作者简介:陈 莹(1980-),女(汉族),广东省湛江市人,深圳大学讲师、博士. E-mail:cying@szu.edu.cn
中文责编:坪 梓; 英文责编:木 南
1)深圳大学经济学院,深圳 518060; 2)湖北工业大学理学院,武汉 430068
Chen Ying1 and Hu Erqin21)College of Economics, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China2)School of Science, HuBei University of Technology, Wuhan 430068, P.R.China
financial engineering; information shock; frictional market; transaction costs; optimal consumption-investment; asset pricing model
DOI: 10.3724/SP.J.1249.2014.02153
研究了信息冲击下摩擦市场中的最优消费投资组合问题.在传统模型Constantinides(1986)基础上加入信息冲击,将摩擦市场动态化,得到了最优消费投资组合解.结果表明,与传统模型相比较,加入信息冲击后,交易成本的变化对最优消费投资组合解的影响显著增大,解释了传统模型与实证结果之间的矛盾,说明交易成本在资产定价模型中是不容忽视的因素.
An optimal consumption-investment selection in frictional market with information shock is studied in this paper. A dynamic model of the frictional market is proposed by introducing an information shock on the basis of the traditional model Constantinides(1986), and the optimal consumption-investment solution is established. The result shows that the influence of the transaction costs on the consumption-investment solution is much more significant than that of the traditional model. It also indicates that the transaction cost is a very important factor in the asset-pricing model.
在现实生活中,投资者经常面临最优消费投资组合问题,即在任意时刻,投资者应采取何种策略,以合理的比例将有限的财富用于购买风险资产、无风险资产及进行当前消费,从而使投资者效益最大化.Merton[1-2]在完全市场中,假设股票价格过程服从扩散过程,且效用函数为常数相对风险厌恶(constant relative risk aversion,CRRA)等严格条件下,运用动态规划方法对最优消费投资组合问题进行求解,得到了最优消费投资组合的偏微分方程,并给出了连续时间下两类资产的最优投资与消费组合的显式解.Cox等[3-4]在引入财富和消费非负约束的情形下得出了最优消费投资组合的闭式解.Claus[5]研究了不允许借贷消费的不完全市场中,拥有初始财富和不可延期消费的非交易性资产收入的投资者,在存在流动性限制和收入不可分散化风险条件下得到最优消费投资组合. Constantinides[6]开始致力于构建摩擦市场(市场存在交易成本)条件下的最优消费和投资组合策略.直觉上,如果出现交易成本,就会很显著改变最优消费投资组合.因为连续的交易会产生无限的交易成本,所以即使交易成本很小,也会减少交易的频率,从而令消费投资组合不能时时达到无交易成本条件下的最优.然而,Constantinides[6]指出较小的交易成本所造成的效用损失是很小的,这与直觉和现实就产生了矛盾.Davis等[7]对具有等比例交易费用和单个风险资产的Merton问题进行了研究,并给出最优策略的特征和HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程有解的条件,本研究遵循其推导思想,并多次用到该文结论.Shreve等[8]和Viard[9]考察固定持有成本(不依赖于所持有资产数量变化的成本)对投资者行为的影响,指出只要相关资产的持有成本超过改进后的均值-方差组合能够提供的预期效用增加,投资者就不会持有这项资产,并指出必须假定巨大的持有成本才会对资产定价产生明显的影响.Liu[10]在存在交易成本和多个风险资产的情况下,指出交易成本是影响交易量的一个重要因素,且考虑了交易成本后,股票收益的可预测能力显著减少.李晗虹等[11]对双曲绝对风险厌恶型效用函数(hyperbolic absolute risk aversion,HARA)下,有限期间和无限期间具有成比例交易费用的最优投资消费策略的价值函数解析形式进行了研究.王良等[12]建立了有卖空成本、考虑基金管理人风险偏好的证券投资基金投资组合选择最优化模型.陈志英[13]考虑状态变化及参数不确定性下投资者学习行为,使用蒙特卡罗方法模拟投资者的资产组合选择行为.
以上摩擦市场最优消费投资的文献均假设市场是静态的(除了文献[13]),认为投资环境不随时间改变,没有任何信息冲击的发生.而在现实中,当有重大信息出现时,对市场环境将会产生较大的冲击,对投资者的消费投资组合有可能产生较大影响.例如,2007年中国股市逼空式的上涨,股指、成交量、开户数屡创新高,银行储蓄大量向股市转移.2007年5月30日政府公布将印花税由0.1%增加到0.3%的消息,沪、深股市暴跌.2007年5月31日后,A股开户人数显著减少,后期股市连续大跌,资金从股市回流银行.说明信息冲击所造成的市场投资环境的变化,将对投资者的消费投资组合有较大的影响.
