用以描述标的资产收益率对数路径特征的布朗运动原始模型是Black等^[1]创建的,但越来越多的实证表明,布朗运动还不能完全刻画标的资产规律. 20世纪40年代数学家Lévy^[2]提出一系列具有右连续左极限存在,且满足独立增量等性质的随机过程,布朗运动是其特例. 金融学者将Lévy过程应用到标的资产运动模型中使其一般化,以刻画金融实际标的资产运动独有的性质.

Lévy过程在金融界引起广泛关注^[3-17], 由于其假设条件相对宽松, 能同时描绘连续和跳跃过程, 可对尖峰和后尾分布进行建模, 对探索市场动态具有优越性, 但其参数估计仍是一个难题^[3]. Lévy模型通常以特征函数的形式刻画, 无法获得封闭形式的概率密度函数,因此要获得参数估计,可在傅立叶变换基础上建立可执行的数值估计方法.Carr等^[4]通过数值模拟方法对特征函数进行反向逆变换,得到Lévy过程X_t的概率密度函数近似值,采用极大似然法估计模型参数.但该方法比较耗时,还会出现似然函数无界的情况,无法获得最优解.为此,本研究使用几类常用特殊Lévy模型,如Merton jump-diffusion(MJD)模型、方差伽马(Variance-Gamma, VG)模型、Carr-Geman-Madan-Yor(CGMY)模型、VGSA模型(VG和Cox-Ingersoll-Ross模型的复合指数模型)和Heston模型,结合统计学中的极大似然思想,提出适合Lévy过程的极大似然参数估计法,基于期权价格对上述几类模型进行参数估计,并将该方法用于香港恒生指数期权定价中,比较不同模型的优越性.

由于建立Lévy分布的特征函数与概率密度函数是一一对应的,所以,其所包含的信息完全等价,而极大似然估计的基本原理是运用概率密度函数得到似然函数,然后对似然函数取对数并对相应参数求导,通过导数为零得到似然方程,解方程获得极大似然估计.基于特征函数的参数估计与基于概率密度函数的极大似然估计在效率上是相同的.

对于普通的欧式看涨期权,定义k为敲定价格K的对数, C_T(k)为到期时间为T时该期权的价格. 再定义风险中性下,标的资产价格的对数lgs_T为q_T(s), 则其特征函数为

Φ_T(u)=∫^∞_-∞e^iusq_T(s)ds(17)

根据期权定价公式,风险中性条件下欧式看涨期权价格可表示为

C_T(k)=∫^∞_ke^-rT(e^s-e^k)q_T(s)ds(18)

当k→-∞时, 有C_T→0, 函数C_T为非平方可积的. 因此,可做变换

c_T(k)=exp(αk)C_T(k)(19)

此时,存在α>0, 使c_T(k)平方可积. α的选择通常依赖于s_t. c_T(k)的快速傅立叶变换为

Ψ_T(v)=∫^∞_-∞exp(ivk)c_T(k)dk(20)

将Ψ_T(v)用特征函数Φ_T表示,得到逆变换下的看涨期权价格为

C_T(k)=(exp(-αk))/(2π)∫^∞_-∞exp(ivk)φ_T(v)dv=

(exp(-αk))/(π)∫^∞₀exp(ivk)φ_T(v)dv(21)

将c_T(k)代入式(21)可得

φ_T(v)=∫^∞_-∞exp(ivk)∫^∞_kexp(αk)[exp(s)-

exp(k)]q_T(s)dsdk(22)

变换积分顺序并积分可得

φ_T(v)=(exp(-rt)φ_T[v-(α+1)i])/(α²+α-v²+i(2α+1)v)(23)

代入C_T(k)后,欧式看涨期权傅立叶变换的完整形式为

C_T(k)=(exp(-αk))/(π)∫^∞_-∞exp(-ivk)

(exp(-rt)φ_T[v-(α+1)i])/(α²+α-v²+i(2α+1)v)dv(24)

从应用角度考虑,快速傅立叶变换可有效降低计算复杂性. 因此,通过快速傅立叶变换,C_T(k)可表示为

C_T(k)≈(exp(-αk))/(π)∑^N_j=1exp(-iv_jk)φ_T(v_j)η(25)

其中,η为可调参数.Carr和Madan指出^[10],式(25)无法实现既让积分区域足够稠密,又保持足够大的敲定价格区间范围,因为当η太小时,对数敲定价格k的积分区域会很小,只能涵盖少部分的k. 因此,Carr和Madan^[19]提出用Simpson的权重准则获得较准确的积分计算, η可以选取较大的值. 此时,期权计算公式为

C_T(k)≈(exp(-αk_u))/(π)∑^N_j=1exp[-i2π(j-1)

(u-1)/N]exp(ibv_j)φ_T(v_j)η/3[3+

(-i)^j-δ_j-1](26)

其中,δ_n为Kronecker delta函数. α为积分上限; k_u为N个u值组成的向量, u=1,2,…,N; b使敲定价格的对数限制在-b与b之间.可选取, v_j=η(j-1); N=4 096; α=Ν_η=600; b=(Nλ)/2; k_u=-b+(2b)/N(u-1); λ_η=(2π)/N.

