作者简介:吴维扬(1991—),女(汉族),湖北省襄阳市人,深圳大学硕士研究生.E-mail:yangyang7116@sina.cn
中文责编:方 圆; 英文责编:木 南
College of Mathematics and Statistics, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China
dynamic system; complex network; cluster synchronization; time delay; stochastic perturbation; random pinning control
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2015.05538
基于随机牵制控制对同时存在无时滞耦合和时变时滞耦合的复杂网络,研究有噪声干扰下的均方簇同步问题.该网络所有耦合均为非线性,每一簇中节点动力学相同且不同簇节点动力学不同. 通过引入Bernoulli随机变量,所有控制均以不同概率对该网络实施控制.根据Lyapunov稳定性理论和随机分析理论得到该网络实现均方簇同步的条件,并在理论上给出严格证明.数值实验证明所得理论正确.
The mean square cluster synchronization is investigated in directed networks with non-identical nodes perturbed by communication noise as well as those with both delay and non-delay coupling. In addition, all node states in coupling processes are nonlinear with equal dynamic for nodes in a cluster but different dynamics for nodes in different clusters. The pinning control method is employed in designing controllers for guaranteeing cluster synchronization. All the controllers are supposed to occur with different probabilities by introducing Bernoulli stochastic variables. Some sufficient mean square synchronization conditions are derived and proved theoretically based on the Lyapunov stability theorem and the stochastic analysis theory. The theoretical results are verified by a numerical simulation.
复杂网络普遍存在于现实世界,如Internet网、www网、电力网、交通网、科研合作网以及各种政治、经济和社会网等[1-3],具有极其丰富的动力学性态,近年来吸引了来自数学、物理、信息、生物、医学及社会科学等不同研究领域的广泛关注.同步作为复杂网络中典型集体运动行为和网络结构导致的涌现现象,是复杂网络中重要的动力学行为之一[4-5],引起了研究者的极大兴趣,并提出不同的同步方式,如完全同步[6]、一般同步[7]、簇同步[8]、相同步[9]和外同步[10-11]等,以及各种控制方法,如自适应反馈控制[12]、牵制控制[13]和脉冲控制[14]等.
在通信工程和生命科学中有着重要应用背景的复杂网络簇同步研究更具挑战性.簇同步是依据网络中节点的特性将网络中大规模节点分成若干簇,在相同簇中所有节点最后达到完全同步,而不同簇中的节点不会同步[15].网络的簇同步相关研究如:Wang等[15]设计消除簇间相互影响的线性反馈控制器,实现存在非恒同节点的复杂网络的簇同步; Liu等[16]利用间歇牵制控制讨论一类有向网络的簇同步问题; Su等[17]通过分散自适应牵制控制的方法实现了复杂网络的簇同步.现实网络节点间的信息交换会出现同时和滞后两种状态,即网络中节点间的耦合可能同时存在非时滞耦合和时滞耦合.例如,在股票市场中,交易决策不仅与当时市场状况有关,还受过去时段市场状况的影响[18]; 此外,节点状态信息的非线性更容易观测到[19],这就涉及到网络中的非线性耦合.最近Wang等[19]利用牵制控制方法对含有非线性耦合及耦合时滞的非恒同节点动力学的网络簇同步进行深入分析,给出该网络达到簇同步的充分条件,但研究忽略了噪声对网络同步的影响,而噪声在现实世界中无处不在,在研究复杂网络的同步过程中考虑噪声因素会更符合实际.考虑到控制过程中可能发生随机失效、数据丢包等突发状况,随机牵制控制比连续控制更符合实际,Hu等[20]利用随机牵制控制的方法研究了一类有非恒同节点和噪声的网络的簇同步,但所研究的网络耦合是线性的.
受以上相关研究启发,综合分析网络运行的诸多因素,本研究考虑同时存在非时滞耦合和时滞耦合,受噪声干扰的非恒同节点动力学的复杂网络均方簇同步问题.采用随机牵制控制的方法,根据Lyapunov稳定性和随机分析理论,给出该类网络实现均方簇同步的条件,在理论上进行严格证明.通过数值示例对所得结果验证表明,本研究所提出的网络模型和控制方法符合实际网络.