传统模型的结论认为交易成本的存在对效用的损失较小,所以对资产定价模型的贡献不大,但这一结论与实证结果显然矛盾.Huang[14]从投资者层面的流动性冲击角度对此进行分析.本研究从市场层面的信息冲击角度对此矛盾进行解释.建立了一个类似于Constantinides(1986)的均衡模型,结合实际在基本假设中加入了信息冲击和卖空限制.模型假设投资者跨期消费和遗产服从CRRA效用函数,从而对投资者的最优消费与投资问题进行讨论.与以上文献不同的是,本研究假设市场上存在信息冲击,且此冲击会改变市场投资环境,当投资环境改变后,相应的环境参数也会产生变化,如市场无风险利率、风险资产预期回报和波动性.
基于Constantinides(1986)模型,构建了一个投资者在有信息冲击的情况下,进行消费投资组合决策的连续时间模型.投资者面临动态变化的投资环境,有好消息(或坏消息)发布,令经济基本面转好(转坏),那么投资者将会对其消费投资组合进行调整.本研究用独立泊松过程(Poisson process)表示信息冲击.
设在金融市场中有两种资产,一种是无风险资产,它的价格为Bt,收益率为rt,满足
dB(t)=B(t)rdt,
其中,r是常数,但会随着投资环境的不同而变化.另一种是风险资产,用St表示其价格,满足
dS(t)=S(t)(μdt+σdwt),
其中,μ和σ是常数; 标准wt是维纳过程.本研究假设μ>r, 这样保证不会出现卖空风险资产来进行投资.假设在风险资产进行交易时,会产生等比例的交易成本,设此比例为k,则投资者在买卖x单位风险资产时,需支付的交易成本是kxSt(买卖的交易成本是2kxSt, 但这对模型结果无实质影响).
设投资者的偏好为状态独立、时间可分、二阶连续可微的von Neumann-Morgenstern效用函数,在任意时刻t用Et[∫∞0e-β(s-t)U(cs, Is)ds]的最大化表示.其中,ct是随机消费过程; Is为投资者的遗产部分; Et为在时刻t的可获信息条件下的条件期望算子; 效用函数U满足Et[U(cs, Is)]<∞; β≥0为投资者的时间偏好系数.投资者认为风险资产和无风险资产价格变化过程均为正的扩散过程.投资者的效用函数U具有常数相对风险厌恶(constant relative risk aversion,CRRA)的性质,即Ut(ct)=e-βt(c1-γt)/(1-γ), 其中,相对风险厌恶系数γ为常数, 且γ≠1.
设在任意时刻t, 投资者的总财富为Wt, 消费为ct, 满足ct≥0, 且∫t0cτdτ<∞. 投资者将财富分别投资于无风险资产(设为at)与风险资产(设为At), 且At≥0(保证了不会出现卖空的情况,这与Constantinides(1986)模型假设无卖空限制不同).那么,Wt=at+At≥0, 则有
dWt=dat+dAt=ratdt+μAtdt+
σAtdwt-kLAt-kDAt-ctdt(1)
其中,LAt与DAt分别是[0, t]时间内对风险资产的买入与卖出的总价值(cumulative value),则At=LAt-DAt,且在初始时刻满足LA0=DA0=0. 需注意的是,买入dL单位的股票需要(1+k)dL, 而卖出dD单位的股票只能兑现(1-k)dD现金.显然,同时买入和卖出股票肯定不是最优策略.
在不存在交易成本的情况下,k=0, 则有
dWt=(rat+μAt-ct)dt+σAtdwt(2)
设人的寿命服从一维齐次、强度为η的泊松过程.在投资者的预期效用函数中有2部分:消费部分与遗产部分,假设遗产部分的权重为ε, 消费部分的权重为(1-ε). 本研究假设市场是动态变化的,市场信息在不断更新.在公布了好(坏)消息的情况下,市场投资环境就产生了变化,则模型中的各参数也会相应发生变化,而各种状态的参数分别独立.设这种环境变化的转换服从强度为λ的泊松过程,当有坏消息公布,令比较好的经济基本面转换到比较差的情况时,假设强度参数为λbad; 当有好消息公布,令比较差的经济基本面转换到比较好的情况时,假设强度参数为λgood. 在这里,我们只讨论第1种情况,第2种情况的结果与此类似.
