(τ″+1))/(P_t(1)).

现选取一个H使其满足无论哪个事件发生,投资组合的值都是相同的.这意味着投资组合在这段时间内实际上是无风险资产,因此,这个投资组合应该与到期日为T+1的零息债券有相同的回报,由此引出2个条件

u_Yt(τ)P_t(τ+1)+Hu_Yt(τ″)P_t(τ″+1)=

d_Yt(τ)P_t(τ+1)+Hd_Yt(τ″)P_t(τ″+1)(1)

W(t)=P_t(1)W(t+1)(2)

式(2)可改写为

P_t(τ+1)+HP_t(τ″+1)=

d_Yt(τ)P_t(τ+1)+Hd_Yt(τ″)P_t(τ″+1)(3)

由式(1)和式(3)具有相同的H值,故可得

((d_Yt(τ)-u_Yt(τ))P_t(τ+1))/((u_Yt(τ″)-d_Yt(τ″))P_t(τ″+1))=

((d_Yt(τ)-1)P_t(τ+1))/((1-d_Yt(τ″))P_t(τ″+1)),

即(d_Yt(τ)-u_Yt(τ))/(u_Yt(τ″)-d_Yt(τ″))=(d_Yt(τ)-1)/(1-d_Yt(τ″)), 所以(1-d_Yt(τ″))/(u_Yt(τ″)-d_Yt(τ″))=(1-d_Yt(τ))/(u_Yt(τ)-d_Yt(τ)). 因为τ和τ″是任意选择的,可以记(1-d_Yt(τ″))/(u_Yt(τ″)-d_Yt(τ″))=p_Yt:=p_t. 显然, 0<p_t<1. 进而得

p_tu_Yt(τ″)+(1-p_t)d_Yt(τ″)=1.(4)

除了概率过程p_t随着时间变化,最后的结果与Ho-Lee模型相同.过程p_t的取值依赖于Y_t而不依赖于τ, 对于Y_t的每个可能值都有p_tu_Yt(τ)+(1-p_t)d_Yt(τ)=1.

推论1

P_t(τ″+1)=P_t(1)[p_tu_Yt(τ″)(P_t(τ″+1))/(P_t(1))+

(1-p_t)d_Yt(τ″)(P_t(τ″+1))/(P_t(1))](5)

由此说明t时刻零息债券的价值仅仅是t+1时刻可能价值折现的平均.

在套利策略定义中,有关期望是在物理概率测度之下取得的,为建立鞅概率测度,需用到等价测度的概念.

引理2 对于任意的j∈E和t∈T, 定义一系列严格为正的参数(p^j_t, q^j_t)_{j∈E; t∈T}, 且满足对于任意的t∈T, ∑^m_j=1(p^j_t+q^j_t)=1. 定义

D_t=∏^t-1_s=0(∑^m_j=1[(p^j_s)/(π^j_s)I_A^j,us+1+(q^j_s)/(k^j_s)I_A^j,ds+1])(6)

则对于所有的t, D_t>0, E[D_t]=1且 E[D_t+1|F_t]=D_t.

这些结论允许D_t可以作为一个密度过程,这个过程将被用于介绍等价测度.

定理3 定义P^*是P的等价测度,密度为D_T^*. 假设对于所有的t, ∑^m_j=1p^j_t=p_t,p_t的定义如式(4),则测度 P^*是1个等价鞅测度.

【证】 根据定义 P^*是1个等价测度.但在这个测度下,每个债券是否表现为1个鞅还有待证明.

E^*[P_t(1)P_t+1(τ)|F_t]=

1/(D_t)E[P_t(1)P_t+1(τ)D_t+1|F_t]=

Pt(τ+1)E[∑^m_j=1((u_Yt(τ)p^j_t)/(π^j_t)I_A^j,ut+1+

(d_Yt(τ)q^j_t)/(k^j_t)I_A^j,dt+1|F_t]=

P_t(τ+1)(u_Yt(τ)∑^m_j=1p^j_t+d_Yt(τ)∑^m_j=1q^j_t)

根据∑^m_j=1p^j_t=p_t和定理2得 E^*[P_t(1)P_t+1(τ)|F_t]=P_t(τ+1).

对于每个t, 有无限多个集合(p^j_t, q^j_t)_{j∈E; t∈T}满足这些条件,因此有无限多个鞅测度.

定理4 过程p_t给出在等价鞅测度 P^*下,期限结构在t时刻向上移动的概率,即p_t=P^*[ζ_t+1=u_Yt|F_t].