考虑如下网络模型:
dxi(t)=[fk(xi(t))+∑Nj=1aijg(xj(t))+
∑Nj=1bijh(xj(t-τ(t)))]dt+
σi(t,x(t), x(t-τ(t)))dωi(t),
i∈K(1)
其中, xi(t)=(xi1(t),…,xin(t))T∈Rn表示第i个节点的状态变量; x(t)=(xT1(t),…,xTN(t))T; K={lk-1+1,…,lk}表示第k簇节点集合, k=1,2,…,m, l0=0, lm=N. lk-1<lk; fk:Rn→Rn是连续的向量值函数,表示第k簇中节点的动力学性态,不同簇中fk不同; A=(aij)∈RN×N, B=(bij)∈RN×N分别表示在t和t-τ(t)时刻的耦合矩阵,若节点i和j之间有连接,则aij≠0, bij≠0; 否则aij=0, bij=0.连续函数 g(xi(t))=(g1(xi1(t)), …, gn(xin(t)))T和 h(xi(t-τ(t)))=(h1(xi1(t-τ(t))), …, hn(xin(t-τ(t))))T分别代表有时滞和没有时滞的耦合函数.
σi(t,x(t),x(t-τ(t)))=σi(t,x1(t),…,xN(t),x1(t-τ(t)), …, xN(t-τ(t)))∈Rn×n表示噪声强度矩阵.其中, τ(t)是系统内部时滞,满足0≤τ(t)≤τ. ωi(t)=(ωi1(t),…,ωin(t))T是维纳过程的向量形式,满足E[dωij(t)]=0, E[dωij(t)]2=dt, E[dωij(t)dωij(s)]=0(i≠j).
假设网络(1)的初始条件满足:
xi(s)=ξi(s), -τ≤s≤0, i=1,…,N
其中, ξi(s)∈C2F0([-τ, 0], Rn), C2F0([-τ, 0], Rn)是C([-τ, 0], Rn)上的F0可测集,且ξ(s)满足sup-τ≤s≤0 E=ξ(s)2=<∞.
簇同步的目的是将网络(1)中不同簇的节点同步到不同状态,而相同簇中的节点同步到同一状态,即x1, …, xl1→s1(t), …, xlm-1+1, …, xlm→sm(t), 此处 sk(t)(k=1, …, m)满足
dsk(t)=fk(sk(t))dt+
σk(t,s(t),s(t-τ(t)))dωk(t)
其中,s(t)=(s1T(t),…s1T(t),…smT(t),…smT(t))∈Rn×N. 于是,被控制的系统(1)可改写为
dxi(t)=[fk(xi(t))+∑Nj=1aijg(xj(t))+
∑Nj=1bijh(xj(t-τ(t)))+u/sub>i(t)]dt+
σi(t, x(t), x(t-τ(t)))dωi(t)(2)
i∈K, i=1, …, m. 其中, ui(t)为所设计的随机牵制控制器,可表示为
ui(t)=-ρi(t)di[xi(t)-sk(t)].(3)
ρi(t)是伯努利随机变量描述如下事件:
{事件 1:系统(2)中经历控制(3)
事件 2:系统(2)中不经历控制(3)
若事件1发生,则ρi(t)=1; 若事件2发生,则ρi(t)=0.E[ρi(t)]=ρi∈[0,1]. di是控制强度,如果节点i有控制,则di>0; 否则di=0.
定义ei(t)=xi(t)-sk(t), i∈K, 则误差系统为
dei(t)=[fk(xi(t))-fk(sk(t))+∑Nj=1aijg(xj(t))+
∑Nj=1bijh(xj(t-τ(t)))-ρi(t)diei(t)]dt+
σi(t, e(t), e(t-τ(t)))dωi(t)(4)
其中,σi(t, e(t), e(t-τ(t)))=σi(t, e1(t), …, eN(t), e1(t-τ(t)), …, eN(t-τ(t)))=σi(t, x(t), x(t-τ(t)))-σi(t, s(t), s(t-τ(t))).
定义1[20] 若矩阵A=(aij)∈Rn×n, 且aij>0(i≠j)aii =-∑nj=1, j≠iaij(i=1,2,…, n), 记 A∈A1; 若矩阵 A=(aij)∈Rm×n, 且∑nj=1aij=0(i=1,…, m), 记 A∈A2.
定义2[20] 一个包含N个节点的随机网络可以实现均方簇同步,若这个N节点分成m簇,使得Ck={lk-1+1, lk-1+2, …, lk}(1≤k≤m, l0=0, lm=N), 则同一簇中的任意两个不同节点i和j满足 limt→∞ E=xi(t)-xj(t)=2=0, 则网络(1)达到均方簇同步.
