作者简介:唐剑炬(1988—),男(汉族),广东省罗定市人,香港大学博士研究生.E-mail: 2120100101@email.szu.edu.cn
中文责编:英 子; 英文责编:木 南
1)深圳大学物理科学与技术学院,深圳 518060; 2)香港大学物理系,香港
1)College of Physical Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China2)Department of Physics, The University of Hong Kong, Hong Kong, P.R.China
quantum physics; quantum control; control protocol; finite dimensional quantum system; square pulse; time evolution operator
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2015.05441
研究利用方型交替场进行有限维量子系统的控制协议.通过一个多循环的过程把量子系统控制到任意给定的目标态, 在每个循环里利用方波脉冲控制系统能级间单个或几个跃迁.研究系统包括:除第1能级间隔外其他都一样的有限维系统; 第1和第3能级间隔相等的4能级系统; 各能级间隔都一样的3能级系统.目标态几率幅与系统与外场的作用时间以及系统的自由演化时间满足三角函数关系,并可解析地确定.
A control protocol to drive finite dimensional quantum systems to an arbitrary target state is proposed explicitly by using square pulses. It is a multi-cycle control process, and in each cycle we apply square pulses to cause a single or a few transitions between energy levels. Systems with equal energy gaps except for the first one, four-dimensional systems with equal first and third energy gaps but different second energy gap, and three-dimensional systems with all equal energy gaps are investigated in detail. The control parameters, namely the interaction time between systems and control fields as well as free evolution times between cycles, are connected with the probability amplitudes of target states via trigonometric functions and are determined analytically.
量子控制是相干地或者非相干地把量子系统驱动到给定目标态的过程[1-2]. 在量子物理的很多领域,量子控制起着重要的作用,特别是在量子计算和量子信息处理方面[3-6]. 经典控制理论里的一些思想已被推广到量子系统的控制,如开环与闭环控制、优化控制[7-9]、可控性[10-14]和反馈控制[15]等.对于非相干控制,量子系统是通过与量子探针(quantum accessor)而不是经典场的相互作用来控制的[16-20]. 对于一个量子控制问题,首先要对被控系统建模,然后设计外场与系统的耦合,检验其可控性.可控性和系统的哈密顿量以及系统与控制场的相互作用密切相关.然后设计系统与控制外场的控制流程与步骤,这一步称之为控制协议,即本研究所要关注的.
前期我们提出了用时间相关的余弦控制外场来控制有限维量子系统的方案[21]. 文献[22]利用旋转波近似去掉哈密顿量里的高频成份,从而给出解析解. 本文我们利用每一周期中用正负交替的方波脉冲来控制有限维的量子系统的控制协议,使用方波脉冲后,找到系统量子态的一个不变子空间.相互作用哈密顿量和时间演化算符可以解析地处理,而且不需要用旋转波近似.本文研究除第1能级间隔其余均相等的量子系统外,还将研究在一个循环存在多个跃迁的系统,如等能级间距的三维量子系统. 解析得到目标态几率幅与控制参数、脉冲数以及脉冲正负振幅的时间差的关系.研究过程中,设i=(-1)1/2, =1.
考虑一个N维非简并量子系统,其本征能量和本征态分别为En和|n〉. 则其哈密顿量为
H0=∑Nn=1En|n〉〈n|(1)
本研究旨在设计一个控制协议,把系统从初态演化到任意给定的目标态. 该协议要求满足:
1)由于目标态有2(N-1)个独立的实参数(N-1个实几率幅和N-1个相对相位),因此,设计的控制协议需提供2(N-1)个控制参数;
2)为设计控制外场及其与系统的耦合方式,需求出控制参数和目标态几率幅的关系;
3)在每一循环里,执行的控制操作能够在实验室里实现.
