系统寿命的随机比较理论已广泛用于可靠性理论和系统安全领域,在系统的可靠性理论中,次序统计量发挥着关键作用.考虑最简单的串并联系统结构,串联系统是指当系统所有部件都正常工作时才能正常工作的系统,即串联系统寿命的生存函数对应串联系统各部件寿命最小次序统计量的生存函数; 而并联系统仅需任意一个部件正常工作即可,其寿命的分布函数对应并联系统各部件寿命最大次序统计量的分布函数.因此,研究串并联系统的寿命等价于对部件的最小最大次序统计量进行研究.

设一个系统由非随机数(给定正整数)n个部件组成,且每个部件的寿命由非负随机变量X_i(i=1,2,…,n)表示,由此可定义这n个随机变量X₁,X₂,…,X_n的最小和最大次序统计量分别为X_1:n=min(X₁,X₂,…,X_n)和X_n:n=max(X₁,X₂,…,X_n). 文献[1- 4]给出当样本容量为随机数N时,一组随机变量X₁,X₂,…,X_N的最大次序统计量X_N:N=max(X₁,X₂,…,X_N)和最小次序统计量X_1:N=min(X₁,X₂,…,X_N)的定义、分布函数及性质; 文献[5]研究样本为随机数N, 且与随机变量X_i独立时,最小最大次序统计量的随机比较结果; 文献[6]研究随机样本最小最大次序统计量寿命分布的随机比较结果; 文献[7]证明当两个随机样本的容量N₁和N₂满足不同随机序关系时,对应X_1:N和X_N:N也有不同的随机大小关系.然而,对于随机数N和非随机数n组成的串联(并联)系统的寿命X_1:N和X_1:n(X_N:N和X_n:n)的随机比较及随机序关系并没引起注意.本课题组在前期研究了部件寿命独立同分布的假设下, X_1:N和X_1:n(X_N:N和X_n:n)的一般随机序比较关系^[8].但在实际中,一方面部件的寿命随机变量独立很难满足,部件寿命存在相互依赖的情形更符合实际; 另一方面,若用寿命随机变量的联合分布函数刻画系统的寿命和可靠度,则无法细致表现相依部件的寿命与整个系统寿命之间的关系,有必要引入联接函数Copula来刻画各个部件寿命的边缘分布函数与联合分布之间的关系.

本文在引入联接函数Copula基础上,研究部件寿命相依且同分布情形下,随机数N个部件和非随机数n个部件组成的串联和并联系统的寿命随机比较.介绍Copula函数及可交换Copula函数的定义、离散函数凸性和一般随机序的定义; 给出串联系统中,随机数N个部件和非随机数n个部件组成串联系统的寿命X_1:N和X_1:n的随机比较结论; 对于并联系统,有相应的结论在第3部分给出,并举例给出了研究结果的实际应用.

设F(x)和F^-(x)分别表示第i个部件寿命X_i(i=1,2,…,n)的分布函数和生存函数, F^-(x)=1-F(x), 本研究考虑X_i(i=1,2,…,n)之间相依同分布; p_N(k)为正整数随机变量N的概率分布; F^-_1:n(x)为非随机n部件组成串联系统寿命X_1:n的生存函数; F_n:n(x)为非随机n部件组成并联系统寿命X_n:n的分布函数; F^-_1:N(x)为随机N部件组成串联系统寿命X_1:N的生存函数; F_N:N(x)为随机N部件组成并联系统寿命X_N:N的分布函数.

定义1^[9] 称随机变量X以一般随机序小于Y(即X≤_stY), 只要对任意实数t, 满足F^-_X(t)≤F^-_Y(t)或F_X(t)≥F_Y(t).

