作者简介:李宗吉(1974—),男(汉族),山东省海阳市人,海军工程大学副研究员、博士.E-mail:lizongji507@163.com
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Li Zongji, Zhang Xiyong, and Wang ShuzongDepartment of Weaponary Engineering, Navy University of Engineering, Wuhan 430033, P.R.China
robust control; anti-torpedo torpedo(ATT); variable structure control; guidance law; intercepting trajectory; chattering; decoupling
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2014.05473
研究反鱼雷鱼雷(anti-torpedo torpedo,ATT)与目标鱼雷纵向运动关系,推导ATT与目标鱼雷视线高低角状态方程,采用变结构控制方法设计控制器,将ATT与目标鱼雷视线高低角控制在零角度,通过Lyapunov稳定性理论证明了视线高低角能够控制在零角度.仿真分析表明,在所设计的变结构拦截导引律作用下,ATT与目标鱼雷在纵向的视线高低角稳定趋于零,ATT在纵向可精确命中目标.
A state equation of the sight elevation angle between an anti-torpedo torpedo(ATT)and a target torpedo is deducted according to the moving relation between the ATT and the target torpedo.Based on the state equation,a variable structure controller is designed to ensure that the sight elevation angle between the ATT and the target torpedo is zero, which can be proved by Lyapunov stability theory. Simulation analyses show that the sight elevation angle between the ATT and the target torpedo converges to zero stably and the ATT hits the target precisely by taking the advantage of the longitudinal intercepting guidance law generated by the proposed variable structure controller.
传统鱼雷纵向导引设计主要是以提前角导引律为主,通过射击三角形的几何关系设计鱼雷航向达到导引目的.这种纵向导引设计方法的命中精度在很大程度上依赖于目标信息测量参数的准确性,在攻击大型水面舰艇和潜艇时比较凑效,而对高速小目标难以凑效.反鱼雷鱼雷(anti-torpedo torpedo,ATT)攻击的目标是来袭鱼雷,具有速度快,机动性强,并可能存在纵向机动的特点,若采用传统鱼雷纵向导引方法设计反鱼雷鱼雷的纵向拦截导引律,难以实现精确命中目标鱼雷的目的.孙胜等[1- 4]应用变结构控制理论设计了平面拦截导引律,但导引律的稳定性推导得不出系统稳定的结论.马克茂等[5]根据变结构控制理论设计机动目标拦截的变结构制导律,但由于该方法弹目相对运动是建立在弹目加速度基础上的,致使鱼雷很难进行加速度的精确控制,所以无法用于ATT研究.本研究根据ATT与目标鱼雷纵向运动关系模型,推导ATT与目标视线高低角状态方程,应用变结构控制理论设计控制器,使ATT与目标视线高低角控制在零角度,从而保证ATT与目标鱼雷在同一水平面内,实现ATT在纵向精确拦截目标鱼雷.
在纵向平面内,ATT-目标鱼雷相对运动关系如图1[2].
由图1可导出[6-7]
{ZR·=Vtcos(q-φt)-Vmcos(q-φm)
Rq·=-Vtsin(q-φt)+Vmsin(q-φm)(1)
其中,R为ATT与鱼雷之间的相对距离; R·为R对时间的导数; Vt和Vm分别为目标速率和ATT速率; q为纵向视线高低角; q·为q对时间的导数; φt和φm分别为目标和ATT的速度方向角.
为便于推导,令VR=R·,Vq=Rq·, 代入式(1)后对时间求一阶导数,得
V·R=q· [-Vtsin(q-φt)+Vmsin(q-φm)]+
[V·tcos(q-φt)+Vtφ·tsin(q-φt)]-
[V·mcos(q-φm)+Vmφ·msin(q-φm)](2)
V·q=-q· [Vtcos(q-φt)-Vmcos(q-φm)]+
[Vtφ·tcos(q-φt)-V·tsin(q-φt)]-
[Vmφ·mcos(q-φm)-V·msin(q-φm)](3)
若令
wR=V·tcos(q-φt)+Vtφ·tsin(q-φt)](4)
uR=V·mcos(q-φm)+Vmφ·msin(q-φm)](5)
wq=Vtφ·tcos(q-φt)-V·tsin(q-φt)](6)
uq=Vmφ·mcos(q-φm)-V·msin(q-φm)](7)
把式(4)至(7)代入式(2)和式(3), 结合式(1),得
V·R=(V 2q)/R+wR-uR(8)
V·q=-(VRVq)/R+wq-uq(9)
把VR=R·, Vq=Rq·代入式(9),得到ATT与目标相对运动时,视线高低角变化的数学模型为
q¨=-(2R·)/Rq·+1/Rwq-1/Ruq(10)
考虑到目标鱼雷在纵向很少作机动,本研究基于式(10),通过控制uq, 使视线高低角q趋于0.取x1=q, x2=q·, 则式(10)可描述为[8]
{Zx·1=x2
x·2=-(2R·)/Rx2-1/Ruq+1/Rwq(11)
其中, wq为干扰量.