在所有的控制协议中,最简单的就是在每一个循环里只控制2个能级间的跃迁. 例如,对于除第1能级间隔外其他都相等的系统(系统Ⅰ),即
μ1≠μ2=μ3=…=μN-1(2)
其中, μi=Ei+1-Ei是能级间隔. 类似的,文献[21]里的各相邻能级间隔都不相同,即μi≠μj(i≠j)的系统,也可采用这种方法. 然而,这种方法并不普适,如对本研究里能级间距μ1=μ3≠μ2的4维系统(图1(a),系统Ⅱ),频率为μ1的控制外场一般都会引起能态|1〉与|2〉以及|3〉与|4〉间的同时跃迁. 此系统的相互作用哈密顿量为
H=H0+f(t)(σ12x+σ34x)(3)
其中, f(t)为经典控制外场; σijx=|i〉〈j|+|j〉〈i|为广义Pauli算符.
幸运的是,其时间演化算符是可以因子化的.且对于某些特殊初态,如|1〉,若把它制备到第1个控制循环里,则在此循环中能态|3〉和|4〉是不会改变. 这等效于外场只引起|1〉和|2〉间的跃迁.
然而,对于相邻能级间隔都相同的系统,时间演化算符的求解是困难的. 对于如图1(b)的3维系统,它在第一个循环里的哈密顿量是
H=H0+f(t)(d1σ12x+d2σ23x)(4)
1)箭头表示由控制外场引起的跃迁, 圆圈中数字标记循环序数
图1 4维量子系统(μ1=μ3≠μ2系统Ⅱ)和能级间隔相等的3维系统1)
Fig.1 Four dimensional system with μ1=μ3≠μ2(system Ⅱ), and three dimensional system with equal energy gaps(system Ⅲ)
由Wei-Norman定理[23],时间演化算符可表示为
U(t)=∏dimLi=1exp[αi(t)Xi](5)
其中, Xi是李代数u(3)的一组基(或su(3),若H0的迹为0), 函数{ai(t)}满足一非线性方程组.但这个方程组不能得到解析解. 所以本研究采用另一方法来计算时间演化算符的解析表达式.
本研究利用方波脉冲控制量子系统.考虑一个脉冲序列,它只与能级|m〉和|n〉(m>n)共振.每个脉冲表达为
Emn(t)={εmn, 0≤t≤Δmn1
-εmn, Δmn1≤t≤Δmn1+Δmn2(6)
其中, εmn是常数电场; Δmn1和Δmn2分别为在脉冲的一个周期内正负部分的持续时间.脉冲波形如图2.设Tmn是脉冲周期, 且Tmn=Δmn1+Δmn2, 则其共振条件为
ωmn=2π/Tmn=Em-En(7)
其中, ωmn是控制外场的圆频率; Em和En分别为第m和n能级的能量值.
对应于Emn(t)=±εmn系统和脉冲的总哈密顿量为
H(mn)±=H0±dmnσmnx(8)
其中, dm=εmg, g为耦合强度.
由于哈密顿量与时间无关,相应的时间演化算符可写成U(mn)±(t)=exp(iH(mn)±t). 为把它展开成简单形式,可将其写为
H(mn)±=H(mn)0+H(mn)c±(9)
其中,
{H(mn)0=θmnI+∑N(k=1)/(k≠m,n)(Ek-θmn)|k〉〈k|
H(mn)c±=1/2ωmn(|n〉〈n|-|m〉〈m|)±dmnσmnx(10)
这里, θmn=(En+Em)/2; I为单位算符.显然有
[H(mn)c±, H(mn)0]=0(11)
由于
H(mn)0|k〉={θmn|k〉, k=m, n
Ek|k〉, k≠m, n(12)
即由{|n〉, |m〉}张成的子空间Hmn在H(mn)0的作用下不变,因此在H(mn)±的作用下也是不变的.如此,很容易证明