定义2^[9] n元Copula函数是一个定义域为Iⁿ(其中I=[0,1])的函数C:Iⁿ→I, 即

C=C(u₁,u₂,…,u_n), [0,1]ⁿ→[0,1],

且函数C有n个[0,1]上的均匀边缘分布,另外需满足下列条件

1)对任意u_i∈[0,1], i=1,2,…,n, 有

C(u₁,…,u_i-1,0,u_i+1,…,u_n)=0, C(1,…,1,u_i,1,…,1)=u_i;

2)C(u)=C(u₁,…,u_n)为n元增函数,即对任意i=1,2…,n, 0≤a_i≤b_i≤1, 记 a=(a₁,a₂,…,a_n)^T和 b=(b₁,b₂,…,b_n)^T, 有

Δ^b_aC(u)≥0,

其中, ΔbaC(u)=ΔbnanΔbn-1an-1…Δb1a1C(u),

ΔbiaiC(u)=C(u1,…,ui-1,bi,ui+1,…,un)-

C(u₁,…,u_i-1,a_i,u_i+1,…,u_n), i=1,2,…,n.

则称C(u)=C(u₁,…,u_n)为n元Copula函数.

Sklar定理^[9] 设H是n个随机变量X₁,X₂,…,X_n的联合分布函数,且这n个随机变量的分布分别为F₁,F₂…,F_n, 必存在一个n元Copula函数C(称之为随机变量X₁,X₂,…,X_n的联接函数Copula), 对任意x=(x₁,x₂,…,x_n)∈Iⁿ都有

H(x₁,x₂,…,x_n)=

C(F₁(x₁), F₂(x₂),…,F_n(x_n))(1)

若F₁,F₂,…,F_n都是连续函数,那么Copula函数C是唯一确定的; 反之,若C是n元Copula函数,且F₁,F₂,…,F_n是分布函数,那么由式(1)定义的函数H是一个以F₁,F₂,…,F_n为边缘分布的n元分布函数.

由Sklar定理可知,Copula函数C(u₁,u₂,…,u_n)将多维联合分布与1维边缘分布联系在一起,是联合分布与边缘分布的联接函数.对于1组边缘分布函数已知的随机变量X_i(i=1,2,…,n), 当其相依关系确定时,就可通过一个能反映相依关系的Copula函数确定这组随机变量的联合分布.

设由集合{1,2,…,n}的全部置换组成的置换群为π_n, 对任意置换 σ∈π_n, 设X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)为σ作用X₁, X₂, …, X_n后得到的随机变量,则称X₁, X₂, …, X_n的联合分布函数H是可交换的,当且仅当对σ∈π_n, 有

H(x₁, x₂, …, x_n)=H(x_σ(1), x_σ(2),…, x_σ(n)),

即X₁, X₂, …, X_n和X_σ(1), X_σ(2),…, X_σ(n)的联合分布函数相等.

定义3^[10] 若X₁, X₂, …, X_n的联合分布函数H是可交换的,则对应的Copula函数是可交换的,且F₁=F₂=…=F_n, 即对于可交换的Copula函数必满足

C(u₁,u₂,…,u_n)=C(u_σ(1),u_σ(2),…,u_σ(n))对σ∈π_n成立. 其中,u_i∈[0,1],i=1,2,…,n.

定义4^[9] 设n元函数H^-为X₁,X₂,…,X_n的联合生存函数, F^-₁,F^-₂,…,F^-_n对应于随机变量X₁,X₂,…,X_n的生存函数,那么存在函数K,使得

H^-(x₁, x₂, …, x_n)=K(F^-₁(x₁), F^-₂(x₂), …, F^-_n(x_n))成立,则称函数K为随机变量X₁,X₂,…,X_n生存Copula函数.

有关Copula函数的详细介绍可参见文献[10].以下结论均基于假设,各个部件的寿命随机变量是相依的,且有相同的分布函数F(x), 并通过可交换Copula函数衡量其间的相依关系.

定义5^[11] 设定义在自然数集合 N上的实值函数a(k), 对任意k≥2且k∈N满足

a(k+1)+a(k-1)≥2a(k)

则称函数a(k)是集合N上的离散凸函数.