所要解决的消费-投资效用最大化问题为
max(a, A, c)[∫Tbad0e-(β+η)t((1-ε)c1-γt+εηW1-γt)/(1-γ)dt+
/ e-(β+η)TbadJgood(WTbad)]≡Jbad(Wt)(3)
s.t. dWt=ratdt+μAtdt+σAtdwt-kdLAt-
kdDAt-ctdt(4)
Wt≥0(5)
其中,Jbad(Wt)(Jgood(Wt))是在有坏(好)消息公布时预期效用函数,Tbad指坏消息持续影响的时间.
首先讨论在理想市场情况下,交易成本k=0时,最优控制问题为
Jbad(Wt)=
max(a, A, c){Et[∫Tbad0e-(β+η)t((1-ε)c1-γt+εηW1-γt)/(1-γ)dt+
/ e-(β+η)TbadJgood(WTbad)]}(6)
s.t. dWt=ratdt+μAtdt+σAtdwt-ctdt(7)
Wt≥0(8)
在此最优化问题中,投资者动态地选择它在消费和投资(无风险和风险资产)的比例,使得其预期效用最大化.为使一个随机控制问题变成一个确定性的非线性规划问题,HJB方程为
0=max(a, A, c)[((1-ε)c1-γ+εηW1-γ)/(1-γ)+
(ra+μA-c)Jbad-(β+η+λbad)Jbad
+λbadJgood+1/2(σA)2JbadWW)](9)
将式(9)对消费ct和风险资产投资At分别求导,可得
(1-ε)c-γt-JbadW=0,
(μ-r)JbadW+σ2AtJbadWW=0(10)
运用Merton[2]的方法,本研究猜测效用函数的形式为
Jbad(Wt)=(hbadW1-γ)/(1-γ)(11)
其中,常数hbad>0, 且与信息冲击相关.
代入式(10)可得最优解
(c*)/W=((1-ε)/(hbad))1/γ, A*=(μ-r)/(γσ2).(12)
与Constantinides(1986)模型对比,结果非常相似,特别的是,投资于风险资产的数量A*是完全相同的.这说明,当市场不存在交易成本的时候,信息冲击对最优消费投资组合的影响不大.
现实市场都是摩擦市场,任何风险资产的交易都需要支付交易成本.本研究考虑等比例交易成本的情况,在风险资产进行交易时,会产生等比例的交易成本,设此比例为k(k≥0, k为常数),则投资者在买卖x股该股票时,需支付的交易成本是kxSt. 令π≡At/at为投资于风险资产与无风险资产的比值.最优的投资策略可用2个参数进行描述:存在边界π_-与π^-(π_-≤π^-), 若投资组合落在在区间[π_-, π^-]中,则为最优投资(称为无交易区间); 若投资组合落在在区间[π_-, π^-]外,则需调整投资组合π, 令π重新落在无交易区间.
对于A/a≥π_-, 投资策略是卖出(1+k)x份的无风险资产,然后买入x份风险资产,令风险资产与无风险资产投资比为π_-.即(A+x)/[a-(1-k)x]=π_-. 易得 x=(π_-a-A)/[(1+k)π_-+1]. 则效用函数J(a, A)在无交易区间时满足边际条件(1+k)Ja=JA. 同样,当A/a≥π^-时,效用函数J(a, A)在无交易区间时满足边际条件(1-k)Ja=JA.
图1为可行集和无交易区间的直观表示.2条虚线之间的区域为所有可行的投资组合,本研究假设μ>r, 则不会出现卖空风险资产来进行投资的情况,所以,黑色粗线之间的区域为本研究模型所考虑的可行投资组合:
Nk={(a, A)∈R2: a+(1-k)A≥0,
且a(1+k)A≤0}.
可行集分为3个区域,区域Ⅱ为无交易区间,在此区域中的投资组合达到最优,投资者不需要再调整.在区域Ⅰ中,投资者拥有较多的风险资产,需要卖出一部分,令投资组合进入无交易区间(区域Ⅱ),从而达到最优化组合; 同理,在区域Ⅲ中,投资者会买入风险资产,令投资组合进入区域Ⅱ.图1区域Ⅱ中间的虚线是Constantinides(1986)中所求出的最优解.这就产生了2种不同的调整策略.一种是当投资组合落在无交易区间(区域Ⅱ)外时,对投资组合进行调整,令其达到最优π*; 另一种策略则相对简单,进行最小量的交易,令π重新落在无交易区间中即可,不要求一定达到最优的π*值.相比2种策略,第1种策略中的交易量将会更大,交易成本的影响相应也更大.所以,本研究选取后一种策略进行调整,则所得结论,对第1种策略亦成立.
