散粒体结构中的应力分布具有高度的各向异性^[1-2]、搭拱效应引起的卡塞现象^[3]和黏滑移动特性^[4-5],工程中有时利用此特性提高承载力,有时则需要避免卡塞.散粒体结构的力学性质从本质上不同于连续介质,其自组织临界性属于非线性动力学问题.从自组织搭拱随遇平衡、以亚稳定状态随遇平衡、自组织逼近临界点,直到崩塌,整个过程均具有复杂和随机的特性.近年来,对散粒体结构性质的研究已有许多成果^[6-9],但仍需要大量的实验积累和理论研究.

散粒体结构的物理性质介于固体和液体之间,它的行为在两者之间转变,有许多不确定性和离散性,没有变形协调的约束,动态性和多变性很强,结构变形是不可恢复的,且在加载和卸载时都会产生.因此散体材料结构中的力学响应分析和工程监控不能以经典的连续介质或岩土力学作为理论指导.目前对散粒体结构的认识、研究及应用于工程问题的分析,还处于初级阶段,未形成方向较为固定、连续性的研究.本文通过试验模拟,针对碎石堆和砾石堆在连续竖向荷载作用下的滑移大崩塌现象,进行了细观的研究,应用随机理论分析散粒体结构的响应,并探讨理论模型,以期为防灾减灾工程及防护工程研究提供参考.

散粒体的自组织临界性是随机的,但也存在规律.在整个散粒体大崩塌过程中,小自组织临界发生的概率满足幂律关系^[16-18].散粒体大坍塌源于众多小散粒拱的崩塌,结构的剪切模量逐渐减小,颗粒渐进式地移动,即众多小自组织临界发生后,导致了颗粒相互约束产生的破坏,力学性质也由量变发展到质变.

以S表示散粒体大崩塌的临界状态,对应的加载时间是t,在[0, t]这一加载过程中, S可表示为小自组织临界的叠加:

S(t)=∑ⁿ_i=1s(t-t_i)(3)

其中,s(t-t_i)表示在加载时间t_i时,小自组织临界的发生对大崩塌所做的贡献.设t<t_i时, s(t-t_i)→0, 即没有外界荷载干扰时,自组织临界发生数为0.用概率P(n, t)刻画这个散粒体大崩塌时小自组织临界的统计量,其中, n为自组织临界发生量.设每个自组织临界发生都是相互独立的,当加载时间从t到t+Δt, 散粒拱崩塌的概率与t和n无关,只依赖于Δt,那么,有一个加载时间增量Δt时,发生n+1次s(Δt)的概率为

P(n→n+1, 一个加载时间增量Δt内)=

λ(θ, α)Δt(4)

其中, λ=E[N(t)]/Δt, 为散粒体中自组织临界发生的强度, E[N(t)]为一次Δt中小自组织临界发生的总量均值, Δt为一次记录的加载时间. λ与结构内的密实度θ和剪阻强度α密切相关,并满足边界条件:在t=0时,有p(0, 0)=1; 对于所有的n≥1, 有p(n, 0)=0. 也就是说没有加载时,没有自组织临界发生的概率为1,而有n次自组织临界发生的概率为0,那么散粒体的破坏过程为Poisson过程^[19].试验结果也表明,散粒体整体坍塌过程具有的特征相似于Poisson过程^[20-21],因此式(4)可以表达为

P(n, t)=((λt)ⁿ)/(n!)e^-λt, n=1,2,…(5)

设内部的变化近似为连续时,式(3)可表示为

S(t)=∫^∞_-∞dt_is(t-t_i)μ(t_i)(6)

其中, μ(t)=dN(t)/dt, N(t)为自组织临界发生的总量.由于自组织临界过程从自组织搭拱、拱随遇平衡到拱崩塌表现出黏滑特征^[22],因此,该行为可简化为

S(t)=q e^-αt, t>0(7)

其中,q描述颗粒之间的黏强度,即约束颗粒位移的咬合力——拱随遇平衡时间^[23]; α为动摩擦系数.

设内部的变化近似连续时,式(3)可表达为

S(t)=∫₀^tdt_iq exp[-α(t-t_i)](dN(t_i))/(dt_i)(8)

于是,可以得到随机微分方程

(dS)/(d(t_i))|_ti=t=-αS(t)+qμ(t)(9)

其中,qμ(t)为随机项,按照Poisson分布的性质,其均值和方差均为λ.

若将随机项定义为一个自组织临界量dN(t)及其均值之差,即

dw(t)=w(t+Δt)-w(t)=

dN(t)-λdt(10)

则式(9)可变为

dS(t)=[λq-αS(t)]dt+qdw(t)(11)

其中,将dw(t)可以解释为Wiener过程^[20],即dw(t)=δ_idt, δ_i为振幅随机项,属正态分布.

根据随机理论^[20-21]得

S(t)=φ(t)[S(0)+∫₀^tφ(t_i)^-1λqdt_i+

qdw(t_i)](12)

其中, φ(t)=e^-αt. 设加载时间t=0时,无自组织临界发生, 即S(0)=0, 所以有

S(t)=e^-αt[∫₀^te^αt_iλqdt_i+qδ_idt_i]=

(λq)/α[1-e^-αt(1-(αδ_i)/λt)],

t≤t_total(13)

其中, t_total为散粒体大崩塌时所累积的加载时间.式(13)反应了一个大崩塌发生的规律:当小的自组织临界的发生率减少到一定程度时,散粒体大的自组织临界的概率趋于一个常数.这个数主要与材料的咬合随遇平衡效应有关.

材料的各向异性能很好地维持着拱效应,大幅度提高剪阻力.宏观表现为散粒体具有更强的抵抗荷载的能力,如图4. 其中,α为试验数值. 试验中具有众多自组织临界波动,记录时以波动量>1 mm计为1次自组织临界波动.在式(13)中,为简单起见,参数均取试验测试的平均值,强度平均值(-overλ)=1.857,(-overα)=0.6,(-overq)=0.18,(-overδ)=0.06.

图4 大崩塌概率与位移的关系
Fig.4 (Color online)Diagram of the large collapse probability and displacement

本研究基于二维碎石、砾石堆体竖向荷载下大崩塌的试验分析,用随机理论细观探讨了一个预期失败模式的理论模型,定性地揭示了微观拱和宏观崩塌的演化规律,以及微观拱与材料性质的关系.主要特征有:

1)材料颗粒各项异性时应变约束力远大于各项同性时的应变约束力;

2)散粒体中每个小自组织临界的过程包括自组织搭拱、拱随遇平衡和拱崩塌的动力学演化,散粒体结构大崩塌是由众多小自组织临界发生后内部由量变到质变的过程;

3)具有较低动摩擦的颗粒,波动更加明显,稳定性也更差.

在岩土工程中接触到的散粒材料结构很多,由于散粒材料结构中存在诸多随机因素,因此给散粒体工程的理论研究带来许多困难^[24-25].后续将深入进行扩展实验和理论研究,为散体材料结构自组织临界性系统的可预测性以及灾害预测预报提供科学依据.