{(H(mn)c±)2k=(Ωmn)2kImn, k≥1
(H(mn)c±)2k+1=(Ωmn)2kH(mn)c±, k≥0(13)
其中,
Ωmn=(1/4ω2mn+d2mn)1/2(14)
且Imn≡|n〉〈n|+|m〉〈m|是不变子空间里Hmn的单位算符.利用式(12)和式(13),可求出时间演化算符为
U(mn)±(t)=e-i(H(mn)0+H(mn)c±)t=e-iH(mn)0te-iH(mn)c±t=
{I+[cos(Ωmnt)-1]Imn-
Ω -1mni sin(Ωmnt)H(mn)c±}e-iH(mn)0t(15)
在不变子空间Hmn里,有
U(mn)±(t)|n〉=e-iθmnt{cos(Ωmnt)|n〉-(i sin(Ωmnt))/(Ωmn)×
((ωmn)/2|n〉±dmn|m〉)}(16)
为简单起见,假设控制场很强,即dmnωmn. 此时, ωmn /Ωmn→0, dmn/Ωmn→1. 式(16)可化简为
U(mn)±(t)|n〉=e-iθmnt[cos(Ωmnt)|n〉
i sin(Ωmnt)|m〉](17)
类似地有
U(mn)±(t)|m〉=e-iθmnt[cos(Ωmnt)|m〉
i sin(Ωmnt)|n〉](18)
在控制外场的一个周期Tmn里,时间演化算符为U(mn)(Tmn)≡U(mn)_(Δmn2)U(mn)+(Δmn1), 它对|n〉和|m〉的作用为
{U(mn)(Tmn)|n〉=e-iθmnTmn[cos(ΩmnΔmn)|n〉+
i sin(ΩmnΔmn)|m〉]
U(mn)(Tmn)|m〉=e-iθmnTmn[cos(ΩmnΔmn)|m〉+
i sin(ΩmnΔmn)|n〉](19)
其中, Δmn≡Δmn2-Δmn1.
对系统与外场的lm个脉冲作用(即作用时间τmn=Tmnlmn), 时间演化算符为
U(mn)(τmn)=U(mn)(lmnTmn)=
(U(mn)(Tmn))lmn(20)
式(20)是通过把式(19)中的U(mn)(Tmn)里的θmn替换为lmnθmn, Δmn替换为lmnΔmn而得到的. 显然,几率幅是由ΩmnlmnΔmn决定的,可通过调整参数Δmn以保证lmn是正整数.
现例举一个简单的2能级系统.若系统初态为|1〉,则受l12个外场脉冲作用后,其态为
|Ψ〉=e-iθ12l12T12[cos(Ω12Δ12l12|1〉+
i sin(Ω12Δ12l12)|2〉](21)
此结果与文献[21]类似,只是相对相位为e-i(E2-E1)τ1(其中τ1是相互作用时间),且可通过控制场的振幅调节.相比之下,这里的相对相位i=e-iπ/2. 让系统再自由演化一段时间τ1'后,其末态为
|Ψ'〉=[cos(Ω12l12Δ12|1〉+
i e-iω12τ1'sin(Ω12l12Δ12)|2〉](22)
再加上一个公共相位δ=e-iθ12l1T12e-iE1τ1'. 通过选择控制参数Ω12≈ε12g, Δ12, l12和τ1', 就可把系统控制到任意的目标态上.
系统Ⅰ控制协议的控制过程包含N-1个循环. 在第m个循环中,首先利用频率为ωm=Em+1-Em的外场控制一段时间τm, 它控制能级|1〉与|m+1〉间的跃迁. 然后,让系统自由演化一段时间τm'. 为了方便,把指标(m+1 1)改为(m), 时间演化算符重新标记为U(m)≡U(m+1 1). 本研究将推导出目标态的表达形式,控制参数{τm, τm'}和目标态几率幅间的关系.