定义3[19] 一个连续的函数f(t, x)满足QUAD条件,若存在正定的对角矩 P=diag(p1, p2, …, pn)、 Δ=diag(δ1, δ2, …, δn)和正数η, 使f满足不等式(x-y)TP(f(x)-f(y)-Δ(x-y))≤-η(x-y)T(x-y).
假设1[19] 设存在正常数β1j, β2j和μ1j, μ2j, 使得对任意的x, y∈R有下式成立β1j≤(gj(x)-gj(y))/(x-y)≤ β2j, μ1j≤(hj(x)-hj(y))/(x-y)≤ μ2j, j=1, 2, …, n.
假设2[21] 对于噪声误差强度σi(t, e(t), e(t-τ(t))), 存在正定的常数矩阵 γ1和 γ2对所有i=1,2,…,N, 有tr[σi(t, e(t), e(t-τ(t)))T σi(t, e(t), e(t-τ(t)))]≤∑Nj=1ej(t)Tγ1ej(t)+∑Nj=1ej(t-τ(t))Tγ2ej(t-τ(t)).
假设3 耦合矩阵 A=(aij)N×N, B=(bij)N×N可分别分解为
A=[A11 A12 … A1m
A21 A22 … A2m
… … … …
Am1 Am2 … Amm],
B=[B11 B12 … B1m
B21 B22 … B2m
… … … …
Bm1 Bm2 … Bmm]
其中, Akk、 Bkk∈A1, Akq、 Bkq∈A2(k≠q), k、 q=1,…, m.
引理1[22] 对于一个行和为零的矩阵 M∈Rm×n, 存在一个 Q矩阵,使得
xTMy≤1/2(1/θxTMMTx+θyTQy), x, y∈Rn,
其中, θ>0是一个常数,
Q=[1-1/n -1/n … -1/n
-1/n 1-1/n … -1/n
… … … …
-1/n -1/n … 1-1/n].
引理2[22] 若Q∈Rn×n是一个对称矩阵,且满足行和为零,则对任意列向量 u=(u1, …, un)T, v=(v1, …, vn)T有
uTQv=∑ni=1∑nj=1uiqijvj=-∑nj>iqij(ui-uj)(vi-vj).
引理3[23] 若时滞随机微分方程dx(t)=f(t, x(t), x(t-τ))dt+G(t, x(t), x(t-τ))dω(t)在初始条件x(s)=φ(s), -τ≤s≤t0下有解x(t,t0,φ), 假设存在一个正定连续的函数V(t,x(t))和正常数c1和c2, 使得c1=x=2≤V(t, x(t))≤c2=x=2. 当t≥t0时,若存在正数0≤β<α, 满足
D+EV(t, x(t))≤-αE(V(t, x(t)))+
βE(V(t-τ, x(t-τ))).
则 E(=x(t, t0, φ)=2)≤
(c2)/(c1)E(sups∈(t0-τ, t0)=φ(s)=2)e(-v+(t-t0)).
其中, v+∈(0, α-β]是方程v=α-βevτ的唯一正数解.
本研究约定,自然数集N为节点指标集, K簇以外的簇Q=瘙綂NK,
qk=N-(lk-lk-1),(-overp)=max1≤j≤n pj,(~overp)=min1≤j≤n pj,
δk=max1≤j≤n δkj, β2=max1≤j≤n β2j, μ2=max1≤j≤n μ2j,
Dk=diag(ρlk-1+1dlk-1+1, ρlkdlk),
(~overe)(k)j(t)=(elk-1+1j(t), …, elk j(t))T∈Rlk-lk-1.
(~overe)(q)j(t)=(e1j(t),…,elk-1 j(t),elk+1 j(t),…,eNj(t))T∈Rqk.
(~overh)j(Ek(t-τ(t)))=(hj(elk-1+1j(t-τ(t))),…,hj(elk j(t-τ(t))))T∈Rlk-lk-1.
(~overh)j(Eq(t-τ(t)))=(hj(e1j(t-τ(t))),…,hj(elk-1 j(t-τ(t))),hj(elk+1j(t-τ(t))),…,hj(eNj(t-τ(t))))T∈Rq
λmax(·)表示矩阵的最大特征值, In代表n维的单位矩阵.
