模拟电荷法以镜像法为基础,基于电磁场的唯一性定理,将电极表面连续分布的自由电荷或介质分界面上连续分布的束缚电荷,用位于无效区域的一组离散化的模拟电荷来等值代替^[1-2].而矩量法是基于加权余量法或定义泛函内积等方法,将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题,借助计算机求其数值解,从而在所得激励源分布的数值解基础上得到场的分布^{[3- 4]}.用模拟电荷法分析较复杂的问题时,模拟电荷的数量、大小和位置配置将变得十分复杂,以致影响问题的求解.本研究利用等效原理,使模拟电荷不再是整体均匀分布而是分段均匀分布,由此建立积分方程,并利用矩量法^[4]中的点匹配法,使积分方程离散为满足场的唯一性定理的矩阵方程.

为了分析方便又不失合理性,假设导线悬挂形状是“悬链线”^[5]、视工频电磁场为准静态场^[6]、模拟电荷的位置在高压输电线的中心轴线上.简化线路为圆柱导线,导线半径R_i用等效半径代替,运用有效值相量表示其电压和电流,以额定电压的1.05倍作为计算电压^[7].

现以三相(A相、B相和C相)水平排列线路为例进行分析.

导线方程即悬链线方程^[8]为

z=L/a(cosh(ax)/L-cosha/2)+H(1)

其中, H为导线悬挂点高度; a为导线水平应力系数, a=γL/σ₀, σ₀为导线水平应力, γ为导线比载; L为档距; x为导线上任意点的横坐标; z为该点对地高度.以图1单回路三相线路A相为例,将导线沿x轴等间距地分割成N段, D为A相和B相间的水平距离,线电荷密度为τ_i(i=1,2,…,N); 类似地,镜像导线也等间距地剖分为N段,线电荷密度为τ_i'(i=1,2,…,N),则有τ_i'=-τ_i, B相和C相采用同样的剖分^[9].

图1 悬链线模型
Fig.1 Catenary model

三相导线采用连续编号,则离散积分方程为

∑^3N_i=1τ_i∫_Δl'(1+sinh²((ax')/L))^1/2 ×

((∏_i)/(|r-r_i1'|)-(∏_i)/(|r-r_i2'|)) dx'=4πε₀φ₀(2)

其中, r是场点(x,y,z)的位置矢量; r_i1'和r_i2'分别为导线及其镜像上的离散场源点(x_i', y_i', z_i')、(x_i', y_i', -z_i')的位置矢量; x'为沿x轴的坐标; Δl'为导线的积分区间; ε₀为真空介电常数; φ₀为三相导线的电位.

采用点匹配计算模式^[10],基于式(2)得

∑^3N_i=1τ_i∫_-L/2^L/2δ_j(x-x_j')∫_Δl'(1+sinh²((ax')/L))^1/2((∏_i)/(|r-r_i1'|)-(∏_i)/(|r-r_i2'|)) dx' dx'=∫_-L/2^L/2δ_j(x-x_j')4πε₀φ₀ dx'(3)

其中,j=1,2,…,3N.将式(3)记为矩阵形式为

λτ=g(4)

其中, λ是电位系数组成的矩阵,为3N×3N的方阵; τ为线电荷密度组成的矩阵,为3N×1的列向量; g为3N×1的矩阵,其列向量元素皆为4πε₀φ₀.

考虑镜像导线的影响,可得当j≠i时的电位系数为

λ_ji=(1/(|r_j'-r_i1'|)-1/(|r_j'-r_i2'|))cosh(ax_j')/LL/N(5)

当j=i时的电位系数为

λ_jj=2ln(L/(Nr)cosh(ax_j')/L)-cosh((ax_j')/L)L/N1/(2|z_j'|)(6)

综上可得,任意场点P(x,y,z)处的电位为

φ(x,y,z)=

1/(4πε₀)∑^3N_i=1τ_iΔl_i'(1/(|r-r_i1'|)-1/(|r-r_i2'|))(7)

其中, |r-r_i1'|和|r-r_i2'|分别为场点与导线及其镜像导线场源点的距离; Δl_i'为第i个单元的分割段长度.

任意场点P(x,y,z)处的电场强度分量为

E_x(x,y,z)=-(φ)/(x)=L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(x-x_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z-z_i')²]^3/2)-

L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(x-x_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z+z_i')²]^3/2)(8)

E_y(x,y,z)=-(φ)/(y)=L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(y-y_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z-z_i')²]^3/2)-

L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(y-y_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z+z_i')²]^3/2)(9)

E_z(x,y,z)=-(φ)/(z)=L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(z-z_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z-z_i')²]^3/2)-

L/(4πε₀N)∑^3N_i=1(τ_i(z+z_i')cosh(ax_i')/L)/([(x-x_i')²+(y-y_i')²+(z+z_i')²]^3/2)(10)

本研究利用模拟电荷-矩量法,对输电线下的工频电场建立悬链线模型进行模拟分析.将模拟电荷法和矩量法结合起来,有效提高了仿真模拟结果的精确度,使仿真结果与实际测量值相符.

通过二维模型与悬链线模型的比较,在垂直档距中央的横向分布上,两者计算结果十分接近,曲线形状基本一致,但由于对导线形状采取不同的简化方式,沿导线走向的场强分布曲线存在很大差异.二维模型忽略弧垂和档距等因素的影响,仅能对输电线路下方场强总体水平予以评估.而悬链线模型不仅考虑导线形状的改变对场强的影响,还考虑气象条件的变化,使仿真结果更加精确.从这两种模型的仿真结果可见,导线离地高度能明显影响线下场强的分布情况,所以适当增加导线对地高度,可有效减少线下最大场强.建立高压输电线下三维工频电场的计算模型,可为有效预测与评估复杂输电线路周围空间的场强分布,更合理地架设输电线路提供理论依据.