根据Sklar定理,当已知部件寿命X₁,X₂,…,X_n的分布时,可由Copula函数或生存Copula函数表示串并联系统寿命的分布函数或生存函数.因此,在串联系统中,非随机n部件系统寿命X_1:n的生存函数可以由各个部件寿命的生存函数表示,即

F^-_1:n(t)=P(X_1:n>t)=P(X₁>t,…,

X_n>t)=K_n(F^-(t),…,F^-(t))(2)

其中,t≥0,K_n(u,…,u)是n元生存Copula函数.

随机N部件系统寿命X_1:N的生存函数为

F^-_1:N(t)=P(X_1:N>t)=

∑^∞_k=1P(X_1:N>t|N=k)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1P(X_1:k>t)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1P(X₁>t,…,X_k>t)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1K_k(F^-(t),…,F^-(t))p_N(k)(3)

其中,t≥0, k∈N.

此时,要得到关于X_1:N和X_1:n的随机比较结果,当考虑系统部件寿命是相依的,且相依性由可交换Copula函数度量时,可令u=F^-(t), 则由式(2)和式(3)可知, X_1:n和X_1:N的生存函数分别为

F^-_1:n(t)=K_n(u,…,u)

F^-_1:N(t)=∑^∞_k=1K_k(u,…,u)p_N(k),

其中,u∈[0,1]; k∈N.

为得到X_1:N和X_1:n的随机比较结果,需给出下面引理.

引理1 设K_k(u,…,u)=a(k), 即a(k):N|→[0,1]为离散函数,则a(k)是离散凸函数且关于k递减.

【证】首先,证明a(k)关于k递减.

因为K_k(u,…,u)是k元函数,且为k+1元联合生存Copula函数的k元边缘生存函数,因此

K_k(u,…,u)=K_k+1(u,…,u,1)(4)

根据式(4)及生存Copula函数的单调性可知

a(k+1)-a(k)=K_k+1(u,…,u,u)-K_k+1(u,…,u,1)≤0, 显然, a(k)关于k是递减的.

接着证明,若a(k)是离散凸函数.

当且仅当a(k+1)+a(k-1)≥2a(k), k∈N且k≥2, 即等价于K_k+1(u,…,u)-K_k(u,…,u)-K_k(u,…,u)+K_k-1(u,…,u)≥0成立,又因K_k+1(u,…,u,u)是k+1元Copula,所以上式成立.

故函数a(k)是离散凸函数且关于k递减.

引理2(詹森不等式概率论形式)设函数φ是任意有定义的凸函数,对随机变量X, 都有不等式

φ(E(X))≤E(φ(X))

成立,即随机变量期望的凸函数变换后的值小于等于随机变量凸函数变换的期望值,这对下文定理证明有极大帮助.

定理1 若正整数随机变量N的期望值满足条件E(N)≤n, 则X_1:N≥_stX_1:n.

【证】 设K_k(u,…,u)=a(k), 一方面有

F^-_1:N(t)=∑^∞_k=1a(k)p_N(k)=E[a(N)]

根据引理1, a(k)是离散凸函数,则a(k)满足詹森不等式,即E[a(N)]≥a(E[N])成立.

另一方面,因为a(k)关于k递减,所以当E(N)≤n时,有

E[a(N)]≥a(E[N])≥a(n)=K_n(u,…,u).

故F^-_1:N(t)≥F^-_1:n(t), 即X_1:N≥_stX_1:n成立.

由定理1可知,当E(N)=n时,有X_1:N≥_stX_1:n. 下例可验证这一结论.