【证】P^*[A^j,u_t+1|F_t]=P^*[Y_t+1=j, ζ_t+1=u_Yt|F_t]=

E^*[I_A^j,ut+1|F_t]=1/(D_t)E[I_A^j,ut+1D_t+1|F_t]=

E[(p^j_t)/(π^j_t)I_A^j,ut+1|F_t]=p^j_t

因为∑^m_j=1p^j_t=p_t, 所以p_t=P^*[ζ_t+1=u_Yt|F_t].

本研究采用最小熵鞅测度(minimal entropy martingale measure, MEMM)的方法确定1个风险中性轮换概率矩阵.实际上,对于不完备市场中的期权定价,MEMM是一种受欢迎的方法,其基本思想是选取一个等价的鞅测度使这个等价鞅测度和物理概率测度之间的相对熵最小,即两个概率测度之间的距离最小.

定义1 令P和 Q是两个概率测度,相对熵I(P,Q)定义为

I(P,Q)={E^P[(dQ)/(dP)ln((dQ)/(dP))], QP

+∞, 其他

如果在所有等价鞅测度的集合中,测度Q使相对熵最小,则称Q为最小熵鞅测度.

由于等价鞅测度由密度过程D_t来刻画,所以刻画最小熵鞅测度等价于给出与最小熵鞅测度有关的密度过程的参数p^j_t和q^j_t.

定理5 最小熵鞅测度的特征为

p^j_t=v^j_t((1-d_Yt)/(u_Yt-d_Yt)); q^j_t=v^j_t((u_Yt-1)/(u_Yt-d_Yt)).

【证】 根据定义1,在单期模型中的目标是找到p^j_t和q^j_t(对于所有的j),使∑^m_j=1[p^j₀ln((p^j₀)/(π^j₀))+q^j₀ln((q^j₀)/(k^j₀))]最小,且服从约束(确保测度是1个等价鞅测度),

∑^m_j=1(p^j₀+q^j₀)=1; u_Y0∑^m_j=1p^j₀+d_Y0∑^m_j=1q^j₀=1(7)

这是一个有约束的最优化问题,应用拉格朗日乘数法.令

L=E[D_tln(D_t)]+λ[∑^m_j=1(p^j₀+q^j₀)-1]+

γ(u_Y0∑^m_j=1p^j₀+d_Y0∑^m_j=1q^j₀-1)=

∑^m_j=1[p^j₀ln((p^j₀)/(π^j₀))+q^j₀ln((q^j₀)/(k^j₀))]+

λ[∑^m_j=1(p^j₀+q^j₀)-1]+

γ[u_Y0∑^m_j=1p^j₀+d_Y0∑^m_j=1q^j₀-1]

对p^j₀和q^j₀求偏导数并令方程等于0得(对于每个j)

p^j₀=π^j₀exp[-(1+λ+γu_Y0)];

q^j₀=k^j₀exp[-(1+λ+γd_Y0)](8)

根据式(8)及对λ和γ的偏导数得

exp(-γu_Y0)∑^m_j=1π^j₀+exp(-γd_Y0)∑^m_j=1k^j₀=

exp(1+λ)(9)

u_Y0exp(-γu_Y0)∑^m_j=1π^j₀+d_Y0exp(-γd_Y0)∑^m_j=1k^j₀=

exp(1+λ)(10)

混合式(9)和式(10)得

exp(-γd_Y0)=

exp(-γu_Y0)((u_Y0-1)∑^m_j=1π^j₀)/((1-d_Y0)∑^m_j=1k^j₀)(11)

根据式(8)至式(11)以及π^j₀、 k^j₀和v^j₀的定义,即得p^j₀=v^j₀((1-d_Y0)/(u_Y0-d_Y0))、 q^j₀=v^j₀((u_Y0-1)/(u_Y0-d_Y0)).

在n期模型中,目标是找到p^j_s和q^j_s使得E^P[(dQ)/(dP)ln(dQ)/(dP)]最小,且服从约束.对于t

∑^m_j=1(p^j_t+q^j_t)=1; u_Yt∑^m_j=1p^j_t+d_Yt∑^m_j=1q^j_t=1; q^j_t, p^j_t>0.

由归纳法得拉格朗日乘数的表达式为

L=∑^n-1_i=0{∑^m_j=0[p^j_iln((p^j_i)/(π^j_i))+q^j_iln((q^j_i)/(k^j_i))]+λ_i[∑^m_j=1(p^j_i+q^j_i)-1]+γ_i[u_Yi∑^m_j=1p^j_i+d_Yi∑^m_j=1q^j_i-1]}

令拉格朗日乘数L对p_i、 q_i、 r_i和λ_i(对每个i)求偏导,并令方程等于0.用与单期模型相同的方法混合所有方程,即得p^j_t=v^j_t((1-d_Yt)/(u_Yt-d_Yt))、 q^j_t=v^j_t((u_Yt-1)/(u_Yt-d_Yt)). 显然结果满足正定性.