定理1 假设fk∈QUAD(P, Δk,ηk),k=1,…,m, 且满足假设1至假设3.若存在正常数θ1、θ2和θ3满足
1)Ξ=(Ak,qkATk,qk)/(2θ1)+(BkkBTkk)/(2θ2)+(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3)+A ^kk+
[-η/((-overp))+δk+(θ1β22((-overq)-1)(m-1))/((-overq))]
Ilk-lk-1+((-overp)γ1)/(2(~overp))-Dk<0,
2)|a|>b.
则系统(1)能够达到均方簇同步.
其中,
b=(μ22θ2(lk-lk-1-1))/(lk-lk-1)+(μ22θ3((-overq)-1)(m-1))/((-overq))+λmax(((-overp)γ2)/(2(~overp))), a<0是矩阵Ξ的最大特征值.
【证】构造如下的Lyapunov函数:
V(t)=1/2∑Ni=1eiT(t)Pei(t)
V沿着误差系统(4)的随机导数为[18]
dV(t)=LV(t)dt+∑Ni=1eiT(t)Pσi(t, e(t),
e(t-τ(t)))dωi(t)(5)
其中,
LV(t)=∑Ni=1eTi(t)P[fk(xi(t))-fk(sk(t))+
∑Nj=1aijg(ej(t))+∑Nj=1bijh(ej(t-τ(t)))-
ρi(t)diei(t)]+1/2∑Ni=1tr[Pσi(t, e(t),
e(t-τ(t)))Tσi(t, e(t),e(t-τ(t)))]=
∑Ni=1eTi(t)P[fk(xi(t))-fk(sk(t))]+
∑Ni=1∑Nj=1eTi(t)Paijg(ej(t))+
∑Ni=1∑Nj=1eTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))-
∑Ni=1eTi(t)Pρi(t)diei(t)+
1/2∑Ni=1tr[Pσi(t, e(t), e(t-τ(t)))T
σi(t, e(t),e(t-τ(t)))]=V1(t)+
V2(t)+V3(t)+V4(t)+V5(t)
由fk∈QUAD(P, Δk, βk)得
V1(t)=∑Ni=1eTi(t)P[fk(xi(t))-fk(sk(t))]≤
∑mk=1∑i∈k-ηkeTi(t)ei(t)+
∑mk=1∑i∈keTi(t)PΔkei(t)=
∑mk=1∑nj=1-ηk((~overe)(k)j(t))T(~overe)(k)j(t)+
∑mk=1∑nj=1pjδkj((~overe)(k)j(t))T(~overe)(k)j(t)≤
∑mk=1∑nj=1-(pjηk)/((-overp))((~overe)(k)j(t))T(~overe)(k)j(t)+
∑mk=1∑nj=1pjδkj((~overe)(k)j(t))T(~overe)(k)j(t)(6)
根据假设1和引理1,利用文献[19]的方法可得
V2(t)=∑Ni=1∑Nj=1eTi(t)Paijg(ej(t))≤
∑mk=1∑nj=1pj|(~overe)(k)j(t)|TA ^kk|(~overe)(k)j(t)|+
∑mk=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))T[(Ak,qkATk,qk)/(2θ1)+
(θ1β22((-overq)-1)(m-1))/((-overq))Ilk-lk-1](~overe)(k)j(t)(7)
其中, A ^kk是指Akk中的对角元用β1aii替代,其他元素用β2aij替代所得的矩阵.