设π≥π^-(区域Ⅰ)时, Δbad(π)≡(Hbad1[π+(1-k)]1-γ)/(1-γ); 当π<π(区域Ⅲ)时, Δbad(π)≡(Hbad2[π+(1+k)]1-γ)/(1-γ). 区域Ⅰ中π≥π^-, 投资者卖出风险资产, 则价值函数为Jbad(a, A)=(Hbad1[a+(1-k)A]1-γ)/(1-γ)=A1-γΔbad(π);
区域Ⅲ中π≥π_-, 投资者卖出风险资产,则价值函数为
Jbad(a, A)=(Hbad2[a+(1+k)A]1-γ)/(1-γ)=
A1-γΔbad(π).
也就是说,
Jbad(a, A)=A1-γΔbad(π)(13)
用方程组(14)表示图1的变化过程:
{dat=(rat-ct)dt-(1+k)dLAt+(1-k)DAt
dAt=μAtdt+σAtdwt+dLAt-dDAt(14)
存在等比例交易成本的条件下,最优控制问题可描述为在无交易区间(区域ΙΙ)中满足
Jbad(a, A, c, π_-,π^-)=max(a, A, c){Et[∫Tbade-(β+η)t
((1-ε)c1-γt+εη(at+(1-k)At)1-γ)/(1-γ) dt+
e-(β+η)TbadJgood(aTbad, ATbad, cTbad, π_-, π^-)]}(15)
s.t. dat=(rat-ct)dt-(1+k)dLAt+
(1-k)DAt(16)
dAt=μAtdt+σAtdwt+dLAt-dDAt(17)
at(1-k)At≥0(18)
把此最优化问题转化为HJB方程
0=max(a, A, c){(γ(1-ε)1-γJ(γ-1)/γbad+εη(a+(1-k)A)1-γ)/(1-γ)+
raJbad a+μAJbad A-(β+η+λbad)Jbad+
λbadJgood+1/2(σA)2Jbad AA}(19)
可求得最优消费解为
c*=((1-ε)/(Jbad a))(20)
容易证得最优投资策略为:进行最小量的交易,令π=A/a在区间[π_-,π^-]中.其中,当π<π_-时,Jbad A≤(1+k)Jbad a, 此时卖出风险资产,买入无风险资产; 当π>π^-时, Jbad A≥(1-k)Jbad a, 此时卖出无风险资产,买入风险资产.
为了更直观地进行对比,对传统模型与本模型进行数值模拟比较.本模型假设有一个Jbad与Jgood两个价值函数,当坏(好)的信息冲击来到的时候,是以强度为λbad(λgood)的泊松过程表示,那么价值函数Jgood就转换成了Jbad, 此时相关的状态参数也会随之变化,其中,相关的状态参数有: 无风险资产预期收益率r, 风险资产预期收益率μ, 风险资产波动率σ,信息冲击强度λ, 交易成本的比例k.
交易成本为零的情况下,把式(11)代入HJB方程(9)中,可得
C1hbad+C2hC3bad+C4hgood+C5=0,(21)
C6hgood+C2hC3good+C7hbad+C5=0,(22)
其中,
{C1=(1-γ)[rbad+((μbad-rbad)2)/(2γσ2bad)]-(β+η+λbad);
C2=γ(1-ε)1/γ;
C3=(γ-1)/γ;
C4=λbad;
C5=εη;
C6=(1-γ)[rgood+((μgood-rgood)2)/(2γσ2good)]-(β+η+λgood);
C7=λgood.
C1~C7都是依赖于状态参数的常数.
只要状态参数设定,则可通过方程组求出hbad与hgood, 代入式(12)即可得到最优解.
当市场是摩擦的时候,即存在等比例交易成本的情况下,把式(13)代入HJB方程(19)中,从而转化为在无交易区间满足下面的常微分方程组:
d1π2Δ″good(π)+d2Δ'bad(π)+d3Δ'bad(π)d4+
d5Δbad(π)+d6Δgood(π)+d7=0(23)
d8π2Δ″good(π)+d9Δ'good(π)+d3Δ'good(π)d4+
d10Δgood(π)+d11Δbad(π)+d12=0(24)
其中,
{d1=(σ2bad)/2;
d2=rbad+γσ2bad-μbad;
d3=(γ(1-ε)1/γ)/(1-γ);
d4=(γ-1)/γ;
d5=(γ-1)((σ2badγ)/2-μbad)-(β+η+λbad);
d6=λbad;
d7=εη([π+(1-kbad)]1-γ)/(1-γ);
d8=(σ2good)/2;
d9=rgood+γσ2good-μgood;
d10=(γ-1)((σ2goodγ)/2-μgood)-(β+η+λgood);
d11=λgood;
d12=εη([π+(1-kgood)]1-γ)/(1-γ).
d1~d12都是依赖于状态参数的常数.