经典Ho-Lee模型构造的二叉树期权定价中,假设零息债券的价格函数从1个状态到另1个状态的演化只依赖向上运动的数量,不依赖发生的顺序.根据路径独立性得到向上和向下参数的明确表达式.本节旨在讨论市道轮换下的路径独立性.

定理6 假设给定F_t和价格为P_t(τ+2)的零息债券.下面考虑A^Y_t,u_t+1、 A^Y_t,d_t+2和A^Y_t,d_t+1、 A^Y_t,u_t+2两条路径. 若施加条件两条路径零息债券的价格相同,则存在一个常数δ_Yt, 使得

u_Yt(τ)=1/(p_Yt+(1-p_Yt)δ^τ_Yt)

d_Yt(τ)=δ^τ_Ytu_Yt(τ)

【证】 对于第1条路径有

P_t+2(τ)=(d_Yt(τ)u_Yt(τ+1)P_t(τ+2))/(u_Yt(1)P_t(2)); 对于第2条路径有P_t+2(τ)=(u_Yt(τ)d_Yt(τ+1)P_t(τ+2))/(d_Yt(1)P_t(2)).

令上述两式相等得

(d_Yt(τ)u_Yt(τ+1))/(u_Yt(1))=(u_Yt(τ)d_Yt(τ+1))/(d_Yt(1))(12)

根据式(4)有d_Yt(τ)=(1-p_Ytu_Yt(τ))/(1-p_Yt), 代入式(12)得

(1-p_Ytu_Yt(1))/(u_Yt(1)-p_Ytu_Yt(1))·(1-p_Ytu_Yt(τ))/(u_Yt(τ))=

(1-p_Ytu_Yt(τ+1))/(u_Yt(τ+1))(13)

此结果恰好类似经典的Ho-Lee模型.定义

δ_Yt=(1-p_Ytu_Yt(1))/(u_Yt(1)-p_Ytu_Yt(1))(14)

将式(14)代入式(13)得1个简单的差分方程.已知u_Yt(0)=1, 用迭代法得u_Yt和d_Yt的解

u_Yt(τ)=1/(p_Yt+(1-p_Yt)δ^τ_Yt)

d_Yt(τ)=δ^τ_Ytu_Yt(τ)(15)

由式(15)可知,对于每个可能的状态Y_t, 若给定δ'_Yts(对于每个状态是一个常数)和p'_Yts(状态Y_t时向上或向下移动的概率),则整个期限结构被完整的定义.这个模型除了需要选取可能的状态外,与Ho-Lee模型相同.定理6在状态不变时,应用路径独立性得到了u_Yt(τ)和 d_Yt(τ)的明确表达式.推论2将在状态发生变化的条件下研究路径独立性的思想.

推论2 为简化记号,令Y_t=i. 假设存在价格为P_t(τ+3)的零息债券, A^j,d_t+1, A^i,d_t+2, A^i,u_t+3和A^i,u_t+1, A^j,d_t+2, A^i,d_t+3有两条路径.应用路径独立性得到1个联立方程(对于每个τ):

f(p_j)=0

f(p_j)=p²_j(1-δ_j)(1-δ^τ_j)(p_i+(1-p_i)δ^τ+1_i)+

p_j{δ^τ+1_j[δ^τ+1_i(p_i-1)(p_i+1)-

δ_i(1-p_i)p_i(δ^τ+1_i+1)+p_i(p_i-2)]+

δ^τ_j[p_i+δ^τ+1_i(1-p_i)]+

δ_j[p_i+δ^τ+1_i(1-p_i)]-[p_i+

δ^τ_i(1-p_i)][p_i+δ_i(1-p_i)]}+

δ^τ+1_jp_i(1-p_i)(1-δ_i)(1-δ^τ_i)(16)

【证】 将模型用于第1条路径得

P_t+3(τ)=(d_j(τ)d_i(τ+1)u_i(τ+2)P_t(τ+3))/(d_i(1)u_i(2)P_t(3))

将模型用于第2条路径得

P_t+3(τ)=

(u_i(τ)d_j(τ+1)d_i(τ+2)P_t(τ+3))/(d_j(1)d_i(2)P_t(3)).