当i和j在同一簇时,
∑ i∈K∑j∈KeTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))=
∑nl=1pl∑ i∈K∑j∈Kbijeil(t)hl(ejl(t-τ(t)))=
∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))TBkk(~overh)j(Ek(t-τ(t)))≤
∑nj=1pj1/2[1/(θ2)((~overe)(k)j(t))TBkkBTkk(~overe)(k)j(t)+
θ2(~overh)Tj(Ek(t-τ(t)))Q(~overh)j(Ek(t-τ(t)))]
其中,
(~overh)Tj(Ek(t-τ(t)))Q(~overh)j(Ek(t-τ(t)))=
1/(qk)∑(r,s∈Q)/(r<s)[hj(erj(t))-hj(esj(t))]2≤
1/(qk)∑(r,s∈Q)/(r<s)[h2j(erj(t))+h2j(esj(t))]≤
(2β22)/(qk)∑(r,s∈Q)/(r<s)[e2rj(t)+e2sj(t)]=
2μ22(1-1/(lk-lk-1))((~overe)(k)j(t-τ(t)))T(~overe)(k)j(t-τ(t))
因此
∑i∈K∑j∈KeTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))≤
∑Nj=1pj[((~overe)(k)j(t))T(BkkBTkk)/(2θ2)(~overe)(k)j(t)+
(θ2μ22(lk-lk-1-1))/(lk-lk-1)((~overe)(k)j(t-τ(t)))T
(~overe)(k)j(t-τ(t))
当i和j在不同簇时,类似的有
∑i∈K∑j∈QeTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))=
∑nl=1pl∑ i∈K∑j∈Qbijeil(t)hl(ejl(t-τ(t)))=
∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))TBk,qk(~overh)j(Eq(t-τ(t)))≤
∑nj=1pj1/2[1/(θ3)((~overe)(k)j(t))TBk,qkBTk,qk(~overe)(k)j(t)+
θ3(~overh)Tj(Eq(t-τ(t)))Q(~overh)j(Eq(t-τ(t)))]≤
∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))T(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3)(~overe)(k)j(t)+
∑nj=1pj(μ22θ3((-overq)-1))/((-overq))((~overe)(q)j(t-τ(t)))T(~overe)(q)j(t-
τ(t))=∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))T(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3)(~overe)(k)j(t)+
∑nj=1pj(μ22θ3((-overq)-1))/((-overq))[∑mk=1((~overe)(k)j(t-τ(t)))T
(~overe)(k)j(t-τ(t))-((~overe)(k)j(t-τ(t)))T
(~overe)(k)j(t-τ(t))]
所以
V3(t)=∑i∈K∑j∈KeTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))+
∑i∈K∑j∈QeTi(t)Pbijh(ej(t-τ(t)))≤
∑mk=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))T((BkkBTkk)/(2θ2)+(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3))
(~overe)(k)j(t)+∑mk=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t-τ(t)))T
[((μ22θ2(lk-lk-1-1))/(lk-lk-1)+(μ22θ3((-overq)-1)(m-1))/((-overq)))
Ilk-lk-1](~overe)(k)j(t-τ(t))(8)
此外,由
E[∑Ni=1eTi(t)Pρi(t)diei(t)]=
E[∑Ni=1eTi(t)Pρidiei(t)]
得
E[V4(t)]=E[-∑Ni=1eTiPρi(t)diei(t)]=
E[-∑mi=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))TDk(~overe)(k)j(t)](9)
由假设2有
V5(t)=1/2tr[σi(t, e(t), e(t-τ(t)))T
Pσi(t, e(t), e(t-τ(t)))]≤
((-overp))/2∑Nj=1[eTj(t)γ1ej(t)+
eTj(t-τ(t))γ2ej(t-τ(t))]≤
∑Nj=1pjeTj(t)((-overp)γ1)/(2(~overp))ej(t)+
∑Nj=1pjeTj(t-τ(t))((-overp)γ2)/(2(~overp))ej(t-τ(t))(10)
注意到E[dωij(t)]=0以及式(6)至式(10),则
E[dV(t)]=E[LV(t)]≤∑mk=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t))T
[(-(ηk)/((-overp))+δk+(θ1β22((-overq)-1)(m-1))/((-overq)))Ilk-lk-1+
((-overp)γ1)/(2(~overp))+(Ak,qkATk,qk)/(2θ1)+(BkkBTkk)/(2θ2)+(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3)-Dk]×
(~overe)(k)j(t)+∑mk=1∑nj=1pj|(~overe)(k)j(t)|TA ^kk|(~overe)(k)j(t)|+
[(μ22θ2(lk-lk-1-1))/(lk-lk-1)+(μ22θ3((-overq)-1)(m-1))/((-overq))+
((-overp)γ2)/(2(~overp))]∑mk=1∑nj=1pj((~overe)(k)j(t-τ(t)))T
(~overe)(k)j(t-τ(t))≤aV(t)+bV(t-τ(t))
由引理3, E[V(t)]≤max-τ≤s≤0E[V(s)]e-λt, λ是方程λ=a-beλt的唯一正整数解,所以
E=ei(t)=2≤(2E=ξ=2)/((~overp))e-λt
证毕.
特别地,当τ(t)=0时,即在系统(1)中不考虑时滞,式(1)即变为
dxi(t)=[fk(xi(t))+∑Nj=1aijg(xj(t))+
∑Nj=1bijh(xj(t))]dt+σi(t, x(t), x(t-
τ(t)))dωi(t), i∈K(11)
此时, b=(μ22θ2(lk-lk-1-1))/(lk-lk-1), 从上述定理中容易得到下面结论.