设系统初始时刻制备在|1〉上,则控制外场与系统作用一段时间τ1,再自由演化τ1'后,系统的态为
|Ψ'〉(1)=a11|1〉+a12|2〉(23)
其中,
{a11=e-i(θ1l1T1+E1τ1' )cos(Ω1l1Δ1)
a12=e-i(θ1l1T1+E2τ1' )i sin(Ω1l1Δ1)(24)
为了得到目标态的解析表达式,需推导出相邻两个循环间几率幅间的递推关系. 设m-1个循环后系统的态为
|Ψ'〉(m-1)=∑mk=1am-1k|k〉(25)
则系统经过lm个脉冲作用,再自由演化一段时间τm'后,得到的态为
|Ψ'〉(m)=e-iH0τm'U(m)(lmTm)|Ψ〉(m-1)=
e-i(θmlmTm+E1τm' )cos(ΩmlmΔm)am-11|1〉+
∑mk=2e-i(EklmTm+Ekτm' )am-1k|k〉+
e-i(θklmTm+Em+1τm' ) i×
sin(ΩmlmΔm)am-11|m+1〉≡
∑m+1k=1am1|k〉(26)
由此得到的递推关系为
am1=e-i(θmlmTm+E1τm' )cos(ΩmlmΔm)am-11(27)
amk=e-iEk(lmTm+τm' )am-1k 2≤k≤m(28)
amm+1=i e-i(θmlmTm+Em+1τm' )sin(ΩmlmΔm)am-11(29)
从式(24)、式(27)和式(29)可得到
am1=exp[-i∑mi=1(θiliTi+E1τi' )]×
∏mi=1cos(ΩiliΔi)(30)
am2=i sin(Ω1l1Δ1)exp{-i[E2∑mi=2(liTi+τi')+
θ1l1τ1+E2τ1']}(31)
amm+1=i sin(ΩmlmΔm)∏m-1i=1cos(ΩiliΔi)×
exp{-i[∑mi=1θiliTi+∑mi=1E1τi'+Em+1τm']}(32)
利用式(28),可得
amk=e-iEk(lmTm+τm' )…e-iEk(lkTk+τk' )ak-1k=
exp{-i[Ek∑mi=k-1τi'+E1∑k-2i=1τi'+
Ek∑mi=kliTi+∑k-1i=1θiliTi]}×
i sin(Ωk-1lk-1Δk-1)∏k-2i=1cos(ΩiliΔi)(33)
其中, 3≤k≤m.
式(33)的计算用了式(32),同时把m用k-1替换.经过N-1个循环,即设式(30)至式(33)中m=N-1, 得系统目标态为
|Ψ'〉N-1=∑Nk=1aN-1k|k〉=∑Nk=1Ckγk|k〉(34)
其中,几率幅的实部Ck为
{C1=∏N-1i=1cos(ΩiliΔi)
C2=sin(ΩiliΔi)
Ck=sin(Ωk-1lk-1Δk-1)∏k-2i=1cos(ΩiliΔi),
3≤k≤N(35)
相位γk为
{γ1=exp[-i∑N-1i=1(θiliTi+E1τi')]
γ2=i exp{-i[E2∑N-1i=2(liTi+τi')1+
θ1L1T1+E2τi']}
γk=i exp{-i[Ek∑N-1i=k-1τi'+E1∑k-2i=1τi'+
Ek∑N-1i=kliTi+∑k-1i=1θiLiTi]},
3≤k≤N(36)
对于一个给定的目标态, Cn和γn是确定的.因此可确定控制参数lnΔn和τn', n=1,2,…,N-1. 由C2可确定l1Δ1. 然后从C3可以确定l2Δ2. 重复下去,就会得到所有的lk-1Δk-1.
对于τi', 首先从γ1或γ2, 可确定∑N-1i=1τi'; 然后, 从γ3得到E3∑N-1i=2τi'+E1τ1'; 又因E1≠E3, 可得到 τ1'和∑N-1i=2τi'; 由γ4可得E4∑N-1i=3τi'+E1τ2', 并由此可得τ2'和∑N-1i=3τi'. 重复以上做法,得到所有的τi'.
