作者简介:赵 华(1973—),女(汉族),山西省中阳县人,深圳大学副教授、博士.E-mail:zhaohua@szu.edu.cn
中文责编:晨 兮; 英文责编:木 南
1)深圳大学物理科学与技术学院, 深圳 518060; 2)山西大学理论物理研究所,太原 030006
凝聚态物理; Fermi-Hubbard模型; 密度矩阵重整化群; 光学晶格; 自旋轨道耦合; Zeeman场; Mott绝缘态
Zhao Hua1, Li Huayan1, and Zhou Xiaofan21)College of Physics Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China2)Institute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, P.R.China
condensed matter physics; Fermi-Hubbard model; density-matrix-renormalization-group(DMRG); optical lattice; spin-orbit coupling(SOC); Zeeman field; Mott insulator phase
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2014.06570
利用密度矩阵重整化群(density-matrix-renormalization-group,DMRG)方法,研究自旋轨道耦合和Zeeman场作用下处于一维光学晶格中的排斥费米气体的量子相变.研究表明,当自旋轨道耦合与Zeeman场共同作用于系统时,自旋轨道耦合效应将增强系统的金属性,同时削弱Zeeman场对系统的极化作用.当自旋轨道耦合作用较弱使系统保持为Mott绝缘态时,随自旋轨道耦合强度的变化,Zeeman场的极化效应使系统呈现不同的量子态.
By using the density-matrix-renormalization-group(DMRG)method, the phase transition of ultra-cold repulsive Fermi gases loaded on one-dimensional optical lattices is investigated when spin-orbit coupling(SOC)and Zeeman field are involved. It is found that the SOC effects enhance the metal phase and reduce the polarization of the system in the presence of both the SOC and a large Zeeman field. Furthermore, when the system keeps a Mott insulation state under the weak spin orbit coupling, it is shown at different SOC strengths, the system appears as different quantum states due to the polarization effect of Zeeman field.
自1995年首次在实验中实现碱金属原子的玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation, BEC)[1-3]以来,超冷原子气体领域的研究发展迅速.近年来,人们对超冷玻色气体和费米气体进行了大量理论和实验研究,取得突破性的成果.例如,利用Feshbach共振[4]实现分子BEC与电子库伯(Cooper)对的凝聚体[5]、超冷费米气体的BEC-BCS(Bardeen-Cooper-Schrieffer,BCS)渡越和非平衡费米超流体[6-9]等.光晶格的实现和简并费米气体的获得,使囚禁于光晶格中超冷费米气体的量子相变问题成为物理学研究热点[10-15]. 实验上用多束相干性激光干涉形成的周期性势阱来囚禁费米气体,利用Feshbach共振技术可以调控磁场强度以及原子的散射长度.当原子的散射长度为正时,原子表现为相互排斥,随着原子间相互排斥作用的增强,实现了光晶格中超冷费米气体的金属相到Mott绝缘相的量子相变[16],且在非平衡费米系统中观测到了自旋密度波(spin-density wave,SDW)态和Wigner态[17]; 而当原子的散射长度为负值时,原子之间表现为相互吸引,改变相互吸引作用强度可实现不同的BCS配对机制,从而体现出超流相中的不同量子态[18].这些研究进一步加深了人们对多体相互作用量子系统的认识与理解.在超冷玻色、费米气体中的实验里实现自旋轨道耦合[19-23],为研究超冷原子的量子相变问题提供了一个崭新的平台,极大地丰富了凝聚态物理领域的物理图像.实验上总是引入Zeeman场来实现自旋轨道耦合,在自旋轨道耦合和Zeeman场共同作用下,使具有S波散射相互作用的简并费米系统产生Majorana 费米子[24],而Zeeman场的单独存在,尤其在低维系统中,可产生非零动量Cooper对,触发Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)相[25]的产生,文献[26-27]研究了这些相变之间的转变条件.
本研究采用一维光学晶格中超冷费米气体的基本模型——Fermi-Hubbard 模型为研究对象,运用目前计算低维强关联体系最准确有效的密度矩阵重整化群(density matrix renormalization group,DMRG)方法,通过计算晶格中粒子数密度分布ni、 粒子数涨落Δi、 系统极化率P以及系统的熵S, 研究了简谐势阱中超冷排斥费米气体在Zeeman场和自旋轨道耦合(spin-orbit coupling, SOC)作用下的零温基态属性,其中包括这两种作用效应分别对系统金属态﹑Mott绝缘态﹑自旋密度波态和金属与绝缘混合态的影响,讨论了粒子间排斥相互作用与自旋轨道耦合效应对系统金属-Mott绝缘相转变的相变分析,以及P和S的相关特性.
处于简谐势阱中的一维光晶格上的超冷排斥相互作用费米气体,当考虑Zeeman场和自旋轨道耦合效应时,系统的哈密顿量H[27]为:
H=H0+HZ+HSO(1)
其中, H0是存在简谐外势的一维光学晶格Fermi-Hubbard模型的哈密顿量[14]; HZ是Zeeman场项; HSO表示自旋轨道耦合效应.