令上述两式相等得

(u_i(τ)d_j(τ+1)d_i(τ+2))/(d_j(1)d_i(2))=

(d_j(τ)d_i(τ+1)u_i(τ+2))/(d_i(1)u_i(2))

根据d_i(τ)=δ^τ_iu_i(τ)(对于u_j和d_j此式也成立),且分离i项与j项得

(u_i(τ)u_i(1))/(u_i(τ+1))=(d_j(τ)d_j(1))/(d_j(τ+1))(17)

根据式(15)得式(18),其对每个τ都成立

[p²_j+p_j(1-p_j)δ_j+p_j(1-p_j)δ^τ_j+

(1-p_j)²δ^τ+1_j][p_i+(1-p_i)δ^τ+1_i]=

[p_j+(1-p_j)δ^τ+1_j][p²_i+p_i(1-p_i)δ_i+

p_i(1-p_i)δ^τ_i+(1-p_i)²δ^τ+1_i](18)

重新排序各项即得期望的结果.

如果固定p_i、 δ_i和δ_j, 方程(16)得到一个关于p_j的二次方程系统(对于每个τ).因为给定的这些方程的系数依赖于τ, 所以它们是不相同的.一个解p_j∈(0,1)是否能同时解出所有方程尚不清楚.那么是否可以找到一个条件,使得在这个条件下,解p_j∈(0,1)存在呢?下面定理可提供部分答案.

定理7 假设δ_i=δ_j, 则给定p_i, 方程(16)的系统至少存在一个解p_j.

【证】 固定δ_i=δ_j, 则对每个τ, 给定p_i(p_i∈(0,1))的任何值,都至少存在一个解p_j且p_j=p_i, 从方程(18)可见,这是显然的.

尽管有定理7,情况仍不理想.因为在δ_i≠δ_j时,二次方程解的存在性仍不清楚.事实上,唯一保证可行的模型是p_i=p_j且δ_i=δ_j时的模型,此时对于所有的(i, j)和τ, 都有u_i=u_j且d_i=d_j, 即期限结构在所有状态的演化都由相同的值控制,这就如同只有1种状态.总之,在市道轮换存在时,唯一保证可行的模型是每个状态的期限结构都相同的模型,然而此时整个市道轮换结构变得没有意义.为使市道轮换存在实际意义,在存在市道轮换时不能应用路径独立的条件.

考虑1个两状态马氏链,转移概率矩阵为

P=[0.92 0.08

0.04 0.96].

定义q_ij(t)=P(X_n+1=j; T_n+1-T_n=t|X_n=i), 因为Q_ij(t)=∑^t_k=0q_ij(k), 这个量完全定义了1个半马氏核.若q_ij(t)满足

q_ij(t)={p_ij(p^t-1_ii), j≠i且t≥1

0, 其他,

则马氏链是一个半马氏链. 其中, p_ij是转移概率矩阵 P的元素.根据最小熵鞅测度的事实和v^j_t的定义,使用标准鞅定价理论,即后向诱导法,可得不同时间点期权的价格(可参考Ho-Lee模型^[1]),如图3.最后一列呈现了到期期权的潜在收益,即max{0, P₂(1)-s}. t=1时期的价格仅为收益贴现的平均值,重复这个过程直至得到期权的初始价格.

下面期权价格树的某些分枝上标记的值是从1个节点到下1个节点的轮换概率,仅标记了本例中有用的值.

图3 马氏轮换框架下债券期权价格的演化
Fig.3 Evolution of bond option prices under Markov regime switching framework

类似马氏轮换框架,记q_ij(t)=P(X_n+1=j; T_n+1-T_n=t|X_n=i).

对于时间的分布,本研究使用1个离散时间威布尔分布^[19],根据文献[19]有

q_ij(0)=0 且

qij(t)={α(t-1)βijij-αtβijij, j≠i且t≥1

0, 其他

定义常数α₁₂=0.2, β₁₂=0.5, α₂₁=0.4, β₂₁=0.6. 使用最小熵鞅测度的特征和与马氏情形下相同的后向诱导法,得期权价格树如图4.

图4 半马氏轮换框架下债券期权价格的演化
Fig.4 Evolution of bond option prices under semi-Markov regime switching framework

由图3和图4可知,马氏轮换框架和半马氏轮换框架得到的期权价格有很大区别,这归因于轮换概率不同.

选取最小熵鞅测度作为定价测度时,半马氏轮换有以下优点:① 马氏轮换过程具有无记忆性,只与当前期的状态有关. 半马氏轮换不需要无记忆性,使离散时间期限结构模型更贴近现实.② 轮换过程中转移状态相同时,马氏轮换保持常数轮换概率,而半马氏轮换的概率与状态持续时间有关.③ 实证表明轮换过程对经济周期呈持续性依赖,马氏轮换模型不能体现这个特征,而半马氏轮换中通过半马氏过程对后向回复时间的依赖充分体现了这一点.