例1 设N服从参数为p(0≤p≤1)的几何分布,即N～Ge(p), 则当p=1/n时,有E(N)=n. 令串联系统部件寿命{X_t}独立同分布,且服从参数为λ的指数分布,则{X_t}的Copula和生存Copula函数为独立Copula函数,其满足可交换性. 此时,X_1:n和X_1:N的生存函数分别为F^-_1:n(t)=[F^-(t)]ⁿ=e^-nλt和F^-_1:N(t)=(e^-λt)/(n-(n-1)e^-λt). 两者相减得

F^-_1:N(t)-F^-_1:n(t)=(e^-λt)/(n-(n-1)e^-λt)[1-ne^-nλt+(n-1)e^-nλt]

令g(t)=1-ne^-nλt+(n-1)e^-nλt, 易知

g'(t)=n(n-1)λ[e^-(n-1)λt-e^-nλt]>0

当t>0时,g(t)是单调递增函数,又因为g(0)=0, 所以,当t≥0时有g(t)≥0,故F^-_1:N(t)≥F^-_1:n(t), 即X_1:N≥_stX_1:n成立.

在并联系统中,非随机n部件系统寿命X_n:n的分布函数为

F_n:n(t)=P(X_n:n≤t)=P(X₁≤t,…,X_n≤t)=

C_n(F(t),…,F(t))(5)

其中,t≥0.

随机N部件系统寿命X_N:N的分布函数为

F_N:N(t)=P(X_N:N≤t)=

∑^∞_k=1P(X_N:N≤t|N=k)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1P(X_k:k≤t)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1P(X₁≤t,…,X_k≤t)p_N(N=k)=

∑^∞_k=1C_k(F(t),…,F(t))p_N(k)(6)

其中,t≥0; k∈N.

这部分将给出并联系统寿命X_n:n和X_N:N的随机比较结论.令v=F(t), 根据式(5)和式(6),则X_n:n和X_N:N的分布函数分别为

F_n:n(t)=C_n(v,…,v),v∈[0,1]

F_N:N(t)=∑^∞_k=1C_k(v,…,v)p_N(k), v∈[0,1], k∈N.

因此对于随机和非随机部件组成的并联系统,其寿命随机变量X_n:n和X_N:N有如下的随机比较.

定理2 若正整数随机变量的期望值满足条件E(n)≤n, 那么X_N:N≤_stX_n:n.

【证】 令C_k(v,…,v)=a(k)

类似定理1的证明, a(k)是离散凸函数, 且关于k递减.

另外,根据詹森不等式和E(N)≤n, 可得

E[a(N)]≥a(E[N])≥a(n)=C_n(v,…,v).

因为F_N:N(t)=E[a(N)]和F_n:n(t)=a(n),

故F_N:N(t)≥F_n:n(t).

即X_N:N≤_stX_n:n.

由定理2可知,E(N)=n时, 有X_N:N≤_stX_n:n. 下例可验证这一结论.

例2 设{X_i}为并联系统部件寿命,其他条件同例1,则X_n:n和X_N:N的分布函数分别为F_n:n(t)=(1-e^-λt)ⁿ和F_N:N(t)=(1-e^-λt)/(n-(n-1)(1-e^-λt)). 类似例1,可以证明F_N:N(t)≥F_n:n(t),即F^-_N:N(t)≤F^-_n:n(t), 则X_N:N≤_stX_n:n成立.

本研究结论可用于同系统可靠性研究的随机比较.如目前政府和企业部门采取一票否决制决策时,设置投票成员的数量,其可能是固定数字,如n人; 也可要求数量在一个区间浮动,即为满足一定条件的随机变量. 所以这两种设置成员数量的方案对项目投票结果的影响以及该选择何种方案,本研究在一定条件下可给出答案.

本文研究当随机部件和非随机部件的寿命是相依同分布时,由其构成的串并联系统寿命的随机比较. 结论表明,在串联系统中,当随机数与非随机部件个数间满足E(N)≤n时,随机部件系统的寿命以一般随机序优于非随机部件系统; 在并联系统中,当E(N)≤n时,非随机部件系统的寿命以一般随机序优于随机部件系统的寿命.