H0=-t∑i(c^iσc^i+1σ+H.c.)+U∑i(n^i↑n^i↓)+
V(2/(L-1))2∑i,σ(i-(L+1)/2)2n^iσ(2)
其中,L为晶格数; i为格点指标,取1~L间的整数; c^iσ(c^iσ)为自旋为σ(σ=↑,↓)的费米子的产生(湮灭)算符; H.c.为厄米共轭项; n^i↑、n^i↓分别为格点i处自旋向上、向下的粒子数算符; t为最近邻格点之间的跃迁系数; U为同一格点上费米子间的相互作用强度; V为外加谐振磁场的强度.式(2)中第1项描述费米子系统的动能.本研究采用U>0表示排斥相互作用,为方便计算我们引入量纲为1的参量U≡U/t, V≡V/t,h≡h/t, λ=λ/t, 取t=1, 晶格数为L=30, 总粒子数为N=20.
HZ=-h∑(c^i↑c^i↑-c^i↓c^i↓)(3)
HSO=λ∑(c^i↑c^i+1↓-c^i↓c^i+1↑+H.c.)(4)
其中, h为Zeeman场强度; λ为自旋轨道耦合强度.
利用DMRG方法,通过对ni、 自旋向上粒子数密度n↑、 自旋向下的粒子数密度n↓、 n↑-n↓和Δi[17]进行数值模拟,并展开分析讨论.其中,
Δi≡〈n2i〉-〈ni〉2(5)
研究表明,当处于弱排斥相互作用时,系统趋于金属态[17].自旋轨道耦合和Zeeman场对费米系统金属态ni和Δi的影响如图1.
图1 自旋轨道耦合与Zeeman场作用在金属态上ni、n↑、n↓、n↑-n↓及Δi的变化
Fig.1 The distribution of particle density and variance of the local density with SOC and Zeeman field on the metallic phase
对于较弱的粒子间相互排斥作用以及外加谐振子势场的强度V(U=2V=2), 如果不考虑自旋轨道耦合和Zeeman效应,图1(a)显示费米系统此时处于金属态(n<1). 由于谐振子势的存在,粒子数密度分布n呈现dome状,自旋向上粒子数密度n↑与向下的粒子数密度n↓基本相同,系统并未出现极化; 单独引入弱Zeeman场后,系统的粒子数密度分布并没有发生明显变化,但系统开始被极化(n↑-n↓≠0), 见图1(b); 若只考虑自旋轨道耦合,粒子数密度的dome分布更加扁平,涨落整体增大,说明自旋轨道耦合确实增强了系统的金属性,见图1(e); 图1(f)显示,当自旋轨道耦合与Zeeman场同时存在时,粒子数密度分布与自旋轨道耦合单独作用时没有明显区别,但系统极化程度降低,说明在同等Zeeman条件下,自旋轨道耦合作用会削弱谐振子势的聚拢作用以及Zeeman场对系统的极化效应,而金属性得到强化.
图2 自旋轨道耦合与Zeeman场作用在Mott绝缘态上ni、n↑、n↓、n↑-n↓以及Δi的变化
Fig.2 The distribution of particle density and variance of the local density with SOC and Zeeman field on the Mott insulator phase
随着排斥相互作用U和外加谐振磁场强度V的渐增,伴随有金属边缘的Mott核(又称Mott绝缘态)出现[27].由图2分析表明:在较强的排斥相互作用与谐振子势场强度条件下(U=8V=15), 系统在势阱中心区域出现了Mott 绝缘态(n=1), 在此区域系统涨落很小,约为0.1,见图2(a).在单独弱Zeeman 场作用下,系统整体仍处于Mott 绝缘态,势阱中心区域的粒子数涨落并无明显变化,只是发生了不同程度的极化,且自旋向上、向下粒子数密度分布均出现规律性振荡,即出现 SDW[15],见图2(b); 而单独考虑自旋轨道耦合时,图2(e)显示,粒子数密度分布发生较大的改变,Mott绝缘态消失,粒子数密度n<1, 涨落明显增大,系统由Mott绝缘态转化为金属态,但并无极化现象; 在Zeeman场与自旋轨道耦合效应共同作用下,如图2(f)所示,粒子数密度整体呈金属态分布.与图2(e)相比,系统极化明显被削弱,自旋向上与自旋向下粒子数密度振荡明显减弱,自旋密度波态也随之消失.总之,Zeeman场的极化效应使强相互作用费米系统在Mott核内形成自旋密度波态,但由于自旋轨道耦合效应有助于增强系统的金属性而削弱系统的极化效应,导致自旋密度波态被抑制.