只要状态参数设定,则可通过方程组及无交易区间边界的定义,求出Hbad1、 Hbad2与Hgood1、Hgood2, 代入式(20)及无交易区间边界定义,即可以得到最优解.
为便于比较,参考Constantinides(1986)进行本模型参数设置,分别为γ=2, β=0.1/年, rbad=rgood=0.1/年, μbad=μgood=0.15/年, σ2bad=0.04/年, σ2good=0.038/年, λbad=1.7, λgood=0.2, ε=0, kbad=0.01.
根据以上参数的设定,令kgood在[0.02, 0.2]中取不同的值,观察当坏信息冲击来临时,不同区域中最优投资比例At/Wt的变化.由图2可见, Constantinides(1986)模型中,最优投资比例At/Wt对交易成本比例的变化不敏感,而在本模型中,在区域Ⅰ与区域Ⅲ中的最优投资比例At/Wt都随交易成本比例的改变而变化.这样,必定令交易频率不断增加,从而使交易成本在决策中成为非常重要的考虑因素.正是由于传统的模型中静态化市场,令最优投资比例At/Wt总是保持不变,所以交易成本因素在理论模型中只有二阶的影响,与实证结果矛盾.
图2 最优投资比例At/Wt对交易成本比例k的敏感性分析
Fig.2 Sensitive analysis of transaction costs on the optimal investment proportion At/Wt
图3是交易成本比例不同时,所对应的无交易区间的取值.分别对投资环境较好的状态(good)、投资环境较差的状态(bad)和Constantinides(1986)的模型分别进行讨论.图3中,投资环境较好的状态(good)的无交易区间高于其他2种情况,这与直觉是吻合的.当投资环境比较好的时候,投资者总是倾向于投资风险资产以获得更大的回报.当不存在交易成本时, k=0, 由式(12)可知,若市场状态参数设置与Constantinides(1986)相同,那么3种情况下的最优投资比例A/a相同,表明在无交易成本的情况下,信息冲击对市场最优投资比例A/a没有影响.
从图3还可知,Constantinides(1986)的无交易区间在可行集中占了绝大部分,这令模型中的投资者在投资时,不需经常对投资比例A/a做出调整,因此,交易成本在Constantinides(1986)模型中的影响是很小的.相对于Constantinides(1986)的无交易区间,本研究模型在投资环境较好的状态(good)和投资环境较差的状态(bad)中的无交易区间缩小很多.说明投资者的投资比例A/a会经常落在无交易区间之外,这就需要投资者经常对投资比例A/a做出相应调整,因此交易成本将较大地影响投资组合的收益,不能轻易忽略.这一结论与实证结果吻合.将投资环境较好的状态(good)与投资环境较差的状态(bad)的无交易区间相比较,可见在投资环境较差的状态(bad)中,投资者对交易成本的变化更加敏感.这是因为在投资环境较差的情况下,投资者对风险资产的收益率要求更高,否则宁愿选择不进行交易.所以投资环境较好的状态(good)的无交易区间较小,在投资环境较好时,投资者对交易成本的变化较不敏感.
综上所述,在加入了信息冲击的模型中,由于市场状态会由此而产生变化,不确定性令无交易区间变小,投资者交易频率加大,因此交易成本对投资比例A/a产生较大的影响.
本研究探讨了信息冲击下摩擦市场中的最优消费投资组合问题.以Constantinides(1986)为代表的传统模型认为,交易成本对效用所造成的损失是很小的,所对资产收益率的影响是二阶的.然而,越来越多的实际市场实证结果与此结论矛盾.本文在Constantinides(1986)模型中加入外生的信息冲击,将摩擦市场动态化,并求出了最优消费投资组合解,很好地对传统模型与实证结果的矛盾进行解释.结论表明,与传统模型相比,加入了信息冲击,交易频率会增加,令交易成本的变化对最优消费投资组合解的影响增大,对效用的损失不能忽略,这令传统模型和实证结果结论一致.正是由于传统模型的静态性和确定性,令交易成本的影响变得微不足道.但一旦引入不确定性(如信息冲击),令市场动态化,则交易成本将会显著地影响最优消费投资组合.说明交易成本在资产定价模型中是不容忽视的因素.
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