推论1 若假设1与假设2成立,且满足下列条件
1)Ξ=(Ak,qkATk,qk)/(2θ1)+(BkkBTkk)/(2θ2)+(Bk,qkBTk,qk)/(2θ3)+A ^kk+
[-η/((-overp))+δk+(θ1β22((-overq)-1)(m-1))/((-overq))]
Ilk-lk-1+((-overp)γ1)/(2(~overp))-Dk<0,
2)|a|>b.
则系统(11)能达到均方簇同步.
考虑含有12个节点的混沌系统[19]:
dxi(t)=[fk(xi(t))+∑12j=1aijg(xj(t))+
∑12j=1bijh(xj(t-τ(t)))]dt+
σi(t, x(t), x(t-τ(t)))dωi(t),
i∈K(12)
其中, xi(t)=(xi1(t), xi2(t), xi3(t))T∈R3, 选取f(t,xi(t))=(a1x2i1(t)-x3i1(t)-xi2(t)-xi3(t)
(a1+b1)x2i1(t)-xi2(t)
b2(a2xi1(t)-xi3(t)+a3)), g(xj(t))=(xj1(t)+0.005sin xj1(t),0,0)T和h(xj(t-τ(t)))=(0.1sin xj1(t-τ(t)),0,0)T.其中a1=2.8, a2=9, a3=5, b1=1.6, b2=0.001, 因此可得β1=0.995, β2=1.005, μ2=0.1, 耦合矩阵 A和 B的选取与文献[19]相同. 这里12个节点被分成两簇,其中C1={1,2,3,4,5,6}, C2={7,8,9,10,11,12}. 假设网络的同步目标是s1(t)和s2(t), 有初始条件s1(0)=(0.1,0.2,0.3)T和 s2(0)=(0.2,0.3,0.4)T, 且满足
s·k(t)=(a(k)1x2i1(t)-x3i1(t)-xi2(t)-xi3(t)
(a(k)1+b(k)1)x2i1(t)-xi2(t)
b(k)2(a(k)2xi1(t)-xi3(t)+a(k)3))+
σk(t, s(t), s(t-τ(t)))dωk(t), k=1,2.
其中, a(1)1=0.3, a(1)2=1.1, a(1)3=0.2, b(1)1=1.0, b(1)2=0.1,a(2)1=0.1, a(2)2=1.5, a(2)3=0.1, b(2)1=1.1, b(2)2=0.1.存在P=I3, Δ1=2.7I3, Δ2=3I3, η1=-1.67, η2=-1.99使得 fk满足QUAD条件,此外
σ1(t, x(t), x(t-τ(t)))=0.1diag{xi1(t)-
xi+1,1(t), xi2(t)-xi+1,2(t), xi3(t)-xi+1,3(t)}
σ2(t, x(t), x(t-τ(t)))=0.2diag{xi1(t)-
xi+1,1(t), xi2(t)-xi+1,2(t), xi3(t)-xi+1,3(t)}
图1 网络(12)在随机牵制控制下节点状态随时间变化图
Fig.1 (Color online)Node state trajectories xij(t) of network(12)under random pinning control
图1为网络(12)中节点xij(t)(i=1, 2, …, 12, j=1, 2, 3)的状态在随机牵制控制下的状态轨迹.可以看到节点的每个分量最终同步到2个目标状态.
图2为网络中节点状态和目标状态间的总误差期望E(t)在随机牵制控制下最终趋于零.其中,E(t)=∑mk=1∑i∈K=xi(t)-sk(t)=2.
本文通过随机牵制控制的方法,研究同时具有非时滞耦合和时滞耦合,且含有噪声的复杂网络均方簇同步问题.该网络中节点间的耦合是非线性的且不同簇间的节点动力学性态不同.通过设计适当的随机牵制控制器并构造适当的Lyapunov 函数,利用稳定性定理与随机分析理论得到网络同步的充分条件.数值实验结果证明,所得结论正确有效.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
主 管 深圳大学
主 办 深圳大学
编辑出版 深圳大学学报理工版编辑部
主 编 阮双琛
国内发行 深圳市邮电局
国外发行 中国国际图书贸易集团有限公司(北京399信箱)
地 址 北京东黄城根北街16号
邮 编 100717
电 话 0755-26732266
0755-26538306
Email journal@szu.edu.cn
标准刊号 ISSN 1000-2618
CN 44-1401/N