图3 自旋轨道耦合与Zeeman场作用在金属—绝缘态上ni、n↑、n↓、n↑-n↓以及Δi的变化
Fig.3 The distribution of particle density and varianceof the local density with SOC and Zeeman field on the metallic and insulator phase
进一步增加谐振子势场强度(U=8,V=20),系统将处于金属与Mott混合态.在势阱中心区域粒子数密度n>1,此时对应的势阱中心区域的粒子数涨落也较大,体现为金属态分布,如图3(a).在势阱两边粒子数密度n=1, 属于Mott 绝缘态分布; 引入Zeeman场后见图3(b),粒子数密度分布依然没有明显变化,Mott绝缘区粒子被极化后,自旋向上与自旋向下的粒子均出现振荡,呈自旋密度波态,其中势阱中心区的粒子振荡相对较弱; 再次引入自旋轨道耦合作用,系统由原来的金属与Mott绝缘混合态转变为金属态,粒子数涨落也明显增大; 两种效应同时作用时,与图3(b)相比,粒子极化程度降低,系统由原来的金属与Mott绝缘混合态转变为金属态,与图3(c)相比,粒子数密度分布并没有明显区别.进一步说明Zeeman场对处于绝缘态的费米子有更强烈的极化作用,即当粒子被空间局域化之后,其自旋自由度表现活跃.但当自旋轨道耦合激活了金属性之后,系统有序度降低,Zeeman场的极化效应很难体现出来.
综上所述,自旋轨道耦合效应可使系统的金属性增强,绝缘性减弱,而通过对该模型中相互排斥作用对系统金属态-Mott绝缘态相变影响的广泛讨论[14]可知,随着排斥相互作用的增强,系统的金属性将会减弱,绝缘性增强,从而实现金属相到Mott绝缘相的转变.
图4 自旋轨道耦合对相变临界值Uc的影响
Fig.4 The influence of spin-orbit interaction on the critical value Uc of phase transition
本研究将对金属-Mott绝缘相变中排斥相互作用的相变临界值Uc随自旋轨道耦合强度λ的变化进一步探讨,反应相变临界值的相图如图4.相变临界值Uc是通过利用DMRG对在不同自旋轨道耦合强度下的粒子数密度分布进行数值计算,且严格分析其结果得到的,然后通过拟合作出Uc随λ变化的曲线.由图4可见,系统由金属态到Mott绝缘态的Uc随着自旋轨道耦合强度的变化大致呈e指数规律增加.由于自旋轨道耦合作用的引入,使得相图中Mott绝缘态区域范围缩小,金属态区域扩大,这是自旋轨道耦合作用增强系统金属性的表现,若要使系统保持绝缘态,则需增强粒子间相互排斥作用U,故随着自旋轨道耦合作用强度的增加,金属-Mott绝缘态的相变点Uc也会不断增大.
为深入理解系统相变的内在机理,本文进一步讨论了Zeeman场和SOC两种效应对P和S的影响.当只有Zeeman场存在时,系统完全极化(P=1), 粒子数密度分布如图6(a),此时费米气体处于band绝缘态[18]; 引入自旋轨道耦合作用后,自旋轨道耦合对P和S也有很大的影响,图5表明,随λ增加极化率逐渐减小,而系统的S整体呈增大趋势,且S和P均有两次明显的跃变.在λ=0.55时,系统极化率第1次急剧减小,粒子数密度分布表明系统处于Mott绝缘态,
见图6(b).继续加强自旋轨道耦合作用,在λ=0.8时,熵发生第2次跃变,此处自旋向上(向下)粒子数密度分布开始出现有规律的振荡,出现了Mott核内的Wigner态[15],见图6(d).因此,分别对应两次熵的突变,λ=0.55是band绝缘态到Mott绝缘态的相变点,而λ=0.8是产生Wigner态的相变点.以上研究表明,自旋轨道耦合作用具有抑制极化、增强金属性的特性,在系统完全转为金属态之前(λ较小时),总体处于绝缘态的系统随λ的变化呈不同量子态,这是两种物理效应相互组合、抗衡,从而产生了不同的内部对称性而导致的.
本研究采用DMRG方法究了在自旋轨道耦合效应与Zeeman场作用下,一维Hubbard模型中超冷排斥费米气体的量子相变.结果表明,自旋轨道耦合效应可以增强系统的金属性,降低系统有序度,使绝缘态转变为金属态.而Zeeman场效应可使系统发生极化,在完全极化状态下呈现band绝缘态,而在弱极化下可使Mott核内出现SDW态.在两种效应共同作用下,自旋轨道耦合作用不仅能增强系统的金属性,降低系统的有序度,同时削弱了由Zeeman场而引起的系统的极化程度,从而抑制自旋密度波的产生.在较强极化条件下,自旋轨道耦合作用使处在Mott核下的系统展现出不同的量子态.
致谢:衷心感谢山西大学梁军军副教授的悉心指导和有益讨论.
深圳大学学报理工版
JOURNAL OF SHENZHEN UNIVERSITY SCIENCE AND ENGINEERING
(1984年创刊 双月刊)
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