基于导引律的控制目的,选取切换平面为
s=cx1+x2(12)
其中,c为大于零的常数. 由于c>0, 则在滑模面s=0上,视线角稳定趋于零,即系统是自稳定的[9].
取Lyapunov函数V=s2/2, 并对时间求导,得
V·=ss·=s(cx·1+x·2)=s(cx2+x·2)=
s(cx2-(2R·)/Rx2-1/Ruq+1/Rwq)(13)
设控制量为
uq=(cR-2R·)x2-R·s+εsgn(s)(14)
其中,ε为大于零的常数.将式(14)代入式(13),可得
V·=(R·)/Rs2+1/Rs[-εsgn(s)+wq](15)
因R>0,R·<0, 式(15)中第1项小于零,第2项只要满足ε>|wq|, 也会小于零,则有V·<0, 即s→0. 可见,当uq=(cR-2R·)x2-R·s+εsgn(s)时,能使s→0. 其中,(cR-2R·)x2-R·s项是滑模可达条件; εsgn(s)项使系统具备强鲁棒性[10-11].
将式(14)代入式(7)得
Vmφ·mcos(q-φm)-V·msin(q-φm)=
(cR-2R·)x2-R·s+εsgn(s)(16)
由式(16)可解得ATT航向角(方向角).由于sgn(s)存在抖振,无法由航向角φm的变化获取sgn(s), 所以用s/(|s|+δ)(其中δ为极小的正常数)代替sgn(s), 以消除变结构控制的固有抖振.由Lyapunov稳定性理论可证明,采用s/(|s|+δ)代替sgn(s)后的控制器,能将视线角控制在零角度附近一个很小的邻域内[12].至此,ATT纵向运动的导引律设计完成.
在上述变结构控制导引律下,可推导ATT拦截目标鱼雷的纵向弹道模型,由导引律模型结合ATT与目标运动关系,建立ATT拦截目标鱼雷的纵向弹道的计算模型为
{Zx·1=x2
x·2=-(2R·)/Rx2-1/Ruq+1/RVtφ·tcos(q-φt)
R·=Vtcos(q-φt)-Vmcos(q-φm)
uq=(cR-2R·)x2-R·s+εs/(|s|+δ)
s=cx1+x2
uq=Vmφ·mcos(q-φm)-V·msin(q-φm)
φ·t={0, 目标鱼雷方向恒定
cos t, 模拟目标作蛇形机动(17)
式(17)存在唯一解.根据解得的ATT航向角φm和目标的航向角φt, 可绘出ATT拦截目标鱼雷的弹道轨迹.
假设ATT和目标鱼雷航速恒定,分别为30和20 m/s,初始视线高低角x1(0)=5π/180 rad,初始距离R=1 km,ATT初始航向角φm(0)=π/4 rad,目标鱼雷初始航向角φt(0)=π rad,根据式(1)可计得视线角速度初始值x2(0)=-0.017 5 rad/s,并取c=2. 考虑到工程应用中,控制量uq是由uq=(cR-2R·)x2-R·s+εs/(|s|+δ)中各系统状态变量参数的测量值计算而来,难免存在测量误差,因此在仿真中假设uq的计算中各参数存在20%的随机相对误差,即令
uq=[cR×ran(t)-2R·×ran(t)]x2×
ran(t)-R·×s×ran(t)+εs/(|s|+δ)(18)
其中, ran(t)=1+0.2×random(t), random(t)为t时刻在[-1,1]内随机产生的量.
设步长τ=1 ms,仿真时间t=25 s,采用Runge Kutta法求解方程组(17). 在仿真中,令φ·t=0时的模拟目标鱼雷作直线运动,并以φt(0)分别为π rad和5π/6 rad时进行仿真,令φ·t≠0时模拟目标鱼雷作蛇形机动,通过方程组(17)的解绘制弹道,以验证ATT能否精确命中目标鱼雷,即验证本研究所设计的变结构纵向拦截导引律的制导性能.仿真结果如下:
1)目标鱼雷不作机动,即φ·t=0时,ATT能精确命中目标,如图2至图5.