参照文献[11-13],本研究采用类似BS公式中求隐形波动率方法,首先获得基于特征函数的似然函数,然后得到对数似然函数,再利用下面步骤估计式(26)中的参数.已知C_T(k)为敲定价格k与交割时间T下的看涨期权模型价格,为方便起见,将其简记为ω,并将第i个期权的看涨期权价格记为ω_i. 同时, 记 _i为第i个期权的市场价格.

假定ω_i与 _i满足

ω_i=_iexp(θε_i-θ²/2)(27)

其中,ε_i～N(0,1); ω_i的对数似然函数为

log[f(θ; ω_i)]=

-1/2∑^M₁((log(ω_i)-log(_i))/θ+θ/2)²(28)

其中, θ为待估参数向量. Madan等指出^[13],该极大似然估计等价于以下目标函数的最小化

k=(1/M∑^M₁[log(ω_i)-log(_i)]²)^1/2(29)

此时,参数估计就转化为最优化问题,可用标准Levenberg-Marquardt法获得参数集中的最优点.

鉴于国内期权产品的匮乏,本研究数据截取香港恒生指数作为标的资产,恒生指数期权作为参数估计原始数据,收录时间为2012年3月20日. 这里从港交所网站收集了47个恒生指数看涨期权收盘价格,当天恒生指数收盘价为S₀=21 317.85. 假定风险中性利率为0.03,股息率为0.01.

基于极大似然参数估计法讨论结果,采用模型校正(model calibration)方式利用期权价格估计不同模型下待估参数. 模型参数如表1, 拟合结果如图1.

本研究使用Schoutens的统计指标APE、AAE、ARPE与RMSE衡量拟合质量^[3],其中,APE=∑^M_i=1(|_i-ω_i|)/M/∑^M_i=1(ω_i)/M,AAE=∑^M_i=1(|_i-ω_i|)/M,ARPE=1/M∑^M_i=1(|_i-ω_i|)/(ω_i),RMSE=(∑^M_i=1((_i-ω_i)²)/M)^1/2, 不同模型下拟合质量的比较结果如表2.

从恒生指数的拟合结果来看,相比经典BS模型,MJD、VG、CGMY、Heston和VGSA模型拟合结果占优势,因此在标的资产价格模拟上Lévy过程占据优势. 由于MJD模型考虑跳跃因素,更符合恒生指数的运动规律,对比BS模型结果有了较大提升; VG过程是一个纯跳跃过程,从参数估计的结果可得,VG过程很好地反映出恒生指数对数收益率分布非对称且左偏的情况(θ<0, 则G>M, 偏度与均值皆为负); CGMY是VG模型的一个推广,加入Y值描述有限活动与无限活动. 从参数估计结果来看, Y值为1.25,因此恒生指数是无限活动过程(有限区间内无限跳跃),且是无限变差的. Heston与VGSA模型在MJD与VG模型基础上加入随机时间,以模拟随机波动率的运动特征. 从拟合结果看,提高了原模型的拟合度,更符合恒生指数的运行态势.

表1 模型校正参数估计结果
Table 1 The results of models' revised parameter estimation

图1 从6组模型看涨期权价格拟合结果
Fig.1 The fitting results of call option pricing under six models

表2 不同模型下拟合质量比较
Table 2 The comparison of fitting quality under different models

本研究所选取的6种模型皆是固定波动率与随机波动率的典型模型. 几何布朗运动作为奠基模型,其在操作应用上具有简便的优势,但无法对应现有特征. 将尖峰、厚尾与跳跃考虑进去后,MJD、VG与CGMY模型更贴近现实,它们分别将运动过程处理成有限跳跃与无限跳跃,但假定波动率固定,而Heston模型与VGSA模型则分别采用CIR过程与随机时间描述随机波动率特征.基于上述模型在参数估计方面的应用,本研究在经典极大似然法基础上,运用基于特征函数的方法与期权价格的校准方法进行参数估计,与经典BS模型对比,MJD、VG、CGMY、Heston与VGSA模型能更精确地拟合看涨期权价格.