若在第1个循环里,加入频率ω1=E2-E1=E4-E3的外场使之与系统相互作用,则与正和负脉冲相对应的控制系统的总哈密顿量为
{H±=H±1+H±2,
H±1=E1|1〉〈1|+E2|2〉〈2|±d1σ12x
H±2=E3|3〉〈3|+E4|4〉〈4|±d2σ34x(37)
显然有[H±1, H±2]=0. 因此,时间演化算符可因子化为
U±(t)=U(1)±(t)U(2)±(t)=
exp(-iH±1t)exp(-iH±2t)(38)
算符U(1)±(t)和U(2)±(t)都可按照1.2节那样处理. 但是,若将系统初态选为|1〉,则可能有H2±|1〉=0, 因此U(2)±|1〉=|1〉. 在这种情况下
U(2)±(t)|1〉=U(1)±(t)|1〉=
exp(-iH±1t)|1〉(39)
为展开U±1(t), 可将H±1重写为
H±1=θ12I-θ12I34+H(12)c±,(40)
其中, I34=|3〉〈3|+|4〉〈4|, 且
H(12)c±=1/2ω1(|2〉〈2|-|1〉〈1|±
d1(|1〉〈2|-|2〉〈1|)(41)
那么有
e-iH±1t=[I+[cos(Ω1t)-1]I12-(i sin(Ω1t)H(12)c±)/(Ω1)]×
exp(-iθ12I)exp[iθ12(|3〉〈3|+|4〉〈4|)](42)
其中,Ω1=[d21+ω21/4]1/2. 式(42)作用到初态|1〉上,得
e-iH±1t|1〉=eθ12t[cos(Ω1t)|1〉 i sin(Ω1t)|2〉](43)
式(43)用到了强场近似,即d1ω1, ω1/Ω1→0, d1/Ω1→1.
在第1个循环里,系统被控l1T1时间,得到
|Ψ〉(1)=U(1)(l1T1)|1〉=
(U-1(τ12)U+1(τ11))l1|1〉=
e-iθ12l1T1[cos(Ω1l1Δ1)|1〉+
i sin(Ω1l1Δ1)|2〉](44)
其中, Δ1=τ12-τ12. 系统自由演化τ1'时间后,态为
|Ψ'〉(1)=e-iH0τ1'|Ψ〉(1)=a11|1〉+a12|2〉(45)
其中,
am1=e-i(θmlmTm+E1τ1') cos(ΩmlmΔm)am-11(46)
在循环2中,利用频率为ω1=E4-E1的控制场控制系统一段时间l2T2. 利用1.2节里的方法处理时间演化算符,系统经外场控制且自由演化一段时间τ2'后,其末态为
|Ψ'〉(2)=e-iH0τ2'(U(2)_(τ22)U(2)+(τ21))|Ψ'〉(1)=
a21|1〉+a22|2〉+a24|4〉(47)
其中,
{a21=e-i(θ14l2T2+θ12l1T1+E1∑2i=1τ1')×
cos(Ω2l2Δ2)cos(Ω1l1Δ1)
a22=e-i(θ12l1T1+E2l2T2+E2∑2i=1τi')×
i sin(Ω1l1Δ1)
a24=e-i(θ14l2T2+θ12l1T1+E4τ2'+E1τ1')×
i sin(Ω2l2Δ2)cos(Ω1l1Δ1)(48)
在第3个循环里,控制外场的频率取为ω3=E3-E2. 时间演化算符仍按1.2节方法处理.系统受控l3T3时间,再自由演化τ3',得到末态
|Ψ'〉(3)=e-iH0τ3'(U(3)_(τ32)U(3)+(τ31))|Ψ'〉(2)=
∑4n=1an|n〉=∑4n=1γnCn|n〉,(49)
其中,实几率幅为
{C1=cos(Ω2l2Δ2)cos(Ω1l1Δ1)
C2=cos(Ω3l3Δ3)sin(Ω1l1Δ1)
C3=sin(Ω3l3Δ3)sin(Ω1l1Δ1)
C4=sin(Ω2l2Δ2)cos(Ω1l1Δ1)(50)
相对相位为
γ1=exp{-i[θ14l2T2+θ12l1T1+
E1(τ1'+τ2'+τ3')+E1l3T3]}(51)
γ2=i exp{-i[θ23l3T3+θ12l1T1+
E2(τ1'+τ2'+τ3')+E2l2T2]}(52)
γ3=exp{-i[θ23l3T3+θ12l1T1+
E3τ3'+E2(τ1'+τ2')+E2l2T2]}(53)
γ4=i exp{-i[θ14l2T2+θ12l1T1+
E1τ1'+E4(τ2'+τ3')+E4l3T3]}(54)
需要从目标态的几率幅确定控制参数{lnΔn, τn'|n=1,2,…,N-1}. 显然,由式(50)可得
{(C4)/(C1)=tan(Ω2Δ2l2)
(C3)/(C2)=tan(Ω3Δ3l3)
(55)
由此得到Δ2l2和Δ3l3, 然后可由C1确定Δ1l1.