图2 目标不作机动时ATT与目标间的视线高低角
Fig.2 Line-of-sight elevation angle between ATT and target when target does not maneuver
图3 目标不作机动时ATT的航向角φm
Fig.3 Heading angle of ATT φm when target does not maneuver
图4 目标不作机动时控制量uq变化曲线
Fig.4 Waveform of controller uq when target does not maneuver
图5 目标不作机动时ATT拦截目标鱼雷弹道
Fig.5 Trajectory of ATT intercepting target torpedo when target does not maneuver
由图2可见,目标鱼雷在纵向不作机动时,ATT与目标鱼雷的视线高低角在控制器uq作用下,过渡到零角度并保持不变,说明uq能够将ATT与目标鱼雷的视线高低角控制为零,达到控制目的.由图5可见,ATT航向角与目标鱼雷航向角相差180°,ATT与目标鱼雷弹道过渡到同一水平面后,两者保持在同一水平面,在导引律的控制下ATT与目标直接碰撞.由于在仿真计算中增加了测量参数的随机误差,uq出现间断的抖振.图2至图5表明,参数随机误差不影响系统的稳定性,这说明本研究设计的导引律具有强鲁棒性.
2)当目标鱼雷不作机动,取初始航向角为φt(0)=5π/6 rad时,ATT同样能精确命中目标鱼雷,见图6至图9.
图6 当φt =5π/6 rad时ATT与目标间的视线高低角
Fig.6 Line-of-sight elevation angle between ATT and target when φt is 5π/6 rad at all times
图7 当φt =5π/6 rad时ATT的航向角
Fig.7 Heading angle of ATT when φt is 5π/6 rad
图8 当φt =5π/6 rad时uq的变化曲线
Fig.8 Waveform of uq when φt is 5π/6 rad
图9 当φt =5π/6 rad时ATT拦截目标鱼雷弹道
Fig.9 Trajectory of ATT intercepting target torpedo when φt is 5π/6 rad
当目标鱼雷不作机动,航向不在水平面内,即目标雷达与水平面成φt(0)=5π/6 rad角时,由图6可知,ATT与目标鱼雷的视线高低角在控制器uq作用下过渡到零角度并保持不变,此时ATT航向角也保持不变,图7和图8分别绘制了控制器uq和ATT航向角的关系曲线图,可见控制器和ATT航向角均不存在大的抖振,说明工程可实现.由图9可见,ATT在纵向精确命中了目标鱼雷.验证了本研究设计的导引律能精确命中目标鱼雷的结论.
3)目标鱼雷在纵向作蛇形机动,取
φ·t={cos t, t<3π
0, t≥3π
模拟目标机动,ATT在导引律控制下能精确命中目标鱼雷,见图 10至图 13.
图 10 目标机动时ATT与目标间的视线高低角
Fig.10 Line-of-sight elevation angle between ATT and target when target maneuvers
图 11 目标机动时ATT的航向角φm
Fig.11 Heading angle of ATT φm when target maneuvers
图 12 目标机动时控制量uq
Fig.12 Waveform of controller uq when target maneuvers
当目标鱼雷作机动时,由图 10可见,ATT与目标鱼雷的视线高低角在控制器作用下过渡到零角度,当目标机动时,在零角度附近有一个极小邻域波动; 当目标不作机动时,保持在零角度.图 11和图 12分别绘制了ATT航向角和控制器uq的关系曲线图,uq和ATT航向角曲线平稳光滑,不存在抖振,说明本研究设计的导引律的工程可实现性.由图 13可见,ATT与目标鱼雷视线高低角能够被控制在零角度,且ATT精确命中目标.
以上仿真结果表明,在控制器uq=(cR-2R·)x2-R·s+εs/(|s|+δ)的作用下,ATT与目标鱼雷视线高低角过渡零角度,并稳定在零角度,且当目标鱼雷机动时也能保持这一特性,说明本研究设计的导引律对目标机动具有强鲁棒性.从ATT拦截目标鱼雷弹道可知,ATT能精确命中目标鱼雷,并使ATT与目标鱼雷视线高低角控制在零角度,这也证明了所设计的纵向拦截导引律将视线高低角控制在零角度.
本研究设计了纵向拦截导引律,并对导引律能够实现精确命中进行了理论推导和仿真验证.理论推导和仿真分析表明,该导引律具有控制器模型简单且工程实用性强的特点,能将ATT与目标的视线高低角控制在零角度,并对目标机动具有强鲁棒性,ATT与目标鱼雷之间的视线高低角能够稳定控制在零角度,ATT能精确命中非机动目标和机动目标.
深圳大学学报理工版
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