从γ1、 γ3和γ4可确定τ1'+τ2'+τ'、 E2(τ1'+τ2')+E3τ'和E2(τ1'+τ2')τ2'. 它们的系数矩阵的行列式(E2-E1)(E2-E3)≠0. 所以可得到所有的控制参数τi'(i=1,2,3).
考虑等能级间隔的3能级系统,即E3-E2=E2-E1=μ. 首先利用频率为μ的控制场,让系统受控一段时间l1T1, 然后自由演化时间τ1'. 在第2个循环里,利用频率为ω2=E3-E1=2μ的外场控制系统一段时间l2T2, 然后自由演化时间τ2'.
在第1个循环里,与正负脉冲相应的控制系统总的哈密顿量为
H(1)±=∑3i=1Ei|i〉〈i|±[d1σ12x+d2σ23x](56)
由于[σ12x, σ23x]≠0, 时间演化算符不能像第3节那样处理.但当系统初态处于基态|1〉时,可解析地求出U±(t)|1〉. 显然,此时有
H(1)±|1〉=E1|1〉+d2|2〉,
(H(1)±)2|1〉=(E21+d21)|1〉+
d1(E1+E2)|2〉+d1d2|3〉
不失一般性,设E2=0, 则在强场近似下有E1=-μ、 E3=μ d1, d2. 因此可得
{H(1)±|1〉=d1|2〉
(H(1)±)2|1〉=d21|1〉+d1d2|3〉(57)
也很容易推导出
{(H(1)±)2k+1|1〉=±d1Ω 2k1|2〉, k≥0
(H(1)±)2k|1〉=d1Ω 2(k-1)1(d1|1〉+d2|3〉), k>0(58)
其中, Ω1=(d21+d22)1/2. 所以,时间演化算符作用在初态|1〉上的结果为
e-iH(1)±t|1〉=i(d1)/(Ω1)sin(Ω1t)|2〉+
{(d1)/(Ω 21)[cos(Ω1t)-1]+1}(d1|1〉+d2|3〉)(59)
进一步可得到
{(H(1)±)2k+1|2〉=±Ω 2k1(d1|1〉+d2|3〉)
(H(1)±)2k|2〉=Ω 2k1|2〉(60)
以及
e-iH(1)177;t|2〉=cos(Ω1t)|2〉
i(sin(Ω1t))/(Ω1)(d1|1〉+d2|3〉)(61)
e-iH(1)177;t|3〉=(d2)/(Ω 21)[cos(Ω1t)-1](d1|1〉+d2|3〉)
(id2)/(Ω1)sin(Ω1t)|2〉+|3〉)(62)
经过1个周期T1后,可得
e-iH(1)_Δ21e-iH(1)+Δ11|1〉=(id1)/(Ω1)sin(Ω1Δ1)|2〉+
{(d21)/(Ω 21)[cos(Ω1Δ1)-1]+1}|1〉+
(d1d2)/(Ω1)[cos(Ω1Δ1)-1]|3〉(63)
其中, Δ1≡Δ21-Δ11.
加入到第2个周期脉冲后,则
(e-iH(1)_Δ21e-iH(1)+Δ11)2|1〉=(id1)/(Ω1)sin(Ω12Δ1)|2〉+
{(d21)/(Ω 21)[cos(Ω12Δ1)-1]+1}|1〉+
(d1d2)/(Ω 21)[cos(Ω12Δ1)-1]|3〉(64)
重复式(64)和式(65)的算法,经过τ1/T1个脉冲作用后,系统的态为
|Ψ〉(1)=(e-iH(1)_Δ21e-iH(1)+Δ11)l1|1〉=
{(d21)/(Ω 21)[cos(Ω1Δ1)-1]+1}|1〉+
i(d1)/(Ω1)sin(Ω1l1Δ1)|2〉+
(d1d2)/(Ω 21)[cos(Ω1l1Δ1)-1]|3〉(65)
自由演化一段时间后,系统所处态为
|Ψ'〉(1)=a11|1〉+a12|2〉+a13|3〉(66)
其中,
{a11=e-iE1τ1'Re(a11)
a12=e-iE2τ'(id1)/(Ω1)sin(Ω1l1Δ1)
a13=e-iE3τ'Re(a13)(67)
且
Re(a11)=(d21)/(Ω 21)[cos(Ω1Δ1)-1]+1(68)
Re(a13)=(d1d2)/(Ω 21)[cos(Ω1Δ1)-1](69)
在第2个循环里,总哈密顿量为
H(2)±=∑3i=1Ei|i〉〈i|±d3σ13x(70)
它引起能态|1〉和|3〉间的跃迁.因此,当l2=τ2/T2个脉冲作用到系统后,由1.2节的结论可得
{U(2)(l2T2)|1〉=(U(2)(T2))l2|1〉=
e-iθ13l2T2[cos(Ω2l2Δ2)|1〉+i sin(Ω2l2Δ2)|3〉]
U(2)(l2T2)|3〉=(U(2)(T2))l2|3〉=
e-iθ13l2T2[cos(Ω2l2Δ2)|3〉+i sin(Ω2l2Δ2)|1〉]
U(2)(l2T2)|2〉=|2〉(71)
其中, Ω2=(ω22/4+d23)1/2.
系统与l2个脉冲作用后,再自由演化一段时间τ2', 得到的末态为
|Ψ'〉(2)=e-iH0τ2'|Ψ〉(2)=∑3k=1a2k|k〉(72)
其中,
{a21=e-iE1(τ1'+τ2' )Re(a11)cos(Ω2l2Δ2)+
e-i(E3τ1'+E1τ2' )i Re(a13)sin(Ω2l2Δ2)
a22=e-iE2(τ1'+τ2' )(i d1)/(Ω1)sin(Ω1l1Δ1)
a23=e-i(E1τ1'+E3τ2' )i Re(a11)sin(Ω2l2Δ2)+
e-iE3(τ1'+τ2' )Re(a13)cos(Ω2l2Δ2)(73)
计算中用了θ13=0.
首先,从a22可确定控制参数l1Δ1和τ1'+τ2',同时也可确定Re(a11)和Re(a13),则可证明
-i[eiE1(τ1'+τ2' )a21Re(a13)-
e-iE3(τ1'+τ2' )(a23)*Re(a11)]=[Re(a13)2+
Re(a11)2]e-i(E3-E1)τ1'sin(Ω2l2Δ2)(74)
对于一个给定的目标态,上式等号两边中括号里的两项是已知的.因此可确定e-i(E3-E1)τ1' sin(E3-E1)τ1'sub>2l2Δ2), 从而求出τ1'、 l2Δ2以及τ2'.
本研究提出用方波脉冲去控制有限维量子系统的协议. 在强场近似下,得到时间演化算符的解析表达式, 并用来控制3类有限维量子统. 控制参数和目标态几率幅间的关系则通过三角函数相联系. 控制参数包括受控系统与控制脉冲相互作用的时间,以及系统自由演化时间.
使用方波脉冲实现控制协议可避免使用旋波近似,且系统与控制场的相互作用并未产生各能态间的相对相位.相对相位由循环间受控系统的自由演化时间确定.本研究给出了理想方脉冲的控制方案,在实验中,真实脉冲存在着上升沿和下降沿,会导致控制时间不够准确,从而引起目标态的偏离. 下一步拟采用脉冲的半高度对应的时间宽度为控制时间,尽量减少脉冲的个数和提高脉冲的理想程度来提高控制的精度.我们也将本研究方法推广到有限维量子系统的间接控制中,并且考虑在环境影响下的量子系统的控制协议.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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主 编 阮双琛
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